四川省双流中学2017届高三2月月考数学(文)试题 Word版含答案

数学（文科）

本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）。 本试卷满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题，满分60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

21．已知集合Pxx1，Ma．若PMP，则a的取值范围是（ ）

A．,1

B．1, C．1,1 D．,11,

2．设a,bR．“a0”是“复数abi是纯虚数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若向量a,b,c满足a//b且ac，则c(a2b)=（ ） A．4

4．观察下列事实xy1的不同整数解(x,y)的个数为4，xy2的不同整数解(x,y)的个数为8，xy3的不同整数解(x,y)的个数为12 „．则xy20的不同整数解

B．3

C．2

D．0

(x,y)的个数为（ ）

A．76 B．80 C．86 D．92

5．2008年5月12日四川汶川发生强烈地震后，我市立即抽调骨干医生组成医疗队赶赴灾区进行抗震救灾，某医院要从包括张医生在内的4名外科骨干医生中，随机抽调2名医生参加抗震救灾医疗队，那么抽调到张医生的概率为（ ） A．

- 1 -

1111 B． C． D． 4263sin2x3（ ）6．已知f(x)sinxcosx，f(x)3f(x),f(x)为f(x)的导数，则

cos2x1''A．

11131411 B． C． D．

699612137．设a2，b3，clog32，则（ ）

A．bac B．abc C．cba D．cab

8．在下列各数中，最大的数是（ ） A．85（9） B．210（6）

9．在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c已知三个内角度数之比

C．1000（4） D．11111（2）

A:B:C1:2:3，那么三边长之比a:b:c等于（ ）

A．1:3:2 B．1:2:3 C．2:3:1 D．3:2:1

10．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（ ）

A．7

11．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16

B．

224723 C． D． 363 - 2 -

M是此双曲线上的一点，且满足12．已知双曲线的两个焦点为F1(10,0),F2(10,0)，

MF1MF20，MF1MF22，则该双曲线的方程是（ ）

x2y2x2y2x2y222y1B．x1 C．1 D．1 A．993773

第II卷（非选择题，满分90分）

二．填空题（每小题5分，共20分）

yx513．若x,y满足y2x若zxmy的最大值为，则实数m= ．

3xy1

14．把函数ysin2x的图象沿x轴向左平移

个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标6不变）后得到函数yf(x)图象，对于函数yf(x)有以下四个判断： ①该函数的解+析式为y2sin(2x6)； ②该函数图象关于点(③该函数在0,

3,0)对称；



上是增函数； 6



上的最小值为3，则a23． 2

④函数yf(x)a在0,

其中，正确判断的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）

15．已知圆C:x3(y5)25，过圆心C的直线l交圆C于A,B两点，交y轴于点

2P．若A恰为PB的中点，则直线l的方程为 ．

x16．已知函数f(x)ealnx的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题：

①对于任意a(0,)，函数f(x)是D上的减函数； ②对于任意a(,0)，函数f(x)存在最小值；

- 3 -

③对于任意a(0,)，使得对于任意的xD，都有f(x)0成立； ④存在a(,0)，使得函数f(x)有两个零点． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）

三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）

已知an是等差数列，满足a12,a414，数列bn满足b11,b46，且anbn是等比数列．

（Ⅰ）求数列an和bn的通项公式；

（Ⅱ）若nN，都有bnbk成立，求正整数k的值．

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18．（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中a的值；

（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．

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- 4 -

19．（本小题满分12分）

如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是等腰直角三角形，且

ACB90,AC2,D是AA1的中点．

（Ⅰ）求异面直线AB和C1D所成角的余弦值；

（Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置,使得

A1EC1D；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B1C1E的距离．

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20．（本小题满分12分）

x2y2如图，P(0,1)是椭圆C1:221(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆

abC2:x2y24的直径，l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A,B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）求ABD面积的最大值时直线l1的方程．

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21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)x1a(aR,e为自然对数的底数)． xe（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； （Ⅱ）求函数f(x)的极值；

（Ⅲ）当a1的值时，若直线l:ykx1与曲线yf(x)没有公共点，求k的最大值．

- 5 -

______________________________________▲_____________________________________________

请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答请写清题号 22.（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos,0, 2（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．

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23．（本小题满分10分） 设函数f(x)x1xa(a0)． a（Ⅰ）证明：f(x)2；

（Ⅱ）若f(3)5，求a得取值范围.

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2014级高三二月月

数学（文科）

一．选择题（共12小题）

1．C．2．B．3．D. 4．B． 5．B．

6．解：∵f（x）=sinx+cosx，∴f′（x）=cosx﹣sinx， ∴cosx﹣sinx=3sinx+3cosx，cosx=﹣2sinx，tanx=﹣．

- 6 -

====

=，故选C．

7．解：因为=＞1，，因为a=8，b=9，所以b＞a，

66

因为c=log32∈（0，1），所以b＞a＞c．故选D．

8．解：85（9）=8×+5=77；210（6）=2×6+1×6=78；1000（4）=1×4=； 11111（2）=2+2+2+2+2=31．故210（6）最大，故选B．

9．解：∵三个内角度数之比∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°∴a：b：c=sin30°：sin60°：sin90°=1：

10．解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：故选D．

11．解：由已知球的直径为2，故半径为1，其表面积是4×π×1=4π，应选B

12．解：∵

•

2

2

4

3

2

1

0

9

2

3

：2 故选A．

，

=0，∴

2

⊥，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|+|MF2|=40，

2

22

∴（|MF1|﹣|MF2|）=|MF1|﹣2|MF1|•|MF2|+|MF2|=40﹣2×2=36， ∴||MF1|﹣|MF2||=6=2a，a=3，又c=∴双曲线方程为

二．填空题（共4小题） 13． 2 ．

14． ②④ ．

- 7 -

，∴b=c﹣a=1，

222

﹣y=1．故选A．

2

15． 2x﹣y﹣1=0或2x+y﹣11=0 ．

解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在 可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3）

令x=0可得y=5﹣3k，即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2） 联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k）x﹣6（1+k）x+9k+4=0 由方程的根与系数关系可得，x1+x2=6，x1x2=∵A为PB的中点∴x2=2x1② 把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2=

=8 ∴k=±2

①

2

2

2

2

∴直线l的方程为y﹣5=±2（x﹣3），即2x﹣y﹣1=0或2x+y﹣11=0．

16． ②④ ．

解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=e+ ①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=e+≥0，是增函数．不正确，

②∵a∈（﹣∞，0），∴存在x有f′（x）=e+=0，可以判断函数有最小值，正确． ③画出函数y=e，y=alnx的图象，如图：显然不正确．

④令函数y=e是增函数，y=alnx是减函数，

所以存在a∈（﹣∞，0），f（x）=e+alnx=0有两个根，正确． 三．解答题（共7小题）

17．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，则故{an}的通项公式为an=4n﹣2（n∈N）．

设cn=an﹣bn，则{cn}为等比数列．c1=a1﹣b1=2﹣1=1，c4=a4﹣b4=14﹣6=8， 设{cn}的公比为q，则

，故q=2．则

，即

．

*x

x

x

x

x

x

，∴an=2+（n﹣1）×4=4n﹣2，

∴（n∈N）．故{bn}的通项公式为

*

（n∈N）．

*

- 8 -

（Ⅱ）由题意，bk应为数列{bn}的最大项． 由

=4﹣2

n﹣1

（n∈N）．

*

当n＜3时，bn+1﹣bn＞0，bn＜bn+1，即b1＜b2＜b3； 当n=3时，bn+1﹣bn=0，即b3=b4；

当n＞3时，bn+1﹣bn＜0，bn＞bn+1，即b4＞b5＞b6＞„ 综上所述，数列{bn}中的最大项为b3和b4． 故存在k=3或4，使∀n∈N，都有bn≤bk成立．

18．解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5， 整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．

（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：

由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，

又样本容量为30万，

则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万． （Ⅲ）根据频率分布直方图，得；

0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5， 0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，

∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，

令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5， 解得x=0.04；

∴中位数是2+0.04=2.04．

19．（Ⅰ）取CC1的中点F，连接AF，BF，则AF∥C1D． ∴∠BAF为异面直线AB与C1D所成的角或其补角． ∵△ABC为等腰直角三角形，AC=2，∴AB=又∵CC1=2，∴AF=BF=∵cos∠BAF=∴∠BAF=

=

． ， ，

．

*

- 9 -

即异面直线AB与C1D所成的角为

．

（Ⅱ）法一：过C1作C1M⊥A1B1，垂足为M，则M为A1B1的中点，且C1M⊥平面AA1B1B．连接DM． ∴DM即为C1D在平面AA1B1B上的射影．要使得A1E⊥C1D，由三垂线定理知，只要A1E⊥DM． ∵AA1=2，AB=2

法二：过E作EN⊥AC，垂足为N，则EN⊥平面AA1C1C．

连接A1N．∴A1N即为A1E在平面AA1C1C上的射影．要使得A1E⊥C1D，由三垂线定理知，只要A1N⊥C1D．

∵四边形AA1C1C为正方形，∴N为AC的中点，∴E点为AB的中点．

（Ⅲ）法一：取AC中点N，连接EN，C1N，则EN∥B1C1．∵B1C1⊥平面AA1C1C，

∴面B1C1NE⊥平面AA1C1C．

过点D作DH⊥C1N，垂足为H，则DH⊥平面B1C1NE， ∴DH的长度即为点D到平面B1C1E的距离． 在正方形AA1C1C中，由计算知DH=即点D到平面B1C1E的 距离

法二：连接DE，DB1．

在三棱锥D﹣B1C1E中，点C1到平面DB1E的距离=DE=

，

=

， ，B1E=

，

．

，

，由计算知，E为AB的中点．

又B1E⊥DE，∴△DB1E的面积=∴三棱锥C1﹣DB1E的体积为=设点D到平面B1C1E的距离为d， 在△B1C1E中，B1C1=2，B1E=C1E=∴△B1C1E的面积=

=

， ．由

=1．

=1，

- 10 -

得d=

，即点D到平面B1C1E的距离．

20．解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2． ∴椭圆C1的方程为

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．

由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1． 又圆

的圆心O（0，0）到直线l1的距离

；

d=．

∴|AB|==．

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0， 联立

，消去y得到（4+k）x+8kx=0，

2

2

解得，

∴|PD|=．

∴三角形ABD的面积S△=令4+k=t＞4，则k=t﹣4， f（t）=

=

=

2

2

=，

，

∴S△=，当且仅，即，当．

时取等号，

故所求直线l1的方程为

- 11 -

21．解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，

又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f′（1）=0，即1﹣（Ⅱ）f′（x）=1﹣

=0，解得a=e． ，

①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值； ②当a＞0时，令f′（x）=0，得e=a，x=lna，

x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0； ∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．

综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值． （Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+

，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+

，

x

则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点， 等价于方程g（x）=0在R上没有实数解． 假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（

）=﹣1+

＜0，

又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解， 与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1． 又k=1时，g（x）=

＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，

所以k的最大值为1．

22．解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈，即ρ=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）+y=1（0≤y≤1）． 可得C的参数方程为

（t为参数，0≤t≤π）．

2

2

2

（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆， ∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=故D的直角坐标为

- 12 -

，t=． ）．

，即（，

23．解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2

=2，

故不等式f（x）≥2成立．

（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，

∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a﹣5a+1＜0，解得3＜a＜当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a﹣a﹣1＞0，求得综上可得，a的取值范围（

，

）．

2

2

． ＜a≤3．

- 13 -