函数的一致连续性

南化科技１９９　Ｊ年第４期　２９·　函数的一致连续性　郭柏林　南京化工学校　个在闭区间［ａ’ｂ］上连续的函数ｆ（ｘ）　有很多特性，例如，它在这个闭区间上肯定有　最大值和最小值；当ｆ（ａ）≠ｆ（ｂ）且ｆ（ａ）＜ｃ＜　ｆ（ｂ）时，在开区间（ａ，ｂ）内至少有一点ｘ。，使　得ｆ（ｘｏ）一ｃ，特别是．ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０时，在开　区间（ａ，ｂ）内至少有一点Ｘ　，使得ｆ（ｘｏ）一０；　微积分的基础理论——中值定理，都要求函　数在闭区间上连续，……，可见函数在闭区间　上连续具有很重要的意义。然而，要把一个在　开区间上连续的函数，用连续的方法开托到　闭区间上，其必要且充分的条件则是函数ｆ　（ｘ）在开区间（ａ，ｂ）上一致连续。这就用到函　数一致连续性的理论了。这部分内容在高等　数学教材中由教师根据所授专业的性质以及　学生的情况加以选择讲授　函数ｆ（ｘ）在区间上一致连续与函数在　该区间上连续是两．个不同的概念。函数ｆ（ｘ）　在区间上连续指的是函数ｆ（ｘ）在该区间上　的每一个点ｘｃ都连续。即；函数ｆ（ｘ）对区间　内的任意一点　及ｘｏ的邻域内有定义．且　对于任意给定的正数ｅ，总存在一个正数６，　使得对于适合不等式Ｉ　Ｘ—Ｘ。＜６的一切ｘ．　所对应的函数值ｆ（ｘ）都满足不等式Ｉｆ（ｘ）ｆ　（　）｛＜ｅ，则称函数ｆ（ｘ）在任意点ｘｃ连续，从　而在该区间上连续。函数在区间上一致连续　指的是：若函数ｆ（ｘ）在该区间上有定义．且　对于任意给定的正数　总存在着正数６．使　得对于该区间内的任意两点Ｘ　、ｘ　，当　Ｘ２　Ｘ　Ｌ｝＜６时，有｛ｆ（ｘ２）一ｆ（ｘ１）ｊ＜ｅ成立，　则称函数ｆ（ｘ）在该区间上一致连续。　其区别在＿于：函数ｆ（ｘ）在点ｘ　ｏ处连续．　其存在的正数６，不但依赖于ｅ的取值，而且　依赖于点Ｘｏ的取值，即是同一个ｅ，Ｘｎ取值不　同，所得６也不一样。若一致连续，则对于同　个　，所得６的值仅仅依赖于ｅ；一个函数在　区间上一致连续，则它在该区间上一定是连　续的，反之则不然　例函数ｆ（ｘ）：÷，在区间（０，１）内是　连续的，但它在该区间内不是一致连续的　证明①ｆ（ｘ）＝÷是一个初等函数．初　等函数在它的定义域内是连续的，所以它在　（０，”内是连续的。　②非一致连续是因为：若任给一个可以　任意小的正数　，由定义我们可取ｘ　—ｅ，№一　２　，则Ｘ　，ｘｚ均在（０，１）内，它们的距离Ｉ　Ｘ　一　Ｘ　Ｉ—Ｉ　２ｅ　ｅＩ：ｅ，可以任意小，但是，所对应　的函数值的距离ｌｆ（ｘｚ）一ｆ（ｘ　）ｌ：　亡一　÷Ｉ一去却不是任意小，而是可以任意大，所　以函数ｆ（ｘ）在（０，１）内非一致连续。　例若一个函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ．ｂ］上　连续，则它在谊区间上一致连续（康托定理）。　证明　（这里用反证法证）假设对于某一　确定的　＞０，在一致连续定义中提到的６＞０　不存在，即不论取什么样小的正数６，在［ａ，ｂ］　内都会有这样两个数值ｘｌ、Ｘ　，尽管ｌＸｚ１　ｖｌ　ｌ＜　６，函数值仍然是ｉｆ（ｘ。）一ｆ（ｘ　）ｆ≥￡。　这样的话，我们便可取一个序列｛　）．且　６ｎ—ｏ，按照以上推理，对于每一个　，在闭区　间［ａ．ｂ］内都会有两个数值科，ｘ　，尽管（对ｎ　１，２，３……）这两点的距离１）（！一ｘ？Ｊ＜　，但　仍有Ｉｆ（端）ｆ（ｘ２）Ｉ≥Ｅ。　因为．由任何有界序列内恒能选出的收　敛于有穷极限的部分数列（渡查诺魏尔斯托　拉斯预备定理），由有界序列｛　ｊ内可以取出　维普资讯 http://www.cqvip.com

南化科技１９９１年第４期　多元复合函数求高阶偏导数　程序　南化（集团）公司氮肥厂教育科　多元复合函数求高阶偏导数是多元微分　口０　嗷：ｕ　ｆ（ｘ，Ｙ）　而ｘ—ｒＣｏｓＯ，Ｙ＝　学难点，既抽象，又繁琐。若从解题策略上进　ｒＳｉｎＯ　行“降阶”，把“多元　转化为　一元”问题来解　Ｊ　承：一ａｔ２’Ｕ　　Ｕ　。　决便容易些。在求解前应先分析函数是怎样　复合的，有几个自变量，有几个中间变量等。　解詈一Ｃｏｓ９，ａ！　－Ｓｉ　吾＝一ｆｓ＇ｎ。　这里，把多元复合函数分为非抽象型和抽象　一Ｃｏｓ￣）　型两种　１对非抽象型函数求高阶偏导　ａｆ　ａ９１ｘ扑　ａＩ￣Ｘ　＋ａｕ　　ａｙ　ｆ　ａ　一：ｘ　ｓ　。＋　ａｙ　ｓ｛ｎ。　首先用链式法则求出一阶偏导数，然后　！　．４－—ａｕ—ａｙ　一一！　Ｓｊｎ日＋ａｕｒＣｏｓ０　用一元函数求导方法求二阶偏导数及更高阶　ａ０　ａｘ鲥　ａｙ　ａ。　ａｘ。。。…ａｙ　…　偏导数。　两个新函数　和　中都存在自变量ｒ、。　例设：ｚ—ｅ　Ｓｉｎ（ｘ＋ｙ），求：　。　中间变量ｘ、Ｙ。　解令：ｕ—ｘｙ，ｖ＝ｘ＋Ｙ，则：ｚ＝ｅｕＳｉｎｖ　·　＝　（　）＝（　ｃ０ｓ。＋（　Ｓｊｎ。　ａｘ　ａｕ—ｘａｖ＝ｙ，：１，ａｖ一１　ａｘ　ａｙ　ａｘ　ａｙ　ａ＿＼ｌｌ／　ｘ－－ｒ，＿＼ａｌｌ／　ｘ－－ｒ兰一兰竺＋兰　＝ｙｅ￣Ｓｉｎｖ＋　ｃ０ｓｖ　。。　．．．笺＝　（ａＸ　ａＸ　ａ　）ｘ　一（ｙｅｕＳｉｎｖ）　ｒ＋（ｅ￣Ｃｏｓｖ）。，　—Ｉ；　‘（　）　　＋　（十　‘　）　’詈Ａ言　。ｃｏ￣０　（ｅ　）　ｙＳｉｎｖｑ－ｅ　Ｙ（Ｓｉｎｖ）　＋（ｅ“）　Ｃｃｓｖ　＋　（Ｃ璐ｖ）　＋［　（　）署＋　（　）署］ｓ｛ｎ。　＝　ｃｏｓ　０＋　ｃｏｓ０　Ｓｉｎ０＋—！：　＿Ｃｏｓ０　ＳｉｎＯ　一　Ｙ　Ｓｉｎｖ＋ｅ“ｙＣｏｓｖ＋ｅ　Ｙ￣）ＳＶ－－ｅ　Ｓｉｎｖ　ａｘ。　ａｘａｙ　Ｏｙａｘ　＝ｅ　Ｅ（ｙ　一１）Ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）－｝－２ｙＣｏｓ（ｘｑ－ｙ）］　＋　ｓ　。　２对抽象型函数求高阶偏导　首先用链式法则求出一阶偏导数，然后　（　）。　ｒＳｉｎＯ＋￣一　ｒ（ＳｉｎＯ　］　再求该函数高一阶偏导时，第一步用简单的　＋（　）。　ｒＣｏｓＯ＋ａｕｒ（ｃ０ｓ。）日　元函数求导方法求上一阶偏导数的导数，　ａｙ　ｗ吖　第二步利用图示求其中抽象型函数的导数。　［　（　）詈＋　（　ａｕ）　］ｒＳｉｎ。　部分序列，收敛于区间［ａ．ｂ］内的某一个点　ｆ（ｘＤ￣ｆ（ｘ０）　ｆ（ｘ　）—　ｆ（ｘｏ）　ｘ０＿为简便计，就算ｆ蛐）收敛于ｘ。｝又由于　所以有ｆ（ｘＤ—ｆ（ｘ？）一０，这与ｌｆ（ｘＤ　Ｉ＜６ｎ，且６ｎ一０，所以｛埘｝也收敛于　ｆ（ｘＤ　Ｉ≥　矛盾，故康托定理得证。　ｘｏ；由于函数在点ｘｏ处的连续性则有：