数列知识点总结及题型归纳总结

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第

二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an； 数列的一般形式：a1，a2，a3，……，an，……，简记作an。

例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a,-3,-1,1,b,5,7,9;

(2)2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个

公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1，2，3，4，5，…

②：1，，，，…

数列①的通项公式是an=n（n7，nN）， 数列②的通项公式是an=说明：

①an表示数列，an表示数列中的第n项，an=fn表示数列的通项公式； ②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an=(1)=n111123451（nN）。 n1,n2k1(kZ)；

1,n2k③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：123456 项：4567

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点

看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),……，f(n)，……．通常用an来代替fn，其图象是一群孤立点。

例：画出数列an2n1的图像.

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，…(2)10,9,8,7,6,5,… (3)1,0,1,0,1,0,…(4)a,a,a,a,a,…

(n1)S1（5）数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an

SS(n≥2)n1n例：已知数列{an}的前n项和sn2n3，求数列{an}的通项公式

练习：

21．根据数列前4项，写出它的通项公式：

（1）1，3，5，7……；

221321421521（2），，，；

35241111（3），，，。

1*22*33*44*5（4）9，99，999，9999…

（5）7，77，777，7777，…

(6)8,88,888,8888…

n2n1(nN) 2．数列an中，已知an3（1）写出a1,，a2，a3，an1，a2；

n（2）792是否是数列中的项？若是，是第几项？ 33．（2003京春理14，文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内。 4、由前几项猜想通项：

根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式. 5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为. A．40个B．45个C．50个D．55个 二、等差数列

（1）

（4）

（7） （） （）

题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan1d(n2)或an1and(n1)。  a2n1，a例：等差数列nan1个交最多有3最多有1个交n2条直线相交，

3条直线相交，4条直线相交，最多有6个交点

a题型二点 na1(n1)d； 点 、等差数列的通项公式：

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，d0为常数列，d0为递减

数列。

，则a12等于（） 例：1.已知等差数列an中，a7a916，a41A．15B．30 C．31D． 2.{an}是首项a11，公差d3的等差数列，如果an2005，则序号n等于

（A）667（B）668（C）669（D）670

3.等差数列an2n1,bn2n1，则an为bn为（填“递增数列”或“递减数列”） 题型三、等差中项的概念：

定义：如果a，A，b成等差数列，那么

A叫做a与b的等差中项。其中Aab 2ab即：2an1anan2（2ananmanm） 2a例：1．（14全国I）设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a1a1213a，A，b成等差数列A（）

A．120B．105

C．90D．75

2.设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（） A．1B.2 C.4D.8

题型四、等差数列的性质：

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，d（4）在等差数列

anam(mn)；

nman中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq；

n(a1an)n(n1)1d（a1）n。na1dn22222题型五、等差数列的前n和的求和公式：Sn(SnAnBn2(A,B为常数)an是等差数列)

(a1an)n(aman(m1))n递推公式：Sn

22例：1.如果等差数列

an中，a3a4a512，那么a1a2...a7

an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()

（A）14（B）21（C）28（D）35 2.（2015湖南卷文）设Sn是等差数列

A．13B．35 C．49D．63 3.（2015全国卷Ⅰ理）设等差数列

an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9= an中，a1a910，则a5的值为（）

4.（2015重庆文）（2）在等差数列

（A）5（B）6（C）8（D）10

5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）

A.13项

B.12项

C.11项

D.10项

6.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1221，则a2a5a8a11

7.（2014全国卷Ⅱ理）设等差数列

an的前n项和为Sn，若a55a3则

S9 S58．（2014全国）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100. （Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；

9.已知an数列是等差数列，a1010，其前10项的和S1070，则其公差d等于()

A．23112B．C.D.

33310.（2015陕西卷文）设等差数列

an的前n项和为sn,若a6s312,则an

11．（2013全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛的前n项和，求Tn。

12.等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050 ①求通项an；②若Sn=242，求n

Snn｝

13.在等差数列{an}中，（1）已知S848,S12168,求a1和d；（2）已知a610,S55,求a8和S8；(3)已知a3a1540,求S17

题型六.对于一个等差数列：

S奇a（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②n；

S偶an1S奇n（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶ana中；②。 S偶n1题型七.对与一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差数列。

例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）

A.130

B.170

C.210

D.260

2.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为。 3．已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10S730，则S9= 5．（2015全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若

S31S＝，则6＝ S63S12A．

1113 B．C． D．

310题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

an1and(常数）（nN）an是等差数列

②中项法：

2an1anan2③通项公式法：

（nN)an是等差数列

anknb(k,b为常数)an是等差数列

(A,B为常数)an是等差数列

④前n项和公式法：

SnAn2Bn例：1.已知数列{an}满足anan12，则数列{an}为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

2.已知数列{an}的通项为an2n5，则数列{an}为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

3.已知一个数列{an}的前n项和sn2n4，则数列{an}为（） A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断 4.已知一个数列{an}的前n项和sn2n，则数列{an}为（） A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断 5.已知一个数列{an}满足an22an1an0，则数列{an}为（） A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断 6.数列an满足a1=8，a4①求数列an的通项公式；

7．（14天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n，则{an}是（） A.等比数列，但不是等差数列 C.等差数列，而且也是等比数列

B.等差数列，但不是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

2

222，且an22an1an0（nN）

题型九.数列最值

（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值；

可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出

2an中的正、负分界项，即：

an0an0或。

a0a0n1n1若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定例：1．等差数列an中，a10，S9S12，则前项的和最大。

2．设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S120，S130 ①求出公差d的范围，

，S12中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出S1，S2，3．（12上海）设｛an｝（n∈N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错．误的是（） ．

A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 4．已知数列an的通项

D.S6与S7均为Sn的最大值

（nN），则数列an的前30项中最大项和最小项分别是

*

n98n995.已知{an}是等差数列，其中a131，公差d（1）数列{an}从哪一项开始小于0？

8。

（2）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值． 6.已知{an}是各项不为零的等差数列，其中a10，公差d大值．

7.在等差数列{an}中，a125，S17S9，求Sn的最大值．

0，若S100,求数列{an}前n项和的最

(n1)S1题型十.利用an求通项．

SS(n2)n1n1.数列{an}的前n项和Snn1．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{an}是等差数列吗？（3）你能写出数列{an}的通项公式吗？

2．已知数列an的前n项和Snn4n1，则

223.设数列{an}的前n项和为Sn=2n，求数列{an}的通项公式；

2

4.已知数列an中，a13，前n和Sn①求证：数列an是等差数列 ②求数列an的通项公式

1(n1)(an1)1 25.（2015安徽文）设数列{an}的前n项和Sn（A）15(B)16(C)49（D）

n2，则a8的值为（）

等比数列

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫．．．．．．做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q0)，即：an1：anq(q0)。

一、递推关系与通项公式

1． 在等比数列an中,a14,q2，则an

2． 在等比数列an中,a712,q32,则a19_____.

3.（2014重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝，，则公比q为（） （A）2

（B）3

（C）4

（D）8

4.在等比数列an中，a22，a5，则a8=

5.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（）

A33B72 C84D1

二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为bac，注：bac是成等比数列的必要而不充分条件.

例：1.223和23的等比中项为()

2.（2013重庆卷文）设

an是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则an的前

n项和Sn=（）

n25nn23nn27n C． A． B．332444三、等比数列的基本性质，

D．nn

21.（1）若mnpq，则amanapaq(其中m,n,p,qN) （2）qnman2，ananmanm(nN) am（3）an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列. 例：1．在等比数列

an中,a1和a10是方程2x25x10的两个根,则a4a7()

5，a9a10100，则a18=

2.在等比数列an，已知a13.在等比数列an中，a1a633，a3a432，anan1 ①求an

②若Tnlga1lga2lgan,求Tn

4.等比数列{an}的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3a1log3a2A．12B．10 C．8D．2+log35 5.（2014广东卷理）已知等比数列

log3a10（）

{an}满足

an0,n1,2,，且

2na5a2n5n3)2(，则当n1时，

log2a1log2a3log2a2n1（）

222(n1)(n1)n(2n1)nA.B.C.D.

2.前n项和公式

例：1.已知等比数列{an}的首相a15，公比q2，则其前n项和Sn

2.已知等比数列{an}的首相a15，公比q和Sn

3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已a26,6a1a330，求an和Sn



1

，当项数n趋近与无穷大时，其前n项 2

23n10(nN)，则f(n)等于（）

2n2n12n32n41) A．(81) B．(81)C．(81) D．(877775．（2014全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；

4．（2015年北京卷）设f(n)22226．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q

的值为.

47103.若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.

例：1.（2014辽宁卷理）设等比数列{

an}的前n项和为

Sn，若

S6S3=3，则

S9S6=

78A.2B.3C.3D.3

2.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（） A．83B．108 C．75D．63

3.已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m

4.等比数列的判定法 （1）定义法：

an1q（常数）an为等比数列； an2（2）中项法：an1anan2n(an0)an为等比数列；

(k,q为常数）an为等比数列；

n（3）通项公式法：ankqan为等比数列。 （4）前n项和法：Snk(1q)（k,q为常数）Snkkqn（k,q为常数）an为等比数列。

例：1.已知数列{an}的通项为an2，则数列{an}为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断 2.已知数列{an}满足an12nanan2(an0)，则数列{an}为（）

n1A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断 3.已知一个数列{an}的前n项和sn22，则数列{an}为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

5.利用an(n1)S1求通项． SnSn1(n2)1Sn，n=1，2，3，……，求a2，a3，3例：1.（2015北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1a4的值及数列{an}的通项公式．

2.（2015山东卷）已知数列数列

an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn1Snn5(nN*)，证明

an1是等比数列．

四、求数列通项公式方法 （1）．公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1已知等差数列{an}满足：a37,a5a726，求an；

2.已知数列{an}满足a12,anan11(n1)，求数列{an}的通项公式； 3.数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0（nN），求数列an的通项公式；

1an112，求数列an的通项公式； an4. 已知数列{an}满足a12,5. 设数列{an}满足a10且

111，求{an}的通项公式

1an11an6. 已知数列{an}满足an12an,a11，求数列{an}的通项公式。 an227. 等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a39a2a6，求数列{an}的通项公式

8. 已知数列{an}满足a12,an3an1(n1)，求数列{an}的通项公式； 9. 已知数列{an}满足a12，a24且an2anan1（nN），求数列an的通项公式；

2n1n2，且an152(an5)（nN），求数列an的通项公式； n1n2，且an15223(an522)（nN），求数列an的通

10. 已知数列{an}满足a111. 已知数列{an}满足a1项公式；

12.数列已知数列（2）累加法

an满足a11,an4an11(n1).则数列an的通项公式= 21、累加法适用于：an1anf(n)

a2a1f(1)若an1anf(n)(n2)，则

a3a2f(2) an1anf(n)

两边分别相加得an1a1f(n)

k1n例：1.已知数列{an}满足a11,2an1an14n12，求数列{an}的通项公式。

，a11，求数列{an}的通项公式。 2. 已知数列{an}满足an1an2n1，a13，求数列{an}的通项公式。 3. 已知数列{an}满足an1an231n4. 设数列{a2n1n}满足a12，an1an32，求数列{an}的通项公式

（3）累乘法

适用于：an1f(n)an

若

an1f(n)，则a2f(1)，a31af(2)，，anna1a2af(n) n两边分别相乘得，ann1aa1f(k)

1k1例：1.已知数列{ann}满足an12(n1)5an，a13，求数列{an}的通项公式。

2.已知数列an满足a123，ann1n1an，求an。 3.已知a13，an13n13n2an(n1)，求an。 （4）待定系数法 适用于an1qanf(n) 解题基本步骤： 1、确定f(n)

2、设等比数列

an1f(n)，公比为

3、列出关系式an11f(n1)2[an2f(n)] 4、比较系数求1，2

5、解得数列

an1f(n)的通项公式 6、解得数列

an的通项公式

例：1.已知数列{an}中，a11,an2an11(n2)，求数列

an的通项公式。

2.（2015，重庆,文,14）在数列

an中，若a11,an12an3(n1)，an_______________

则该数列的通项

3.（2014.福建.理22.本小题满分14分）已知数列通项公式；

an满足a11,an12an1(nN*).求数列an的

an的通项公式。

4.已知数列{an}满足an12an35，a16，求数列解：设an1x5n1n2(anx5n)

n5.已知数列{an}满足an13an524，a11，求数列{an}的通项公式。 解：设an1x2n1y3(anx2ny)

6.已知数列an中，a1511n1,an1an()，求an 63227.已知数列{an}满足an12an3n4n5，a11，求数列{an}的通项公式。

解：设an1x(n1)y(n1)z2(anxnynz) 8.已知数列{an}满足an12an43n122，a11，求数列an的通项公式。

递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。先把原递推公式转化为an2san1t(an1san)其中s，t满足stp

stq9.已知数列{an}满足an25an16an,a11,a22，求数列{an}的通项公式。 （5）递推公式中既有Sn

分析：把已知关系通过anS1,n1转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。

SS,n2n1n1Sn，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的31.（2015北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1值及数列{an}的通项公式． 2.（2015山东卷）已知数列

an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn1Snn5(nN*)，证明数列

1(n1)(an1)1 2an1是等比数列．

3．已知数列an中，a13，前n和Sn①求证：数列an是等差数列

②求数列an的通项公式

4.已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn数列{an}的通项公式。

1(an1)(an2)，且a2,a4,a9成等比数列，求6（6）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例：1.已知数列{an}满足an12an,a11，求数列{an}的通项公式。 an2（7）对无穷递推数列

消项得到第n1与n项的关系

例：1.（2014年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足

a11，ana12a23a32.设数列

(n1)an1(n2)，求{an}的通项公式。

an满足a13a232a3…3n1ann*，aN．求数列an的通项； 3五、数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

na1(q1)n(a1an)n(n1)Snna1dSna1(1qn)公比含字母时一定要讨论

(q1)221q(理)无穷递缩等比数列时，Sa11q

例：1.已知等差数列{an}满足a11,a23，求前n项和{Sn}

2.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ）

A．9B．10 C．11D．12

3.已知等比数列{an}满足a11,a23，求前n项和{Sn} 4.设f(n)2222

A.

471023n10(nN)，则f(n)等于（）

D.

2n22(81) B.(8n11)C.(8n31) 7772n4(81) 7

2．错位相减法求和：如：an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.例：1．求和Sn12x3x2nxn1

2.求和：Sn123n23n aaaa{bn}是各项都为正数的等比数列，3.设{an}是等差数列，且a1b11，a3b521，a5b313（Ⅰ）

求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn． bn3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：

1111111()n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n1

1，则S5等于（ ）

n(n1)例：1.数列{an}的前n项和为Sn，若anA．1B．

511C．D． 66302.已知数列{an}的通项公式为an1，求前n项的和；

n(n1)1nn1，求前n项的和．

3.已知数列{an}的通项公式为an4.已知数列{an}的通项公式为an＝

11n1，设Tnaaaa213241，求Tn．

anan25．求11111,(nN*)。 121231234123n6．已知a0,a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bnanlgan(nN)，求数列bn的前n项和Sn。 4．倒序相加法求和

例：1.求S 3CC6…3nCnnnn2.求证：Cn3Cn5Cn...(2n1)Cn(n1)2 3．设数列an是公差为d，且首项为a0d的等差数列， 求和：Sn1a0Cna1CnanCn 综合练习：

1.设数列{an}满足a10且

01n012nn12n111

1an11an（1）求{an}的通项公式

（2）设bn1an1n,记Snbk，证明：Sn1

k1n2.等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a3（1）求数列{an}的通项公式

（2）设bnlog31log32...log3n，求数列{aaa29a2a6

1}的前n项和 bn3.已知等差数列{an}满足a20,a6a810. (1)求数列{an}的通项公式及Sn

（2）求数列{an}的前n项和 n124.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33 （1）若a1,求数列{an}的通项公式 （2）若数列{an}唯一，求a的值

5.设数列{an}满足a12，an1an32（1）求数列{an}的通项公式

（2）令bnnan，求数列{bn}的前n项和Sn

7.已知等差数列{an}满足：a37,a5a726，{an}的前n项和Sn （1）求an及Sn （2）令bn2n1

1an12（nN），求数列{bn}前n项和Tn

8．已知数列an中，a13，前n和Sn①求证：数列an是等差数列 ②求数列an的通项公式

1(n1)(an1)1 2