维普资讯 http://www.cqvip.com ‘数学教学通讯）２００３年１２月（上半月）（总第１８１期） 重庆－３７· 三角形角分线定理及共应用 （河南省周口市川汇区教委教研室（河南省周口教育学院数学系４６６００１） 李世臣 ４６６００１） 陈劲松 求证：ＡＥ＝ＡＧ． 证明：连接ＧＣ，设 我们把三角形一个角的顶点与对边上一 点的连线叫做三角形的角分线． 角分线有如下性质： ＡＧＥ＝口， ＥＧＣ＝卢． Ｇ 定理 三角形角分线分对边的比等于两 邻边与其相应分角正弦积的比． 下面给出该定理的证明． 已知：如图１，Ｄ点在ＡＡＢＣ的ＢＣ边上， ＡＤ为 ｔ 由角分线定理得： ＡＥ ＡＧｓｉｎａ ＥＣ ＡＧ·ＢＧｓｉｎａ Ｇ—Ｃｓ—ｉｎｆｌ—Ｒ ＡＧ ＢＦ ＢＧ￣Ｇ—Ｃｓｉｎｆｌ＝＝＝丽即豇丽ＡＥＡＧ 。一ＦＣ。 — 图２ 的角分线． ＢＤ ＡＢｓｉｎ ＢＡＤ 让：丽＝＝＝—ＡＣｓｉｎＬ—ＣＡＤ。 Ａ ＢＦ 证明：过Ｂ、Ｃ向角分线 ＡＤ所在直线作垂线，Ｅ、 为垂足， 则ＢＥ＝ ＢＡｓｉｎＬＢＡＤ．ＣＦ＝ ＡＣｓｉｎ ＣＡＤ． ＡＧ＋—ＡＢ‘雨’ 因为ＡＥ＝ＥＤ，ＢＦ＝ＦＣ，ＡＢ＝ＣＤ， 所以 Ｃ ＡＥ一 ＡＧ 化简得ＡＥ＝ＡＧ． ２ 求线段的比值 因为 ＢＥＤ＝ＬＣＦＤ 图ｌ 例２ 在ＡＡＢＣ中，Ｄ点在ＢＣ上， ＢＤ：ＤＣ＝３：２，Ｅ在ＡＤ上，ＡＥ：ＥＤ＝ Ｒｔ ， ＢＤＥ一 ＣＤＦ， 所以△ＢＥＤ∽△ＣＦＤ． 所以 ＝ ＝ ｓｉｎ ＬＢＡ Ｄ５：６，延长ＢＥ交ＡＣ于Ｆ．则ＢＥ：ＥＦ＝ 解：如图３，设 ＡＢＥ ＝口， ＥＢＤ＝ ， Ｂ Ｅ＝ ｚ， ＥＡＦ＝Ｙ． 很明显，当角分线分成等角时，ｓｉｎ ＢＡＤ ＝ｓｉｎ Ｃ Ｄ，便得ＢＤ：ＤＣ—ＢＡ：ＡＣ．所 以，角分线定理可以认为是三角形角平分线定 理的推广．在数学解题中，角分线定理和角平分 线定理一样，有着广泛的应用．本文依托分角线 定理，仅就以分角为参数，化曲为直，寻求比例 关系的解题方法进行阐述． １ 证明线段相等 Ａ 由角分线定理得： ＡＦ ＡＢｓｉｎａ ＦＣ一 ＝＝＝ Ｃ ＡＢｓｉｎａ ＢＤ ＡＥ ＢＤ 丽 ５ ６ ３ ５ ‘丽 一ＥＤ‘一ＢＣ＝＝＝ １ ２。 图３ 例１ 如图２，△Ａ８Ｃ中，ＡＣ＞ＡＢ，在ＡＣ 上取一点Ｄ，使ＣＤ＝ＡＢ，Ｅ为ＡＤ的中点，Ｆ 为ＢＣ的中点，连结ＦＥ，并延长ＦＥ交ＢＡ的延 长线于点Ｇ． ＢＥ —Ｆ ＥＡＢｓｉｎｘ ＡＢｓｉｎｘ ＡＣ 一—ＡＣｓ—ｉｎｙ Ｆ ９ ２。。 ＢＤ ＡＣ ３ ＤＣ ＡＦ一 ２ Ｖ 维普资讯 http://www.cqvip.com ３８· 重庆 ３ 证明比例式 例３ ｏｏ的内接四边形ＡＢＣＤ的一组对 边ＡＤ、ＢＣ的延长线交于点Ｐ，Ｍ为ＣＤ的中 点，ＰＭ交ＡＢ于点Ｅ． Ｅ ＰＡ 让：丽：＝＝—ｐＢ—２。 证明：如图４，设 ＥＰＡ一口， ＢＰＥ— ， 由角分线定理得： ＡＥ ＰＡｓｉｎａ Ｅ—Ｂ＝ ＝—ＰＢｓ—ｉｎｆｌ＝ ＝ Ｄ ＰＡ·Ｐｃ·ＰＤｓｉｎａ ＰＡ ＰＣ ＤＭ 图４ ＰＢ‘ ‘—Ｍ—Ｃ。 由割线定理得由割线定理得 两ＰＡ一一 ＰＣ两，又 又ＣＭ—ＭＤ，一 ， 所以丽ＡＥ一雨ｐＡ２４ 证明三点共线 例４ 圆内接四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ、 ＢＤ交于点Ｑ，对边ＡＤ、ＢＣ的延长线交于点Ｐ， 由Ｐ作圆的切线，Ｅ、Ｆ为切点． 求证：Ｅ、Ｆ、Ｑ三点共线． 证明：如图５，设直线 ＥＦ、ＡＣ交于点Ｑ ，直线 ＥＦ、ＢＤ交于点Ｑ ，圆的直 径为２Ｒ，连接ＡＥ、ＡＦ、ＣＥ、 ＣＦ；ＢＥ、ＢＦ、ＤＥ、ＤＦ． 在△ＡＥＦ 中， 设 ０ ◆ ＥＡＱ 一口， Ｑ ＡＦ＝ ， 图５ 由分角线定理得： ＥＱ ＡＥｓｉｎａ ＡＥ·２Ｒｓｉｎａ Ｑ Ｆ ＡＦｓｉｎｆｌ ＡＦ·２Ｒｓｉｎｆｌ 同理器一等·筹． 因为ＰＥ、ＰＦ切ｏｏ于Ｅ、Ｆ， 所以△ＰＡＥ∽△ＰＥＤ，△ＰＡＦ∽ △ＰＦＤ． 所以丽ＡＥ＝ＰＡＡＦＰ Ａ两，丽《数学教学通讯１）２００３年ｌ２月（上半月）（总第１８１期） 因为ＰＥ—ＰＦ，所以 Ａ ＥＡ Ｆ即 Ａ Ｅ ＤＥ同理得：丽ＢＥ一 ＣＥ所以 ＥＱ１Ａ Ｅ器一筹·嚣一器． 所以Ｑ 、Ｑ 两点重合于点Ｑ。即Ｅ、Ｆ、Ｑ三 点共线． ５ 证明三线共点 例５ 已知Ｄ、Ｅ、Ｆ分别在ＡＡＢＣ的三边 ＡＢ、Ｂｃ、ＣＡ￣，若 · · 一１． 证明：ＡＥ、ＢＦ、ＣＤ相交于一点． 证明：如图６，设ＡＥ、ＢＦ相交于点Ｐ，ＡＥ、 ＣＤ相交于点Ｑ， ＤＢＰ一口， ＰＢＥ— ； ＦＣＱ—ｚ， ＱＣＥ：ｙ． 由角分线定理得： 一 塞 一 Ｂｓｉｎａ ＢＣ ＡＦ ＢＣ ＡＱ ＡＣｓｉｎｘ ＢＣｓ—ｉｎｆｌ—ＢＥ葡‘一ＢＥ’ 一—ＣＥｓ—ｉｎｙ— Ｃｓｉｎｘ ＢＣ ＡＤ ＢＣ ＢＣｓｉｎｙ ＣＥ ＤＢ ＣＥ’ 因为丽ＡＤ·ＢＥＣＦ丽＝１， 所以砸ＡＤ· ＢＣ所以 ＡＰ一 ＡＱ所以Ｐ、Ｑ两点重合，即ＡＥ、ＢＦ、ＣＤ相交 于一点． Ｂ Ｃ 图６ 图７ ６ 解决其它问题 例６ 如图７，ＡＡＢＣ各角顶点与对边三 等分点的连线中，相邻两线交于点Ｐ、Ｑ、Ｒ，则 △ＰＱＲ∽ＡＡＢＣ，且相似比为１：５． 维普资讯 http://www.cqvip.com 《数学教学通讯｝２００３年１２月（１－－半月）（总第１８１期） 重庆 ·３９· 活用均值不等式巧解数学题 （贵州省铜仁市坝黄中学 ５５４３０７） 杨昌米 胡银萍 平均值不等式是高中数学的重要内容，熟 练掌握二元和三元均值不等式及其变形应用， 可以巧妙地解决许多数学题． １ 证明不等式 的最小值及取得最小值时ｚ的取值． 解： 一 ＋ 一 这是最为大家常见问题，问题解决的关键 是怎样根据题目提供的隐含条件去构造二元或 ＋ｔａｎ号一壶＋扣号 因为０＜ｚ＜玎， 三元均值不等式． 例１ 已知ｚ，Ｙ，ｚ∈Ｒ 且满足ｘｙｚ（ｘ＋ 所以０＜詈＜詈，ｔａｎ号＞０， 即Ｙ≥２ 一· 三２一＋一１一了一 肌 Ｙ＋ｚ）一１，求证：（ｚ＋ ）（ ＋ｚ）≥２． 证明：（ｚ＋ ）（ ＋ｚ）一 ｘｙ＋ＸＺ．＋Ｙ ＋ｙｚ— ”成立时ｔａｎ号一 ，ｚ一詈． ． （ｚ＋ ＋ｚ）＋ｚｚ—Ｙ‘；Ｌ＿＋ｚｚ— １ ＋ｚ即当ｚ一－－ ４－时，Ｙ取最小值 ｚｚ≥２√ ·ｚｚ一２．证毕． 本题虽关于三角函数，可以用三角函数的 此题从“２”这个数字，提示我们构造二元 其它方法求解，但是用均值不等式可以减少运 算量，不过值得注意的是一定要看“一”能不能 成立． 例３ 设Ｓ 一１＋２＋３＋…＋ ， ∈Ｎ， 均值不等式． ２ 求最值 高中数学很多地方涉及求最值，利用均值 不等式中等号成立的条件，可以解决很多问题． 例２ －ｉ￣ｏ＜ｚ＜玎，则函数 一—２－－百 ＣＯＳＸ 求厂（ ）一 国高中数赛） 的最大值·（２０００年全 证明：延长ＡＲ、ＡＱ交ＢＣ于Ａ 、Ａ ，延长 同理可得：ＡＱ：ＱＡ２—３：２． ＢＲ交ＡＣ于Ｂ２，设 ＡＢＲ一口， ＲＢＣ一卢． 所以ＲＱ／／Ａ Ａ ，且 ＲＱ一 Ａ Ａ 一ＢＣ． Ｐ尺一ＡＣ． 由角分线定理得： Ａ尺 ＡＢｓｉｎａ ＡＢｓｉｎａ ＢＣ ＢＡｌｓ—ｉｎｆｌ —ＢＣｓ—ｉｎｆｌ—ＢＡ１ １ ３ 同理ＱＰ—ｌＡＢＡＢ２ ＢＣ Ｂｚ—Ｃ‘瓦 一 ‘。一 ‘ 所以△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ，相似比为１：５．
