高中数学8.4.1平面(单元教学设计)

8.4.1平面

一、内容和内容解析

1．内容

平面的三个基本事实及其推论．

2．内容解析

立体几何定性研究的重点是直线、平面之间的位置关系．研究这些位置关系，需要学生对点、直线、平面这些组成立体图形的基本要素有所理解．在立体几何的研究中，立体图形问题经常转化为平面图形问题，这是解决立体图形问题的重要思想方法，而转化的基本依据就是关于平面的基本事实及其推论．因此，本小节内容是立体几何学习的重要基础．

与点、直线一样，平面是不加定义的几何概念，三个基本事实刻画了平面的“平”和“无限延展”的特征．基本事实1首先是“三点确定一个平面”，是平面的存在性；基本事实2和3是从直线与平面，平面与平面的关系的角度对平面的进一步刻画；基本事实的三个推论则进一步给出了确定平面的方法．关于平面的基本事实和推论在后续研究直线与平面之间的平行、垂直关系时，会经常用到．

点是空间的基本元素，直线、平面都是点的集合．因此，在图形语言和文字语言的基础上，用集合的符号表示几何对象及其之间的关系是自然的，并且书写简捷．立体几何中的概念、定理，一般要用图形、文字、符号三种语言形式表示．

综上所述，本节课的教学重点是：对三个基本事实和三个推论的理解及其集合符号语言表示．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）初步理解平面的概念、三个基本事实和推论，会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论．

（2）在探究三个基本事实的情境中，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论的内容；能利用三个基本事实说明平面“平”“无限延展”的基本特征；能够利用三个基本事实和推论作图、证明简单问题．

达成目标（2）的标志是：在探究三个基本事实的过程中，体会通过研究基本元素之间的位置关系来刻画基本元素特征的方法；体会从研究问题出发，通过直观感知、实验操作获得结论，再对某些结论通过说理或推理确认结论的研究立体几何问题的一般思路．发展直观想象和数学抽象的素养．

三、教学问题诊断分析

本节课所研究的三个基本事实和推论，是立体几何的理论基础．对于平面的概念，其“平”、“无限延展”是客观存在的，学生会对为什么还要学习三个基本事实，并用它们对平面的特征进行刻画不理解．教学时要注意引导学生从公理化的角度理解平面的概念和三个基本事实之间的关系：基本事实的意义就是去刻画平面这一不加定义的概念，利用基本事实，就可以用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”．

在本节课的学习中，要用图形、文字、符号三种语言形式表述基本事实和推论．图形语言比较直观，文字语言也比较容易理解．但用集合的符号语言表示几何元素之间的关系以及几何命题，学生还不习惯．这种不习惯多数情况是学生对图形表达的几何要素之间的关系不理解．教学时要引导学生理解图形或文字语言所反映的几何关系的本质，逐步熟悉用符号语言进行表达．

对于本节课的一些结论（例如三个推论），需要从存在性和唯一性的角度进行理解，这对于学生来讲比较陌生，也比较困难．教学时也要注意控制难度，不要采用严格的证明形式，而宜采用说理的形式进行说明，使学生循序渐进，逐步学会证明立体几何命题的方法．

本节课的教学难点是对基本事实的理解和集合符号语言表示，对推论的说理证明．

四、教学支持条件分析

教学时，可以充分利用生活中的物体和学生身边的实例让学生感知平面的概念、三个基本事实以及三个推论．可以利用信息技术展示平面的“平”“无限延展”的基本特征，展示用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”的过程，帮助学生理解相关概念和命题，提升直观想象和数学抽象素养．

五、教学过程设计

（一）先行组织、感知平面概念

引言 前面我们学习了基本几何体，学习了它们的结构特征、平面表示、面积和体积的计算．在学习棱柱、棱锥、棱台等多面体的过程中，我们知道顶点、棱、平面多边形等是构成这些多面体的基本元素，这些元素之间的相互关系，反映了这些多面体的结构特征．实际上，立体图形都是由点、直线、平面等基本元素组成的，要研究立体图形的结构特征，就要研究这些基本元素之间的位置关系，我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始．

设计意图：在老师的引导下回顾前面学习的内容，体会利用多面体的组成元素刻画其特征的方法．进而从多面体的组成元素提出立体图形的组成元素，引出本节课学习内容．

问题1 对于点和直线，我们在平面几何中已经有所了解．那么，什么是点？什么是直线？进一步地，你知道什么是平面吗？

追问：点有什么特征？直线呢？类似地，平面有什么特征？

师生活动：师生对话，了解平面和点、直线一样，是不加定义的最基本的几何概念．引导学生利用生活实际，从黑板面、桌面、水面、多面体的面等，归纳出平面的一些特征：平面是“平”的，平面是“无限延展”或者说是没有边界的．

设计意图：类比点和直线的概念，引出平面的概念．类比直线的“直”和向两端“无限延伸”的特征，直观感知平面的两个本质特征：平面是“平”的，是“无限延展”的．

问题2 学习了一个数学概念，接下来就是学习它的表示．想一想，点和直线是如何用图形和符号表示的？类似地，如何用图形和符号表示平面？

师生活动：师生对话，类比点和直线的图形和符号表示提出平面的图形和符号表示的问题．类比用直线的局部，即线段表示直线，选取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直观图表示平面．

教师在黑板上画出横放和竖放两种情形的平面直观图，要求学生在笔记本上画出．

对于平面的符号表示，教师直接给出：常用希腊字母α，β，γ等表示平面，有时也用代表平行四边形的顶点，或相对的顶点的大写字母表示平面．如平面ABCD，或平面AC、平面BD等．

设计意图：类比点和直线的图形和符号表示，给出平面的图形和符号表示，使学生感悟数学研究方法的特点和一致性．平面的图形表示实际也是其直观图表示，也可以进一步发展学生直观想象素养．

（二）三个基本事实的探究

问题3 接下来，我们研究平面的基本性质．要研究平面，首先是要确定平面．我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？你能用日常生活中的实例来佐证你的结论吗？

师生活动：教师结合教科书图8.4-2，引导学生观察：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”；三脚架的三脚着地就可以支撑照相机；讲教室的门的两个折铁看成

两个点，门插销看成一个点，当插销插上时，门不再动了．由这些事实和类似经验，可以得到基本事实1．

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

师生讨论其中“有且只有”的含义，达成共识：“有”是指过不在一条直线上的三个点存在一个平面；“只有一个”是指过不在一条直线上的三个点存在唯一一个平面．

追问：基本事实1说明“不共线的三点确定一个平面”，也是从点和平面的位置关系的角度刻画平面．如何将这一基本事实用图形表示？如何用符号表示点和平面的位置关系？

设计意图：类比确定直线的问题提出确定平面的问题，得到“不共线的三点确定一个平面”的基本事实1，并给出其图形表示以及点和直线、平面之间位置关系的集合符号表示．实际上，平面的三个基本事实表述的就是点、直线、平面这三个不加定义的概念之间的关系．基本事实1是点和平面的位置关系，也是确定平面的问题，要注意让学生体会到这一点．

问题4 基本事实1刻画了点与平面的位置关系，我们接下来研究直线与平面的位置关

系．想一想，如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？

师生活动：教师引导学生观察：如果一根直尺仅有一个点在桌面上（直尺和桌面相交的情况），这根直尺不在桌面上；而如果直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上．

追问：将直尺抽象为一条直线，桌面抽象为一个平面，你能将上述经验和类似的事实抽象为直线和平面的位置关系吗？你能归纳为一句话来表达吗？

师生活动：教师引导学生将上述事实进行抽象，得到基本事实2．

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

设计意图：基本事实2反映了直线和平面的关系，从基本事实1的“点与平面的关系”到基本事实2的“直线与平面的关系”，明确了研究目标，也反映了研究平面的思路，体现了立体几何的研究方法．对于基本事实2，教师要引导学生从正反两方面描述，强调其中反映的充要关系：若直线在平面内，则直线上所有点在平面内；若直线上的所有点都在平面内，则直线在平面内.

问题5：我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征．而基本事实2反映了直线与平面的位置关系．我们能不能利用这种位置关系，用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”？

师生活动：教师引导学生思考，平面可以看成是直线的集合，因此可以利用平面上所有直线的“直”和“无限延伸”说明平面的“平”和“无限延展”．

如图3，由基本事实1，给定不共线三点A，B，C，它们可以确定一个平面ABC；连接AB，BC，CA，由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC．组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”．

教师可以利用信息技术展示利用直线密铺平面的过程，体会用直线的基本特征刻画平面的基本特征的过程．

设计意图：结合基本事实1和2，用直线的“直”和“无限延伸”的基本特征说明平面的“平”和“无限延展”的基本特征．这也说明对于不加定义的“平面”概念，就是用刻画它的基本事实说明其基本特征的，从而加深对于平面概念的理解．

问题6 基本事实1和2分别从点与平面、直线与平面关系的角度对平面进行了刻画．接

下来，我们从平面与平面关系的角度对平面进一步刻画．思考下面的问题：把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？

师生活动：教师引导学生回顾基本事实1和2，提出从平面与平面关系的角度刻画平面的问题，并引导学生把三角尺想象成无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面．可以想象，两个平面相交于一条直线．还可以举出“教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线”的例子．由此归纳得到基本事实3．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

进一步，教师给出基本事实3的图形（图4）以及符号表示：

并给出两个相交平面的画法（图5）．

设计意图：按照点与平面、直线与平面、平面与平面关系的研究思路，提出利用平面与平面的关系刻画平面的问题，从而结合生活中的实例，归纳得出基本事实3．基本事实3反映了两个平面的位置关系，对于两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交

的位置关系，交集是一条直线．

问题7 类似基本事实2，你能结合基本事实3，进一步说明平面的“平”和“无线延展”的基本特征吗？

师生活动：教师引导学生分析基本事实3，基本事实3说明：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线．两个平面相交成一条直线的事实，可以让我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”．

追问：如果不是两个平面相交，它们一定相交成一条直线吗？由此你对基本事实3又有什么体会？

师生活动：教师可以在学生思考的基础上给出曲面与平面相交的例子．例如图6说明圆柱面（曲面）和平面的公共点不是直线．

设计意图：利用基本事实3，进一步理解平面的基本特征．通过反例，加深对基本事实3和平面特征的理解．

小结：上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的，是几何推理的基本依据，也是我们进一步研究立体图形的基础．

（三）应用知识，得出推论

问题8 基本事实1给出了确定一个平面的一种方法．利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，你还可以得到一些确定一个平面的方法吗？

追问：我们知道，确定一个平面包括存在性和唯一性两个方面，对于你得到的方法，你能从这两方面说明道理吗？

师生活动：学生结合基本事实1，2和“两点确定一条直线”进行思考、讨论、交流，得出三个推论：

推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．

对于三个推论，教师要求学生画出图形，并结合图形，师生共同对推论1从存在性和唯一性的角度进行说理，确认其正确性．对于推论2和推论3，学生完成说理过程．教师说明基本事实和推论在后续研究直线、平面之间位置关系中的作用．

设计意图：三个基本事实和三个推论在后续直线、平面位置关系的研究中发挥着基础作用．本活动引导学生从基本事实得到它的三个推论．在这一过程中，进一步体会关于直线、平面的基本事实在得到确定平面的结论中的作用．由于推论的证明涉及存在性和唯一性两个方面，学生初次接触这样的证明比较困难．教学中采用说理的方式让学生确认其正确性即可，不必要求学生写出完整的证明．

（四）归纳小结，反思提升

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）平面的三个基本事实各自的意义是什么？三个基本事实和三个推论有什么作用？

（2）我们是如何得到关于平面的三个基本事实的，由此你对研究组成几何图形基本元素的方法有什么体会？

师生活动：教师和学生一起回顾本节课所学知识．对于平面的三个基本事实，除了其内容本身外，教师应向学生指出，基本事实及其推论，是平面的基本性质，这些“基本性质”，就是几何图形组成要素之间位置关系的反映；平面的三个基本事实通过点、直线与平面的相互关系刻画了平面的基本性质——“平”和“无限延展”．

设计意图：通过教师提出问题，教师与学生共同梳理本节所学的主要知识，以及涉及的数学思想方法，体会立体几何的研究内容、思路和方法．

（五）布置作业

1．阅读教科书第122页至第125页．

2．必做题，教科书第126页练习第1，2，3，4题．

3．选做题，教科书习题8.4第10题（建议学生互相交流）．

六、目标检测设计

1．已知说明． ．试画出图形，并用文字语言加以设计意图：考查学生对表示点、直线、平面位置关系的“三种语言”的转化． 2．四边形一定是平面图形吗？梯形一定是平面图形吗？如果是，请进行证明；如果不是，请举出反例． 设计意图：考查学生对三个基本事实及其推论的理解． 设计意图：考查学生对平面基本事实的应用能力．