1998年考研数学一【试题版】【无水印】

1998年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)limx0

1x1x2=_____________. 2x

2z1(2)设zf(xy)y(xy),f,具有二阶连续导数,则=_____________.

xxyx2y21,其周长记为a,则(2xy3x24y2)ds=_____________. (3)设l为椭圆43L(4)设A为n阶矩阵,A0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则(A)E必有特征值_____________.

(5)设平面区域D由曲线y*2*12及直线y0,x1,xe所围成,二维随机变量(X,Y)x在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x2处的值为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

dx(1)设f(x)连续,则tf(x2t2)dt= dx0(A)xf(x) (C)2xf(x)

22

(B)xf(x) (D)2xf(x)

22(2)函数f(x)(x2x2)x3x不可导点的个数是 (A)3 (C)1

(B)2 (D)0

(3)已知函数yy(x)在任意点x处的增量y的高阶无穷小,y(0),则y(1)等于

(A)2 (C)e

4yx,且当x0时,是x21x

(B)

(D)e4

a1(4)设矩阵a2a3b1b2b3c1xa3yb3zc3c2是满秩的,则直线与直线a1a2b1b2c1c2c3xa1yb1zc1

a2a3b2b3c2c3(A)相交于一点 (C)平行但不重合

(B)重合 (D)异面

(5)设A,B是两个随机事件,且0P(A)1,P(B)0,P(B|A)P(B|A),则必有 (A)P(A|B)P(A|B) (C)P(AB)P(A)P(B) 三、(本题满分5分)

求直线l:

(B)P(A|B)P(A|B) (D)P(AB)P(A)P(B)

x1yz1在平面:xy2z10上的投影直线l0的方程,并求l0111

22绕y轴旋转一周所成曲面的方程. 四、(本题满分6分)

确定常数,使在右半平面x0上的向量A(x,y)2xy(xy)ix(xy)j424为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y). 五、(本题满分6分)

从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式yy(v).

六、(本题满分7分)

axdydz(za)2dxdy222计算其中为下半平面的上侧,a为大zaxy,22212(xyz)于零的常数.

七、(本题满分6分)

2sinsinnn求limxn11n2sin.1nn

八、（本题满分5分）

设正向数列{an}单调减少,且理由.

九、（本题满分6分）

设yf(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.

(1)试证存在x0(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间

(1)an发散,试问级数(nn1n11n)是否收敛?并说明an1[x0,1]上以yf(x)为曲边的曲边梯形面积.

(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f(x) 十、（本题满分6分）

已知二次曲面方程xayz2bxy2xz2yz4可以经过正交变换

2222f(x),证明(1)中的x0是唯一的. xxyP化为椭圆柱面方程2424,求a,b的值和正交矩阵P. z 十一、（本题满分4分）

设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx0有解向量α,且Ak1α0. 证明:向量组α,Aα,,Ak1α是线性无关的.

十二、（本题满分5分）

已知方程组

a11x1a12x2(Ⅰ) a1,2nx2n0a2,2nx2n0an,2nx2n0

a21x1a22x2 an1x1an2x2的一个基础解析为(b11,b12,性方程组

,b1,2n)T,(b21,b22,,b2,2n)T,,(bn1,bn2,,bn,2n)T.试写出线

b11y1b12y2(Ⅱ) b1,2ny2n0b2,2ny2n0bn,2ny2n0

b21y1b22y2 bn1y1bn2y2的通解,并说明理由.

十三、（本题满分6分）

设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为

1的正态分布,求随机变量2XY的方差.

十四、（本题满分4分）

从正态总体N(3.4,6)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大? 附:标准正态分布表 (x)2z1t2edt 21.645 0.950 1.96 0.975 2.33 0.990 2z1.28 (x)0.900 十五、（本题满分4分）

设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.

附:t分布表 P{t(n)tp(n)}p

35 36

0.95 1.6896 1.6883 0.975 2.0301 2.0281