辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第一次模拟考试数学理试题Word版含答案

2019学年度上学期2018— 高三第一次模拟考试（数学理科）试卷

:高三数学备课组 命题人使用时间:9月7日

分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合小题，每小题5一、选择题：本大题共12 题

目要求的.

i复 12

D. A.C. B. ii11

，则 BA 已知全集，2.，

2

0}128x|U{xZx4,5A3,5,6CB

U

甲乙两组数甲乙  D. C.2,34,52,3, 次考试的成绩统计如下图，

据的平均数分别为，标准差分别为，则乙甲乙甲 ,xx 、

 AB5,3,

两名同学63.

xxxx A. ，B.，乙甲乙甲乙甲乙甲

， C. 乙甲乙甲乙甲乙甲 2的正方体被一个平 xxxx D.，

面截去一部分后，剩余4.一个棱长为

． D.四棱柱三棱柱 C.四棱锥 A.三棱锥 几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是．B.

下列命题中真命题的是5. 均为假命题；若为假命题，则， A.ppqq

22

“

bmamba

”是 “ B. ”的充要条件；

1xxx1x1122 1x1x，则 C.命题：

2yx6y8q:p:xy,x

若的逆否命题为：若，则或或；

则p是或，，q的充分不必要条件. D.对于实数 ，

1

cos2cos 6.，则已知25

． A 237237 ．

C． B． D25252525 2x

y,x0y1xyx2z

，则7.若实数满足的最小值为02yx2

1144 ． C ． D A. B.

2

ax

22

)xlg(yxa0,Rx)g(上．已知函数在8上



的奇函数，且函数是定义在xa的值为单调递增，则实数

12 C．1 D B．A．．2

9.某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：

序号 1 2 3 4 5 6 节

如两个节目要相邻，且都不排在号位置，则节目单上不同的排序方式有

A．192种 B．144种 C．96种 D．72种

π

的图象如图所示，为了得到（其 )Asin(xf(x)A ）

中＜＞10.函数0，2

g(x)sin3xf(x)的图象

的图象，只需将

ππ个单位长度 B.向左平移 A.向右平移个单位长44 度

ππ个单位长度 D.

向左平移 C.向右平移个单位长度 1212 22yx

CO0)0,b1(C:aFP为为双曲线设点的左焦点，点右支上一点，点为11.122ab

0COPF30 是底角为坐标原点，若的离心率为的等腰三角形，则1

3151

． A C． 22 1133 D． B．

5xex'

)xf(xf(x)e)(2是自（的导函

则

数为都有，且对任意的实数12．已知函数xffx'2xm

实数的不等式然对数的底数），且的解集中恰唯一一个整数，，若关于0fmfx01的取值范围是

93ee3ee(,0](,0)(,],0]( ． B. C ．D A. 2442e2 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

n



243321mxm

，则已知13.的展开式中，二项式系数和为，各

项系数和为．

2

xy4yBAFFA

在抛物线上，则，点的中点轴上，线段14.已知抛物线的焦点为在

AF ．

ABCP32，则该正四面体外接球的表面积在正四面体中，其侧面积与底面积之差为15. ．为

cb,,Ca,A,BABC，的16.图如，设所对的内边角分别为CD



DABCcosAbsinBacosCcCAB外一若点是，且6

AD2,3DCABCD，时，四，则当边形点面积最大值BA Dsin ．

应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：解答 分）．（本小题满分1217

2

x03xdxa

,3)1(a 的不等式的公差为已

知等差数列，，且关于的解集为d1n

（Ⅰ）求数列n a 的通项公式；

a1n)(

Snab22b

.

（Ⅱ）若项和前，求数列nnnn

12分）18．（本小题满分随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，带智能手机而不带钱包出门，年移动支付.2017渐渐成为中国人的新习惯年我国的移动支付迅猛增长，据统计某平台2017

80%.

的笔数占总支付笔数的 年的所有支付中任取10笔，求移动支付笔数的期望和方差；2017（Ⅰ）从该平台的名是农村用户，调200名使用移动支付平台的用户，其中（Ⅱ）现有500300名是城市用户，

80%

得到2017年个人支付的比例是否达到列联表如下： 22 查他们，

城市用户 个人移动支付比例达到了270 农村用户 合计 170 30 60 440 问是否有根据上表数据， 80% 到达未比支移个人动付例 80% 30 合计300 200 500 95% 年个人支付比例达到了的把握认为2017 80% 与该用户是否是 城市用户还是农村用户有关？

2bcadn2= 附：

dcdabacb

，，侧面中点，连，且交于，底面取，ADPADMMFMEPDMA整理得：设直线 k

19.（本小题满分12分）

kp2 0.050 3.841 0.010 6.635 l2ly0)，即为所求轨迹方程1(4301ly： CABBA22y510x中得 kx，代入

ABCDABCDBCABCD//ADP

，底面中，侧面底面为直角梯形，在四棱锥，

PAD

1

PCADC90

，，，，的中点分别为2 1ADBCCDADPDEFPA.，

（本小题满分12分）20.

//PA

（Ⅰ）求证：平面； BEF

ECPE

ABEF.

的余弦值（Ⅱ）若，求二面角

0)B(2,A2,0)(的斜率之积

已知是动点，且直线，和直线，点BCACC

3. 为4 （Ⅰ）求动点的轨迹方程； C

QF(1,0) ，且，与直线（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中轨迹 P，求证：

相切于点相交于点4xl

21. （本小题满分12分）

PFQ90.



x2baxfxxex0fyf0x,为程的点线，曲切已知函数线方



处在

4x2y30

a,b的值； 求(1) 



lnfxx.(2) 证明:

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

CxOy的方程是：中，曲线在平面直角坐标系：坐标系与参数方程】4-4【选修分）10

（．22．

22x10x5y

轴正半轴为极轴建立极坐标系． ，以坐标

原点为极点，

（1）求曲线 C的极坐标方程；

交 的斜率．

于，求直线与曲线，两点，且 2（）设过原点的直线23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】



的值； （Ⅰ）求实数

,23f1x1axfx. 已知函数，不等式的解集为a

高三第一次模拟考试（数学理科）答案

的取值范围，求实数的解集为（Ⅱ）若不等式一、选择题

1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A 9.B 10.C 11.A 12.B



mm1xfx

.

二、填空题

27 6 13.2 14.3 15.16.7

三、解答题

d2,（14）由题意，得解 ,2da1 分 ┄┄┄┄┄┄解：

得17.1.a313,a1

nnn

2(n1)a2n1a1a. 的通项公式为┄┄┄┄┄┄故数列6分 ，即

a1)(

n

n1a2n(2nb2a21)2，┄┄┄

┄┄┄8分（2）据（1）求解知 ，所以nnn

n)(13522n4S(281)

所以n

n12

n22分12┄┄┄┄┄┄

4)B(10,X~X （Ⅰ）设移动支付笔

┄┄┄┄┄┄5555

数为2，则分， ┄┄┄┄┄┄18. 解：58414DX10EX108, 所以6分.

22

30)30170500（270n(adbc)23.8412.841=（Ⅱ）因为，┄

(ab)(cd)(ac)(bd)44060300200 ┄┄┄┄10分

所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关. ┄┄┄┄12分

ACOECFO

1

，（1）证明：连接，并连接交 于19. BE，

//BCAD/BCAEBC/AE

BCADADE，中点， ，且，，为2

ABCE

为平行四边形， ┄┄┄┄┄┄四边形2分



F中点，中点，又 为为

OACPC OF//PA，

┄┄┄┄┄┄4分

OFPAPA//

平 BEFBEFBEF 分6┄┄┄┄┄┄. 平面，

面，平面



BCDE2ECPEEC2.

（法一）由为正方形可得2），（

ABCD OF/ME/

，面为二面角ABEADBEMEABEPADF 分 的平面角，又，

┄┄┄┄┄┄9

113AMEM，又，1AE22 ，

33

分的余弦值为AFBE33

cosMEA . ┄┄┄┄┄┄12，所以二面角

ABCD

EBEADBEEAPE、面为原点，，、，如图所示，以（法二）由题意可知

zx

，、直建 ,0BE10,0,0,0,00,1AEP，坐标系，分别为则、

立，角y

. 分┄ 211,F,

┄┄┄┄┄7222



ABE 平面 法向量可取：┄┄┄┄┄┄8分

0,0,1n

0b000mEB



FBE 中，设法向量为，则平面

c,m,ba

211bac00EFm222

┄┄┄┄┄┄10分 取



2,0,1m

ABEF的余弦值为，所以二面角

33mn

1mn3,ncosm

┄┄┄┄┄┄12分

3

，又，则依题意得， kkA(2,0)B),(Cxy(2,0)，所以有）设1（20. 解：

BCAC

4． yy3(y0)， x2x24

，与l mkxy （2）设直线联立得：

22yx.

┄┄┄┄┄┄5分

22

12y3x4

22222

124km)x03x4(kxm)8kmx12(34， ，即

222

012)4(34k)(4m(8km)22m4k3 ┄┄┄┄┄┄8分依题意， ，即

，得211222k4334k 8km4kmxxxx∴，

34k3m4km

22()P,,)P(m34k)Q(4,4km，

得，又， ∴，而22m4km34k3

┄┄┄┄┄┄10分

FPFQ04k(m)1,)(3,FPFQ,0)(1F， ，则.又知mm

4k3

PFQ90. 即┄┄┄

┄┄┄12分





x

1a0f2 3

ba1,e21xxaxf，由题意有）解：，解得21. （132f0b 2

┄┄┄┄┄┄4分

3 2x2xxxefxxxexhxxlnx ）知，.设（方法一）

由（（2）证明：12 3

hx 则只需证明2

111xxxe2x12xex1xgxhe21 ，设xxx

1



x0xeg,g0x上单调递增在 则，

2

x

11

110324e20geg34 ，34

0

00

34x0．

111x,x0e(xg)2 ┄┄┄┄┄┄7，使得分



时，且当时，，当00当 时，



x0,xx,x0g0xxg xx0,xx0hh

单调递减，





x,xxx0hh单调递增

┄┄┄┄┄┄8分 ，时，当0

11



xxx2

xxexlnxe2e20xxhh， ，得，由

0

00

00000min

xx00

122xlnx1xlnxxx2xhx 分┄┄┄┄┄┄10， 00000000x0 



111x112x



2,xxx12x1xlnxx ，设，34xx

1111

,x,x0x

单调递减，时， ，

在当4343

27331111

00

ln1xhln3xxh，因此

3392233

分┄┄┄┄┄┄12

33

x2



2x

xxexxfx2xx0xe0x 时，，即证（方法二）先证当22



xx2

12xxg1xxxexgexg000x ，，且设则



x

02xg2exxx00,ggg0 在单调递增，，



在

2x0gxe0xgxx0g,x0x时，单调递增，则当

┄┄┄┄┄┄8分

332xx2x2xxexxx1exe0xx0显然成立）（也可直接分析 22

3lnx2x 再证2

312x11

x2xxhhlnxx20hx设，令 ，则，得

2xx2．

1

,0xxxh0h 且当，单调递减；时，

2

,xxhx0h.

当，时，单调递增2

1133

hln202xlnxlnhxxx2 ，即2222

33



2x

xxf2xxxelnxxf┄┄┄┄┄┄12分 又， 22

lnx3x1ex 法三：要证不等式等价于x2x

lnx3

令，x2x

222

xG(x)1F(x)ex，分别求最值.



2

Cy10x5xy10x150，，即（1）曲线 ：22.解：

2222Ccosx1510cosx0y．代入得，曲线 将

的极坐标方程为， ┄┄┄┄┄┄5分





距离到直线）法1：由圆的弦长公式，得圆心及（2 2223dl5,0C2d2r10r ，

33

OCDRt△ltanDOC．的斜率为，可知直线 中，

易得如图，在44

┄┄┄┄┄┄10分



costx

sinty

2 t2l

：设直线法2，代入： y10x5 中得（为参数）

22

15010tcost10sinttcos5， ，整理得

2

2410cos1522ABtt2 ，由得，即21．

，从而得直线 的斜率为 解得┄┄┄┄┄┄10 34 ltancos．

分 54

法3

22





22

10kxx5015x10x1k ，，即



22

k11060

22

2x1kx2AB21k， 得，即由212k1 3

lk． 解得直线的斜率为 ┄┄┄┄┄┄10分 4

5k



：，则圆心4：设直线到直线的距离为法21k ll5,0Cdkxy，



， 2223dl5,0C22rd10r 到直线，

得圆心距离及由圆的弦长公式线┄┄┄┄┄┄的斜率为10分 421k

k53 lk3． 所以 ，解得直



31axax131,2a2ax24．知解：23.的解集为（Ⅰ）由，所以 而，

┄┄┄┄┄┄5分

m2x11x12x1xm，（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，即的解集为

1xx21

11gxx2x3x1gxx，令 ，则21x2x2

分 ，故min22

33mgx． ┄┄┄┄┄┄10所以