带有六边形孔的复合材料板之孔边应力计算

工 程 力 学 ENGINEERING MECHANICS

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带有六边形孔的复合材料板之孔边应力计算

*

李 成，郑艳萍，铁 瑛

(郑州大学机械工程学院，河南，郑州 450001)

摘 要：针对不同的六边形孔，采用复变函数理论中的保角变换原理，对某些算法进行一定的改进，建立一个准确的解析分析方法，从而得到含复杂孔形复合材料板孔边应力场的解析计算公式。由于弯曲和剪切荷载对含孔复合材料构件危害较大，因此，从工程实际出发，该文以含六边形孔的复合材料板为例，采用所建立的计算模型，对其在剪切荷载、弯矩作用下的孔边应力分布，以及应力峰值进行较为全面的分析、计算。针对相关几何参数的变化，例如长宽比的变化对孔边应力场的影响进行分析。并对剪切荷载和弯矩对具有不同几何尺寸的六边形孔边应力场的影响进行比较。同时对两种荷载对孔边应力场的影响也进行比较。 关键词：含孔复合材料板；六边形孔；应力峰值；保角变换；剪切荷载；弯矩 中图分类号：V214.8 文献标识码：A

CALCULATION ON HOLE-EDGE STRESS OF COMPOSITE MATERIAL

PLATE WITH HEXAGON HOLES

*

LI Cheng , ZHENG Yan-ping , TIE Ying

(School of Mechanical Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou, Henan 450001, China)

Abstract: An accurate analytic method of a composite material plate with different hexagon holes is founded based on the conformal mapping of complex function theory. The analytic equations of a hole-edge stress field of a complex hole-shape are gained. Because the bending moment and shearing force can cause great harms to a composite material structure with holes, as an example of composite material plates with hexagon holes, the comprehensive analysis and calculation on the distributions and the peak values of the hole-edge stress are made by shearing load and bending moment according to the calculation model. The analysis is made for the influence of geometric parameters on the hole-edge stress field, such as the ratio of length to width. The comparison is made between the influence of shearing load and that of bending moment on the hole-edge stress field of a hexagon hole with various parameters. And so does the influence of two types of loads on the hole-edge stress field.

Key words: composite material plate with hole; hexagon holes; peak value of stress; conformal mapping;

shearing load; bending moment

相对于含孔均质材料，含孔复合材料问题更为复杂。由于复合材料在各领域的广泛应用，关于复合材料结构强度的研究也越来越受到重视。而对含分[1

―3]

对于复合材料构件来说，受剪切荷载、弯矩作用是一个复杂、但非常重要的问题。国内外学者对此进行了大量的研究工作，取得了一定数量的成

―6]

孔复合材料构件的分析、研究是其中重要的部 果[4

。由于复合材料本身的特殊性质，孔边边界条件的处理相当复杂。

———————————————

收稿日期：2008-03-26；修改日期：2009-03-20

，但是工作主要集中在对一些简单的孔形进

―8]

行解析分析，对含复杂孔形、复杂边界条件的复合材料构件只能采用数值方法[7

，一直以来还没有

作者简介：*李 成(1962―)，男，乌鲁木齐市人，教授，博士，主要从事固体力学、复合材料结构强度研究(E-mail: chengli@zzu.edu.com)； 郑艳萍(1975―)，女，河南平顶山市人，讲师，硕士，主要从事复合材料结构强度研究(E-mail: zhengyanping@zzu.edu.cn)； 铁 瑛(1978―)，女，河南洛阳市人，讲师，博士，主要从事复合材料结构强度研究(E-mail: tieying@zzu.edu.cn).

40 工 程 力 学

一个解析方法。

在本文中采用复变函数理论中的保角变换原理，对某些算法进行一定的改进，从而得到含复杂孔形复合材料板孔边应力场的解析计算公式。文中以含六边形孔的复合材料板为例，采用所建立的计算模型，对其在剪切荷载、弯矩作用下的孔边应力分布以及应力峰值进行较为全面的分析、计算。并比较了剪切荷载和弯矩对具有不同几何尺寸的六边形孔边应力场的影响。同时对两种荷载对孔边应力场的影响也进行了比较。

出相应的映射函数。由于整个运算过程较为繁琐，并且无特别意义，因此，略去计算过程，直接给出将要分析的两个六边形孔的映射函数：

1) 当六边形孔的长宽比a/b=1.3时：

1

z=ω(ζ)=+0.0918ζ−0.096ζ3+0.0395ζ5+

ζ0.023ζ7−0.0004ζ9 (2)

2) 当六边形孔的长宽比a/b=1时：

1

z=ω(ζ)=−0.0463ζ−0.0832ζ3+0.0469ζ5+

ζ1 含孔复合材料板的力学模型

关于含孔复合材料平面问题研究，很多研究者在他们的文献中都有过精彩的论述[9

―11]

0.0098ζ7−0.0009ζ9 (3)

得到了映射函数后，即可由z1=x+µ1y和z2=x+µ2y分别得到z1、z2的表达式，将其代入解析函数ϕ(z1)、ψ(z2)中，考虑相应的边界条件，

并借助柯西积分就可以得到所要求的两个解析函数。省略具体的计算过程，直接给出所研究的两种六边形孔的解析函数ϕ(z1)、ψ(z2)。

对于第一种情况：a/b=1.3，相应的解析函 数为：

，这里不作

过多的讨论，因为这不是本文研究的重点。在本文中主要是针对相关几何参数的变化，例如长宽比的变化对孔边应力场的影响进行分析。作为分析问题的基础，这里只列出所需要的一些相关方程。首先写出孔边应力场的解析表达式[2]：

σx=2Re[µ12ϕ′(z1)+µ22ψ′(z2)],

σy=2Re[ϕ′(z1)+ψ′(z2)],

(1)

ϕφ(ζ)=

1

×

2(β1−β2)2(β1+β2)[β12p(−0.9082ζ−0.096ζ3+

τxy=−2Re[µ1ϕ′(z1)+µ2ψ′(z2)]。

其中：ϕ(z1)、ψ(z2)是为便于计算的简化而引入的两个解析函数；µ1、µ2在一定程度上描述了材料的各向异性度。z1=x+µ1y和z2=x+µ2y是各向异性平面问题中应力函数所包含的复变数。

式(1)即是求解含孔复合材料平面问题的基本方程。具体的推导过程见文献[2]，这里不再叙述。对于含孔复合材料板的研究，关键的问题是孔边边界条件的建立、求解。对于简单孔形，例如，圆孔板、椭圆孔板，由于孔形简单，已有成熟的求解方法，但是对于本文所要研究的复杂孔形——六边形孔，一直以来还没有一个准确的解析分析方法。困难主要在于对六边形孔边界的描述，而这正是本文将要解决的问题之一。

首先根据复变函数理论的保角变换原理，找到将六边形孔边界映射为单位圆的映射函数，然后采用处理平面孔口问题时的一般性方法，可以得到应力分量表达式(1)中的两个复变应力函数ϕ(z1)、

0.0395ζ5+0.023ζ7−0.0004ζ9)+

β22p(0.9082ζ+0.096ζ3−0.0395ζ5−

0.023ζ7+0.0004ζ9)] (4)

1

ψ(ζ)=× 2

2(β1−β2)(β1+β2)

2[β2p(−0.9082ζ−0.096ζ3+

0.0395ζ5+0.023ζ7−0.0004ζ9)+

β12p(0.9082ζ+0.096ζ3−0.0395ζ5−

0.023ζ7+0.0004ζ9)] (5)

式中：β1、β2分别是复参数µ1和µ2的虚部；p为

外荷载。

对于第二种情况：a/b=1，相应的解析函 数为：

ϕ(ζ)=

1

×

2(β1−β2)2(β1+β2)[β12p(0.9537ζ−0.083ζ3+

ψ(z2)，将其代入应力分量表达式(1)中，并分离虚

部和实部，即可得到应力分量的计算公式。针对本文所要研究的两种六边形孔，由保角变换原理可求

0.0469ζ5+0.0098ζ7−0.0009ζ9)+

β22p(−0.9537ζ+0.083ζ3−0.0469ζ5−

0.0098ζ7+0.0009ζ9)] (6)

工 程 力 学 41

孔边应力/Pa

1

ψ(ζ)=×

2(β1−β2)2(β1+β2)

2[β2p(0.9537ζ−0.083ζ3+

0.0469ζ5+0.0098ζ7−0.0009ζ9)+

β12p(−0.9537ζ+0.083ζ3−0.0469ζ5−

0.0098ζ7+0.0009ζ9)] (7)

在得到了相应的复变应力函数ϕ(z1)、ψ(z2)后，将

其代入应力分量表达式(1)中，并分离虚部和实部，即可对具体的孔边应力进行准确的计算。

以上即是对六边形孔计算、分析的整个过程。下面将对含已给定的两种六边形孔的正交各向异性板分别进行孔边应力分析。

图2 含六边形孔的正交各向异性板在周边受剪切荷载

作用情况下的孔边应力分布(a/b=1.3) Fig.2 Hole-edge stress distribution of orthotropic plate with

hexagon hole by shearing load around (a/b=1.3)

孔边应力/Pa

角度θ/()

o

2 剪切荷载作用下具有不同几何尺寸

六边形孔孔边应力分布计算

首先讨论含六边形孔的正交各向异性板受剪切荷载作用的情况，如图1所示。

y

x

角度θ/()

o

图1 含六边形孔的正交各向异性板 Fig.1 Orthotropic plate with hexagon hole

如果给定工程常数：

E11=135GPa，E22=9.5GPa， G12=6.0GPa，ν12=0.3。

用以上所介绍的方法对上述两种六边形孔的情况分别进行计算，可以得到孔边应力精确解析解。限于篇幅，应力表达式这里没有给出。但通过度θ以横轴为起点，旋转360°时，即可得到相应的应力分布曲线，分别如图2、图3所示。

在剪切荷载作用下最大应力出当a/b=1.3时，

现在θ=55°的地方，数值为12.181。

当a/b=1时，在剪切荷载作用下最大应力出现在θ=61°的地方，数值为10.424。

应力解析表达式可知，应力是角度θ的函数。当角

图3 含六边形孔的正交各向异性板在周边受剪切荷载

作用情况下的孔边应力分布(a/b=1) Fig.3 Hole-edge stress distribution of orthotropic plate with

hexagon hole by shearing load around (a/b=1)

a/b=1.3

孔边应力σ a/b=1

角度θ

3 剪切荷载对不同几何尺寸六边形孔

孔边应力分布影响的比较

对于孔形对孔边应力的影响，在图4中给出。

图4 两种孔形剪切荷载作用下的孔边应力分布

(a/b=1.3; a/b=1) Fig.4 Hole-edge stress distribution of orthotropic plate with

two different hexagon holes by shearing load

(a/b=1.3; a/b=1)

42 工 程 力 学

图4是两种孔形在剪切荷载作用下的孔边应力在0→π/2之间的分布。其中实线表示a/b=1.3时的孔边应力分布，虚线表示a/b=1时的孔边应力分布。从中可以看出，在剪切荷载作用下，随着

当a/b=1时，在弯矩荷载作用下最大应力出现在θ=65°的地方，数值为6.272。

a/b的减小，孔边应力峰值也随之下降。

5 弯矩对不同几何尺寸六边形孔

孔边应力分布影响的比较

两种孔形在这种荷载情况下孔边应力场的比较，见图7所示。

4 弯矩作用下具有不同几何尺寸

六边形孔孔边应力分布计算

同样可以对含六边形孔的正交各向异性板受形孔的正交各向异性板为例，而且采用同样的工程常数，结果在图5，图6中给出。

当a/b=1.3时，在弯矩荷载作用下最大应力出现在θ=58°的地方，数值为5.588。

孔边应力/Pa

孔边应力σ 弯矩作用的情况进行计算。仍是以含上述两种六边

a/b=1.3a/b=1

角度θ

图7 两种孔形弯矩荷载作用下的孔边应力分布

ab=1) (a/b=1.3; /Fig.7 Hole-edge stress distribution of orthotropic plate with

two different hexagon holes by bending moment

(a/b=1.3; /ab=1)

角度θ/()

o

图7是两种孔形在弯矩荷载作用下的孔边应力在0→π/2之间的分布。其中实线表示a/b=1.3时的孔边应力分布，虚线表示a/b=1时的孔边应力分布。从图7中可以看出，在弯矩荷载作用下，

图5 含六边形孔的正交各向异性板在弯矩荷载作用

情况下的孔边应力分布(a/b=1.3) Fig.5 Hole-edge stress distribution of orthotropic plate with

hexagon hole by bending moment (a/b=1.3)

孔边应力/Pa

随着a/b的减小，孔边应力峰值反而增大。

通过以上分析知道，六边形孔几何尺寸的不同将对应力分布有着不可忽视的影响。因此，在考虑周围环境的情况下，对六边形孔几何尺寸进行合理的设计可以降低应力集中，减少结构、构件因局部应力过高而发生破坏。

6 两种荷载类型对孔边应力场

影响的比较

影响孔边应力场的不仅是孔口形状，还有荷载

角度θ/()

o

类型。对同一种孔形，不同的荷载会产生不同的应力峰值。针对以上两种六边形，由前边的计算、分析，还可以对同一种孔形在不同的荷载作用下孔边应力分布进行比较。

图6 含六边形孔的正交各向异性板在弯矩荷载作用

情况下的孔边应力分布(a/b=1) Fig.6 Hole-edge stress distribution of orthotropic plate with

hexagon hole by bending moment (a/b=1)

图8和图9分别描述了两种六边形孔分别在剪切荷载和弯矩荷载作用下的孔边应力在0→π/2之间的分布。图8和图9中显示，两种荷载引起孔边最大应力出现的位置较接近，但是方向却正好相

工 程 力 学 43

反，剪切荷载引起的最大应力是拉应力，而弯矩荷载引起的最大应力是压应力。并且对于所研究的两种六边形来说，显然，剪切荷载所造成的破坏要大得多。

行了比较。 参考文献：

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孔边应力σ 角度θ

图8 两种荷载作用下的孔边应力分布(a/b=1.3) Fig.8 Hole-edge stress curves by two different types of load

(a/b=1.3)

孔边应力σ 角度θ

图9 两种荷载作用下的孔边应力分布(a/b=1) Fig.9 Hole-edge stress distribution by two different types of

load (a/b=1)

7 结论

对于本文所要研究的复杂孔形——六边形孔，一直以来还没有一个准确的解析分析方法。困难主要在于对六边形孔边界的描述，而本文较好的解决了这一问题。文中采用复变函数理论中的保角变换原理，对某些算法进行一定的改进，从而得到含复杂孔形复合材料板孔边应力场的解析计算公式。文中以含六边形孔的复合材料板为例，采用所建立的计算模型，对其在剪切荷载、弯矩作用下的孔边应力分布，以及应力峰值进行较为全面的分析、计算。针对相关几何参数的变化，例如长宽比的变化对孔边应力场的影响进行分析。并对剪切荷载和弯矩对具有不同几何尺寸的六边形孔边应力场的影响进行比较。同时对两种荷载对孔边应力场的影响也进