河西区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

一、选择题

1． 设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当A．

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

2． 函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（数m的取值范围是（ ） A．（

3． 方程x=A．双曲线 C．双曲线的一部分

） B．（，

]

C．（

） D．（

] ，

），使f（sinφ）=f（cosφ），则实

B．

C．

或 D．3

+

取得最小值时，实数a的值是（ ）

所表示的曲线是（ ） B．椭圆

D．椭圆的一部分

2＋2z

4． 复数满足＝iz，则z等于（ ）

1－iA．1＋i C．1－i

A．AØB B．AB．－1＋i D．－1－i

x5． 已知全集UR，A{x|239}，B{y|0y2}，则有（ ）

BB C．A(ðRB) D．A(ðRB)R

SS6． 已知数列an为等差数列，Sn为前项和，公差为d，若201717100，则d的值为（ ）

20171711A． B． C．10 D．20

20107． 函数y=A．{x|x≥﹣1}

+

的定义域是（ ）

B．{x|x＞﹣1且x≠3} C．{x|x≠﹣1且x≠3} D．{x|x≥﹣1且x≠3}

8． 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ） A．（﹣∞，）

B．（﹣，+∞）

C．（0，+∞）

D．（﹣∞，﹣）

9． 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2D．24πa2

10．高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）

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A．112 B．114 C．116 D．120

11．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+A．

B．

，则S2015的值是（ ）

C．2015 D．

12．复数z满足（1+i）z=2i，则z在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二、填空题

13．将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点4,0重合，且点7,3与点m,n重合，则mn的 值是 ．

14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）＝lnx－最小值4，则m＝________．

15．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函

2

数y=ax﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．

m （m∈R）在区间[1，e]上取得x16．若函数f（x）=3sinx﹣4cosx，则f′（）= ．

17．设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为 ． 18．B、C、D四点，在半径为2的球面上有A、若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ．

三、解答题

19．已知数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2（1）求an和bn； （2）设cn=

*

（n∈N），记数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．

*

（n∈N），若{an}为等比数列，且a1=2，b3=3+b2．

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20．已知复数z=

（1）求z的共轭复数；

（2）若az+b=1﹣i，求实数a，b的值．

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=

，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点． ．

（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长； （2）若∠BPC=

，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．

22．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1． （Ⅰ）求抛物线C的方程

*

（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N）

（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式

（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．

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23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2PD，Q为PD的中点． （Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．

，PA⊥

24．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a的取值集合A

abba

（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证ab＞ab．

25．双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F． （1）求弦AB的中点M的轨迹方程

（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．

26．已知全集U为R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜﹣3，或x＞1}

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求：（I）A∩B；

（II）（CUA）∩（CUB）； （III）CU（A∪B）．

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河西区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：∵a+b=3，b＞0， ∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0． ①当0＜a＜3时，f′（a）=当减． ∴当a=时，②当a＜0时，f′（a）=当递减． ∴当a=﹣时，综上可得：当a=故选：C．

【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

2． 【答案】A

【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m）， ∴函数f（x）关于x=m对称， 若φ∈（

，

），

+

取得最小值．

+

取得最小值．

﹣

+ +

取得最小值． =﹣（=﹣

）=﹣（

+，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调

）=f（a），

+

+

==

=

+

=f（a），

，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

或时，

则sinφ＞cosφ，

则由f（sinφ）=f（cosφ）， 则即m=当φ∈（则＜

，

=m，

=

（sinφ×

∈（，

+，

cosαφ）=），

sin（φ+

）

），则φ+

）＜

sin（φ+

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则＜m＜故选：A

，

【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．

3． 【答案】C 【解析】解：x=故选C．

22

两边平方，可变为3y﹣x=1（x≥0），

表示的曲线为双曲线的一部分；

【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．

4． 【答案】

2＋2z

【解析】解析：选D.法一：由＝iz得

1－i2＋2z＝iz＋z， 即（1－i）z＝－2，

－2（1＋i）

∴z＝＝＝－1－i.

21－i法二：设z＝a＋bi（a，b∈R）， ∴2＋2（a＋bi）＝（1－i）i（a＋bi）， 即2＋2a＋2bi＝a－b＋（a＋b）i，

－2

2＋2a＝a－b

∴， 2b＝a＋b

∴a＝b＝－1，故z＝－1－i. 5． 【答案】A

【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，A(log32,2]，B(0,2]，∵log320，∴AØB，选A． 6． 【答案】B 【解析】

nn1Snna1ddS2a1n1，则n为等差数列公差为, 试题分析：若an为等差数列，nn22nSSd1201717100,2000100,d,故选B. 201717210考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 7． 【答案】D

【解析】解：由题意得：

，

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解得：x≥﹣1或x≠3， 故选：D．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．

8． 【答案】D

2

【解析】解：当x∈（0，）时，2x+x∈（0，1），

∴0＜a＜1，

22

∵函数f（x）=loga（2x+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x+x复合而成，

0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间． t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣）， ∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）， 故选：D． 大于0条件．

9． 【答案】B

22

（2R）=6a， 22

所以S球=4πR=6πa．

【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数

【解析】解：根据题意球的半径R满足

故选B

10．【答案】B

【解析】解：根据频率分布直方图，得； 该班级数学成绩的平均分是 =80×0.005×20+100×0.015×20 +120×0.02×20+140×0.01×20 =114． 故选：B．

【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．

11．【答案】D 【解析】解：∵2Sn=an+当n=2时，2（1+a2）=同理可得猜想

． ．

，∴

，化为

，解得a1=1．

=0，又a2＞0，解得

，

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验证：2Sn==

因此满足2Sn=an+∴∴Sn=∴S2015=故选：D．

．

．

， ．

=

，

…+=，

【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

12．【答案】A

【解析】解：∵复数z满足（1+i）z=2i，∴z=故选A．

=

=1+i，它在复平面内对应点的坐标为（1，1），

二、填空题

13．【答案】【解析】

34 5考

点：点关于直线对称；直线的点斜式方程. 14．【答案】－3e 【解析】f′（x）＝减，

当x>－m时，f′（x）>0，f（x）单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f（x）min＝f（1）＝－m≤1，不可能等于4；

若1<－m≤e，即－e≤m<－1时，f（x）min＝f（－m）＝ln（－m）＋1，令ln（－m）＋1＝4，得m＝－e3（－e，－

1mxm＋2＝，令f′（x）＝0，则x＝－m，且当x<－m时，f′（x）<0，f（x）单调递2xxx第 9 页，共 16 页

1）；若－m>e，即m<－e时，f（x）min＝f（e）＝1－m

＝－3e. 15．【答案】

．

mm，令1－＝4，得m＝－3e，符合题意．综上所述，ee【解析】解：由题意，函数y=ax﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数满足条件

2．

∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，

∴a取1时，b可取2，3，4，5，6；a取2时，b可取4，5，6；a取3时，b可取6，共9种 ∵（a，b）的取值共36种情况 ∴所求概率为故答案为：

．

=

．

16．【答案】 4 ．

【解析】解：∵f′（x）=3cosx+4sinx， ∴f′（

）=3cos

+4sin

=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．

17．【答案】 （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

【解析】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上递减， ∴f（x）在（0，+∞）上递减，

由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0， 即f（2）=0，

由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0， 作出f（x）的草图，如图所示： 由图象，得xf（x）＜0⇔解得x＜﹣2或x＞2，

∴xf（x）＜0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

或

，

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18．【答案】

．

【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P， 设点P到CD的距离为h， 则有 V=×2×h××2，

，

当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2则四面体ABCD的体积的最大值为故答案为：

．

．

【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2∴∴b1=1，

32

又b3=3+b2．∴2=2q，解得q=2． n

∴an=2．

*

（n∈N），a1=2，

，，

=2q＞0，

， =2q2，

∴∴

=a1•a2•a3…an=2×22×…×2n=

．

，

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（2）cn=

=

==﹣

，

﹣+…+

∴数列{cn}的前n项和为Sn=

=﹣2

==

﹣

﹣2+﹣1．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．【答案】

【解析】解：（1）∴=1﹣i．

．

（2）a（1+i）+b=1﹣i，即a+b+ai=1﹣i， ∴

，

解得a=﹣1，b=2．

【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．

21．【答案】

【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2， ∴∠PCB=∵∠ACB=

，PC=

，

，

=5，

，∴∠ACP=

222

在△PAC中，由余弦定理得：PA=AC+PC﹣2AC•PC•cos

整理得：PA=；

，∠PCB=θ，

（2）在△PBC中，∠BPC=∴∠PBC=

﹣θ，

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由正弦定理得：∴PB=

sinθ，PC=

=sin（

=﹣θ），

=．

sin（

，

∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin则当θ=

时，△PBC面积的最大值为

﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）依题意得|QF|=yQ+=+=1，解得p=1，

2

∴抛物线C的方程为x=2y；

（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l与抛物线C交于A、B两点， ∴直线l的斜率存在，

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2， 联立方程组

2

，化简得：x﹣2kx﹣4=0，

22

此时△=（﹣2k）﹣4×1×（﹣4）=4（k+4）＞0，

由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=﹣4， ∴S△AOB==×2==2

（*）

），

|OM|•|x1﹣x2|

又∵A点横坐标为n，∴点A坐标为A（n，又直线过点M（0，2），故k=将上式代入（*）式，可得： f（n）=2=2=2

=﹣，

=n+（n∈N*）；

（ⅱ）结论：当A点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB的面积相等．

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理由如下：

设存在不同的点Am（m，

），An（n，

*

）（m≠n，m、n∈N），

使对应不同的△AOB的面积相等，则f（m）=f（n），即m+=n+， 化简得：m﹣n=﹣=又∵m≠n，即m﹣n≠0， ∴1=

，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，

，

此时A点坐标为（1，），（4，8）．

【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

23．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接QN，BN． ∵Q，N是PD，PA的中点， ∴QN∥AD，且QN=AD． ∵PA=2，PD=2∴AD=4，

∴BC=AD．又BC∥AD， ∴QN∥BC，且QN=BC， ∴四边形BCQN为平行四边形，

∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB， ∴CQ∥平面PAB．

（Ⅱ）解：取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO． 由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2， ∴△APM为等边三角形， ∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD， ∴PO⊥平面ABCD．

以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，∴

=（

，3，0），

=（0，3，﹣

），

），C（=（0，，

，2，0），Q（0，，）．

）．

，PA⊥PD，

设平面AQC的法向量为=（x，y，z），

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∴∴cos＜

，令y=﹣，＞=

得=（3，﹣=﹣

．

，5）．

∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为．

24．【答案】

【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集， 则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，

根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10， 即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10， 所以，10＜10a+10，解得a＞0，

所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）； （2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b， ∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1， 则

＞1恒成立，即

＞1，

abab

所以，a﹣＞b﹣，

bb

将该不等式两边同时乘以ab得，

aabb＞abba，即证．

【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．

25．【答案】

2222

【解析】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1﹣y1=2，x2﹣y2=2， 两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0， ∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0，

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∴=，

22

∵双曲线C：x﹣y=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），

∴，

22

化简可得x﹣2x﹣y=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y=k（x﹣2） 由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0， ∴

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

，

所以

2

联立①②得：k+1=0无解

2

（k≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

26．【答案】

【解析】解：如图：（I）A∩B={x|1＜x≤2}；

（CUA）∩（CUB）={x|﹣3≤x≤0}；

（II）CUA={x|x≤0或x＞2}，CUB={x|﹣3≤x≤1}

（III）A∪B={x|x＜﹣3或x＞0}，CU（A∪B）={x|﹣3≤x≤0}．

【点评】本题考查集合的运算问题，考查数形集合思想解题．属基本运算的考查．

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