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2011年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷

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2011年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷

一、选择题： 1．（3分） A．1和2之间 2．（3分） 6 A． 2

的值在（） B． 2和3之间 C． 3和4之间 D． 4和5之间的平方根与的差等于（）

B． 6或﹣12 C． ﹣6或12 D． 0或﹣6 3．（3分）若x=4，|y|=3，xy＜0，则x﹣y的值为（） A．5或﹣5 B． 1或﹣1 C． 5或1 D． ﹣5或﹣1 4．（3分）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（） 9 13 A．B． C． 9或13 D． 10或12 5．（3分）已知函数y=

，当x＞0时，y随x增大而减小，则关于x的方程ax+3x﹣b=0的根的情况是（）

A．有两个正根 B．有一个正根一个负根有两个负根 C．D．没有实根 6．（3分）如图，已知∠ABC=41°，一束光线从BC上的D点发出，经BA反射后，反射光线EF恰好与BC平行，则∠EDC=（）

82° A． 86° B． 88° C． D．9 0° 7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=16，BC=12，分别以A、C为圆心，为半径作圆，则阴影部分的周

长为（） 48 A． B． 8+ 8+5π C． D． 96﹣25π 8．（3分）如图，是用图象法解某二元一次方程组的图象，则这个二元一次方程组是（）

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www.jyeoo.com A． C． 9．（3分）（2009•广州）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（）

B． D． A． B． C． D． 10．（3分）如图，在圆O中有折线ABCO，BC=12，CO=7，∠B=∠C=60°，则AB的长为（）

17 18 19 20 A．B． C． D． 11．（3分）在两行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别刻有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．如图，现从左上角一格翻动到右下角一格，则骰子最终朝上的点数不可能是（）

2 A． 3 B． 4 C． 5 D． 12．（3分）现有2011个人排队，第一个人站在点P1（1，1），第二个人站在点P2（2，1）…，第k个人站在点Pk

（xk，yk），当k≥2，

照此站下去，第2011个人站的点的坐标是（） A．（5，2011） B．（2011，1）

，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[0.6]=0，[1.9]=1，

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www.jyeoo.com 二、填空题

13．（3分）已知方程组

，张三看错了a，得到的解是

；而李四看错了b，得到的解是

，

那么原方程组的正确的解是 _________ ．

14．（3分）关于x的不等式（2a﹣b）x﹣3a+2b＞0的解集是x＜，则不等式ax+b＞0的解集是 _________ ． 15．（3分）如图，某人工湖两侧各有一个凉亭A、B，现测得AC=70m，BC=30m，∠ABC=120°，则AB= _________ ．

16．（3分）有一列数a1、a2、a3、…、an，从第二个数开始，每一个数等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2014= _________ ． 17．（3分）（2005•内江）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由 _________ 个这样的正方体组成．

18．（3分）对于x＞0，规定f（x）=，例如f（2）=，f（）=，那么f（）+f（）+…+f

（）+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2011）= _________ ．

三、解答题

19．先化简，再求值：3xy﹣y=

．

．其中x=4sin45°﹣2cos60°，

20．如图，四边形ABCD是平行四边形，△A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，A′B与DC相交于点E，连接AA′．

（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；（2）求证：A′E=CE．

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21．如图，点C是圆O的直径AB延长线上一点，点D在圆O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一点，BE交 AD于F．

（1）求证：CD是圆O的切线；

（2）若△DEF的面积为12，cos∠BFD=，求△ABF的面积．

22．某县组织30辆汽车装运甲、乙、丙三种苹果到外地销售．要求同一辆汽车只能装同一种苹果，且30辆汽车都必须装满，这样每次总共装运150吨．根据下表提供的信息，解答以下问题：苹果品种甲乙丙 5 4 每辆汽车运载量（吨） 6 16 10 每吨苹果获利（百元） 12 （1）设运甲、乙两种苹果的车辆数分别为x、y，求y与x之间的函数关系式；（2）若运每种苹果的车辆数都不少于6辆，那么车辆安排方案有几种？写出每种安排方案；（3）若要使这次销售获利最大，应采用哪种方案？并求出利润的最大值．

23．如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，AD=，DC=5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG=60°．（1）求阴影部分的面积；

（2）设点C到直线FG的距离为d，当1≤d≤4时，试判断直线FG与圆O的位置关系，并说明理由．

24．已知函数y1=x，y2=x+mx+n，x1、x2是方程y1=y2的两个实根，点P（s，t）在函数y2的图象上．（1）若x1=2，x2=4，求m，n的值；

（2）在（1）的条件下，当0≤s≤6时，求t的取值范围；

（3）当0＜x1＜x2＜1，0＜s＜1时，试确定t，x1，x2三者之间的大小关系．

25．如图，抛物线与坐标轴分别交于点A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，以AB为直径作圆R，过抛物线上一点P作直线PD切圆R于D，并与圆R的切线AE交于点E，连接DR并延长交圆R于点Q，连接AQ，AD．（1）求抛物线所对应的函数关系式；

（2）若四边形EARD的面积为4，求直线PD的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EARD的面积等于△DAQ的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

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参与试题解析

一、选择题：

1．（3分）的值在（） A．1和2之间 B． 2和3之间 C． 3和4之间 D． 4和5之间考点：估算无理数的大小；不等式的性质．专题：推理填空题．分析：项求出的范围5＜＜6，根据不等式的性质即可求出﹣3的范围，根据﹣3的范围即可求出答案．解答：解：∵＜＜， ∴5＜＜6， ∴5﹣3＜﹣3＜6﹣3， ∴2＜﹣3＜3， ∴﹣3在2和3之间，故选B．点评：本题考查了无理数的大小比较的应用，关键是确定的范围，注意：5＜＜6，题型较好，难度适中． 2．（3分）的平方根与的差等于（）

D． 0或﹣6 6 A．B． 6或﹣12 C． ﹣6或12 考点：实数的运算．分析：首先利用二次根式的性质化简，然后利用实数的运算法则计算即可求解．解答：解：∵=9， ∴的平方根为±3，而∴=3，的平方根与的差等于0或﹣6．故选D．点评：此题主要考查了实数的运算，同时也利用了二次根式的性质及平方根的定义，是比较容易出错的计算题． 3．（3分）若x=4，|y|=3，xy＜0，则x﹣y的值为（） A．5或﹣5 B． 1或﹣1 C． 5或1 D． ﹣5或﹣1 考点：有理数的混合运算．专题：计算题．分析：由x2=4，开方得到x的值，再由|y|=3，利用绝对值的代数意义求出y的值，又xy＜0，得到x与y异号，确定出x与y的值，代入所求的式子中计算，即可得到结果． 2解答：解：∵x=4， ∴x=2或x=﹣2， ∵|y|=3，∴y=3或y=﹣3，又xy＜0，∴x与y异号， 2

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www.jyeoo.com ∴x=2，y=﹣3或x=﹣2，y=3，则x﹣y=2﹣（﹣3）=2+3=5或x﹣y=﹣2﹣3=﹣5．故选A．点评：此题考查了有理数的混合运算，涉及的知识有：一元二次方程的解法，绝对值的代数意义，以及两数相乘的取符号法则，其中根据xy＜0，得到x与y异号是解本题的关键． 4．（3分）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（） 9 13 A．B． C． 9或13 D． 10或12 考点：等腰三角形的性质．专题：探究型．分析：题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．解答：解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得或，解得或，经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．故选C．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，根据题意画出图形，列出关于x、y的方程组是解答此题的关键． 5．（3分）已知函数y=

，当x＞0时，y随x增大而减小，则关于x的方程ax+3x﹣b=0的根的情况是（）

A．有两个正根 B．有一个正根一个负根有两个负根 C．D．没有实根考点：根的判别式；反比例函数的性质．专题：计算题．分析： 2由函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，根据反比例函数的性质得到ab＞0，则a≠0，可判断方程ax+3x﹣b=0是一元二次方程，然后计算△，得到△=3﹣4•a•（﹣b）=9+4ab＞0，根据△的意义得方程ax+3x﹣b=0有两个不相等的实数根；再设它两实数根分别为x1，x2，利用根与系数的关系有x1•x2=﹣＜0，即可得到两根异号．解答：解：∵函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小， 22∴ab＞0， 2对于方程ax+3x﹣b=0， ∵a≠0， 2∴方程ax+3x﹣b=0是一元二次方程，

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www.jyeoo.com 2∴△=3﹣4•a•（﹣b）=9+4ab＞0， 2∴方程ax+3x﹣b=0有两个不相等的实数根，设它两实数根分别为x1，x2， ∴x1•x2=﹣＜0， ∴方程ax+3x﹣b=0有两个异号的实数根．故选B． 2点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系． 6．（3分）如图，已知∠ABC=41°，一束光线从BC上的D点发出，经BA反射后，反射光线EF恰好与BC平行，则∠EDC=（）

2 82° 86° 88° 90° A．B． C． D．考点：平行线的性质．分析：由题意得：EF∥BC，∠BED=∠AEF，根据平行线的性质，即可求得∠AEF=∠ABC，又由三角形外角的性质，求得∠EDC的度数．解答：解：根据题意得：EF∥BC，∠BED=∠AEF， ∴∠AEF=∠ABC=41°， ∴∠BED=41°， ∴∠EDC=∠ABC+∠BED=82°．故选A．点评：此题考查了平行线的性质、三角形的外角的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用． 7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=16，BC=12，分别以A、C为圆心，为半径作圆，则阴影部分的周

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www.jyeoo.com 解答：解：在RT△ABC中，AC=故可得出r=10，两端圆弧的长为：+==5π． =20， EB+BF=AB+BC﹣2r=16+12﹣20=8，故可得阴影部分的面积为：8+5π．故选C．点评：此题考查了弧长的计算及勾股定理的知识，根据题意求出半径及两端弧长之和是解答本题的关键，难度一般． 8．（3分）如图，是用图象法解某二元一次方程组的图象，则这个二元一次方程组是（）

A． C． D． B．考点：一次函数与二元一次方程（组）．专题：数形结合．分析：根据图象，求出两条直线的解析式，由这两条直线的解析式组成的方程组即为所求．解答：解：由图象知，①直线l1过点（0，2）、（2，0），设此直线的解析式为y=kx+b， ∴解得：，， ∴y=﹣x+2，整理得：x+y﹣2=0； ②直线l2过点（1，1）、（0，﹣1），设解析式为y=mx+n，同理可得：2x﹣y﹣1=0； ∴这个二元一次方程组是由直线l1、直线l2的解析式组成，即故选B．点评：本题主要考查的是根据一次函数的图象求一次函数的解析式．

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9．（3分）（2009•广州）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（）

A． B． C． D．考点：锐角三角函数的定义；圆锥的计算．专题：压轴题．分析：先根据扇形的面积公式S=L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定答即可．解答：解：根据圆锥的底面半径为5cm，则底面周长是10π．根据扇形的面积公式S=L•R，则65π=•10π•R， ∴R=13，因而sinθ=．故选B．点评：本题意在综合考查学生对圆锥的侧面展开图和三角函数等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想等数学思想方法的考查． 10．（3分）如图，在圆O中有折线ABCO，BC=12，CO=7，∠B=∠C=60°，则AB的长为（）

17 18 19 20 A．B． C． D．考点：垂径定理；等边三角形的性质．分析：作OD⊥AB垂足为D，利用垂径定理得AB=2BD，作OE∥AB交BC于E，构造等边△COE，过E点作EF⊥AB，垂足为F，得Rt△BEF，而∠B=60°，可得BF=BE，再根据BD=BF+DF求BD．解答：解：如图，作OD⊥AB垂足为D，OE∥AB交BC于E，过E点作EF⊥AB，垂足为F， ∵OE∥AB，∴△COE为等边三角形，∴OE=CE=OC=7， ∵OD⊥AB，EF⊥AB，∴DF=OE=7，BE=BC﹣CE=5，在Rt△BEF中，∵∠B=60°，∴BF=BE=， ∴BD=BF+DF=+7=，由垂径定理，得AB=2BD=19．故选C． ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 点评：本题考查了垂径定理，等边三角形的性质．关键是通过作辅助线，得出等边三角形，30°的直角三角形，利用垂径定理求AB． 11．（3分）在两行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别刻有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．如图，现从左上角一格翻动到右下角一格，则骰子最终朝上的点数不可能是（）

2 3 4 5 A．B． C． D．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．专题：常规题型．分析：根据图形分别求出四种翻动情况下的最后结果即可得解．解答：解：翻转的路径有4种：①右﹣右﹣下，最后朝上的是4； ②右﹣下﹣右，最后朝上的是6； ③下﹣右﹣右，最后朝上的是3； ④下﹣右﹣上﹣右﹣下，最后朝上的是2；故最后朝上的可能性有2，3，4，6，而不会出现1，5．故选D．点评：本题考查了正方体相对面上的文字问题，注意分析出所有的可能情况，找出最终朝上的点数的可能情况． 12．（3分）现有2011个人排队，第一个人站在点P1（1，1），第二个人站在点P2（2，1）…，第k个人站在点Pk

（xk，yk），当k≥2，

照此站下去，第2011个人站的点的坐标是（） A．（5，2011） B．（2011，1），[a]表示非负实数a的整数部分，例如[0.6]=0，[1.9]=1，

C．（2，402） D．（1，403）考点：取整计算．专题：规律型．分析：先计算横坐标，x1=1，x2=2，x3=3，x4=4，x5=5，x6=5+1﹣5（1﹣0）=1，x7=2…，再计算纵坐标，y1=1，y2=1，y3=1，y4=1，y5=1，y6=1+1﹣0=2，y7=2，y8=2，y9=2，y10=2，y11=3， y12=3…从而发现规律，进而可计算出第2011个人站的点的坐标．解答：解：由题意可得：x1=1，x2=2，x3=3，x4=4，x5=5，x6=5+1﹣5（1﹣0）=1，x7=2，x8=3… 故横坐标5人一个循环， ∵=402…1， ∴第2011个人站的点的横坐标是：1．由题意得：y1=1，y2=1，y3=1，y4=1，y5=1，y6=1+1﹣0=2，y7=2，y8=2，y9=2，y10=2，y11=3，y12=3…

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www.jyeoo.com 故纵坐标5个人一个循环，且每次循环纵坐标加1， ∵=402…1， ∴第2011个人站的点的横坐标是：403，综上可得第2011个人站的点的坐标是（1，403）．故选D．点评：此题考查了取整函数的知识，解答本题的关键在于计算出前面几个点的横坐标和纵坐标，从而得出横坐标和纵坐标的变化规律，有一定的难度，注意规律的总结．二、填空题

13．（3分）已知方程组

，张三看错了a，得到的解是

；而李四看错了b，得到的解是

，

那么原方程组的正确的解是．

考点：二元一次方程组的解．专题：计算题．分析：由于张三看错了a，故可将代入3x﹣by=﹣1，求出b的值；由于李四看错了b，故可将代入ax+5y=﹣5，求出a的值，然后得到方程组，解方程组即可．解答：解：将代入3x﹣by=﹣1得，6﹣7b=﹣1，b=1，将代入ax+5y=﹣5得，﹣5a+5=﹣5，a=2，所以原方程组为，解得：，故答案为：．点评：此题考查的知识点是二元一次方程组的解，关键明确方程组的解符合方程组中的每个方程，将解代入方程即可求出未知系数． 14．（3分）关于x的不等式（2a﹣b）x﹣3a+2b＞0的解集是x＜，则不等式ax+b＞0的解集是 x＜﹣ ．考点：解一元一次不等式．专题：计算题． ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 分析：由已知不等式及解集的特点，得到2a﹣b＜0，移项并把x系数化为1后，根据解集得到关于a与b的关系，整理后得到a=2b，代入2a﹣b＜0中，得到b＜0，然后把a=2b代入所求的不等式中，两边同时除以b，不等号方向改变，得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可．解答：解：（2a﹣b）x﹣3a+2b＞0，移项得：（2a﹣b）x＞3a﹣2b，由已知解集为x＜，得到2a﹣b＜0，变形得：x＜可得：， =，整理得：a=2b， ∴2a﹣b=4b﹣b=3b＜0，即b＜0， ∴不等式ax+b＞0可化为2bx+b＞0，两边同时除以b得：2x+1＜0，解得：x＜﹣，则不等式ax+b＞0的解集是x＜﹣．故答案为：x＜﹣．点评：此题考查了一元一次不等式的解法，利用了转化及代入的数学思想，熟练掌握不等式的基本性质2（在不等式两边同时乘（除）以同一个负数时，不等号方向改变）是解本题的关键． 15．（3分）如图，某人工湖两侧各有一个凉亭A、B，现测得AC=70m，BC=30m，∠ABC=120°，则AB= 50m ．

考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：过C点作CD⊥AB于点D．先在Rt△CDA中求得AD、CD的长，再利用勾股定理求得BD的长，AB=BD﹣AD．解答：解：如图，作CD⊥AB于点D．在Rt△CDB中，BC=30，∠CBD=180°﹣∠ABC=180°﹣120°=60°． ∴CD=AC•sin∠CBD=30•sin60°=15． BD=BC•cos∠CBD=30•cos60°=15． 222在Rt△CDA中，∵AC=70，AD=AC﹣CD， ∴AD==65． ∴AB=AD﹣BD=65﹣15=50（m），故答案为：50m．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键明确解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的

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www.jyeoo.com 问题，解决的方法就是作高线． 16．（3分）有一列数a1、a2、a3、…、an，从第二个数开始，每一个数等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2014= 2 ．考点：规律型：数字的变化类．分析：本题可分别求出n=2、3、4…时的情况，观察它是否具有周期性，再把2014代入求解即可．解答：解：依题意得：a1=2，a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1+1=2；周期为3； 2014÷3=671…1 所以a2014=a1=2．故答案是2．点评：本题考查了找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．而具有周期性的题目，找出周期是解题的关键． 17．（3分）（2005•内江）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由 13 个这样的正方体组成．

考点：由三视图判断几何体．专题：压轴题．分析：主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．解答：解：易得第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有13个正方体．故答案为：13．点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 18．（3分）对于x＞0，规定f（x）=，例如f（2）=，f（）=，那么f（）+f（）+…+f

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www.jyeoo.com 解答：解：原式=++…++++…+=1×2010+=2010.5．故答案是2010.5．点评：本题考查了分式的混合运算，解题的关键是寻找规律，比如：根据f（x）=知f（）= 三、解答题

19．先化简，再求值：3xy﹣y=

．

．其中x=4sin45°﹣2cos60°，来计算正整数时的值；根据来计算分数时的值，再根据结果可发现以为对称中心的两个数相加等于1．考点：分式的化简求值；二次根式的化简求值；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：先根据分式混合运算的法则把原式化简，再根据特殊角的三角函数值及二次根式混合运算的法则求出x、y的值，把所得结果代入原式进行计算即可．解答：解：原式=3xy﹣×+（x﹣y） =3xy﹣×+x﹣y =3xy﹣xy+x﹣y =2xy+x﹣y， x=4×y=﹣2×=2﹣×﹣1， =﹣1=﹣1=﹣1=2+1 原式=2（2﹣1）×（2+1）+2﹣1﹣（2+1） =2×7+2﹣1﹣2﹣1 =14﹣2 =12．点评：本题考查的是分式的化简求值，二次根式的化简求值及特殊角度的三角函数值，能根据题意把原式化为最简形式是解答此题的关键． 20．如图，四边形ABCD是平行四边形，△A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，A′B与DC相交于点E，连接AA′．

（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；（2）求证：A′E=CE．

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www.jyeoo.com 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；轴对称的性质．专题：证明题．分析：（1）根据对称性质求出A′D=AD，A′B=AB，推出△A′DA、△A′BA是等腰三角形，根据△A′DE≌△CEB推出DE=BE即可；（2）根据对称图形的性质和平行四边形性质推出A′D=BC，∠C=∠DA′B，根据AAS证△A′DE≌△CEB即可．解答：（1）解：等腰三角形有△DA′A，△A′BA，△EDB．（2）证明：∵平行四边形ABCD， ∴∠C=∠DAB，AD=BC， ∵A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称， ∴△A′DB≌△ADB， ∴AD=A′D，∠DA′B=∠DAB， ∴A′D=BC，∠C=∠DA′B，在△A′DE和△CEB中， ∴△A′DE≌△CEB， ∴A′E=CE．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行四边形性质，轴对称的性质等知识点的应用，关键是能灵活运用这些性质进行推理，题目比较典型． 21．如图，点C是圆O的直径AB延长线上一点，点D在圆O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一点，BE交 AD于F．

（1）求证：CD是圆O的切线；

（2）若△DEF的面积为12，cos∠BFD=，求△ABF的面积．

考点：切线的判定；解直角三角形．分析：（1）首先连接OD，由BC=BD=OB，即可判定△OBD是等边三角形，然后利用等边三角形与等腰三角形的性质，即可求得∠ODB=60°，∠BDC=30°，则可证得CD是圆O的切线；（2）由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，又由cos∠BFD=，即可得DF：BF=2：3，然后判定△DEF∽△BAF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABF的面积．解答：（1）证明：连接OD， ∵BD=OB，OD=OB， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠DBO=∠ODB=60°， ∵BC=BD， ∴∠CDB=∠DCB， ∵∠DBO=∠BDC+∠BCD， ∴∠C=∠CDB=30°，

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www.jyeoo.com ∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，即OD⊥CD， ∵点D在圆O上， ∴CD是圆O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴cos∠BFD==， ∵∠E=∠A，∠EFD=∠AFB， ∴△DEF∽△BAF， ∴∵S△DEF=12， ∴△ABF的面积为27．，点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用． 22．某县组织30辆汽车装运甲、乙、丙三种苹果到外地销售．要求同一辆汽车只能装同一种苹果，且30辆汽车都必须装满，这样每次总共装运150吨．根据下表提供的信息，解答以下问题：苹果品种甲乙丙 5 4 每辆汽车运载量（吨） 6 16 10 每吨苹果获利（百元） 12 （1）设运甲、乙两种苹果的车辆数分别为x、y，求y与x之间的函数关系式；（2）若运每种苹果的车辆数都不少于6辆，那么车辆安排方案有几种？写出每种安排方案；（3）若要使这次销售获利最大，应采用哪种方案？并求出利润的最大值．考点：一次函数的应用．专题：应用题；图表型．分析：（1）等量关系为：车辆数之和=30，每次总共装运150吨；（2）关系式为：装运每种苹果的车辆数≥6；（3）总利润为：装运A种苹果的车辆数×6×12+装运B种苹果的车辆数×5×16+装运C种苹果的车辆数×4×10，然后按x的取值来判定．解答：解：（1）根据题意，运甲、乙两种苹果的车辆数分别为x、y，那么装运C种苹果的车辆数为（30﹣x﹣y），则有：6x+5y+4（30﹣x﹣y）=150 整理得：y=﹣2x+30；（2）由（1）知，装运甲、乙、丙的车辆数分别为x，﹣2x+30，x．由题意得：解得：6≤x≤12，

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www.jyeoo.com 因为x为整数，所以x的值为6，7，8，9，10，11，12所以安排方案共有7种．方案一：装运甲种苹果6车，乙种苹果18车，丙种苹果6车方案二：装运甲种苹果7车，乙种苹果16车，丙种苹果7车；方案三：装运甲种苹果8车，乙种苹果14车，丙种苹果8车，方案四：装运甲种苹果9车，乙种苹果12车，丙种苹果9车，方案五：装运甲种苹果10车，乙种苹果10车，丙种苹果10车，方案六：装运甲种苹果11车，乙种苹果8车，丙种苹果11车；方案七：装运甲种苹果12车，乙种苹果6车，丙种苹果12车；（3）设利润为W（百元）则：W=6x×12+5（﹣2x+30）×16+4x×10=﹣48x+2400 ∵k=﹣48＜0 ∴W的值随x的增大而减小．要使利润W最大，则x=6，故选方案一W最大=﹣48×6+2400=2112（百元）=21.12（万元）．答：当装运甲中苹果6车，乙种苹果18车，丙种苹果6车时，获利最大，最大利润为21.12万元．点评：此题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，难度一般． 23．如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，AD=，DC=5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG=60°．（1）求阴影部分的面积；

（2）设点C到直线FG的距离为d，当1≤d≤4时，试判断直线FG与圆O的位置关系，并说明理由．

考点：切线的性质；等腰直角三角形；直线与圆的位置关系．分析：（1）首先连接OD，OE，由等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，根据切线的性质，易证得四边形AEOD是正方形，然后由S阴影=S正方形AEOD﹣S扇形ODE，即可求得答案；（2）首先由当FG与⊙O切于M，连接OD，OM，OF，过点C作CN⊥FG于N，根据切线长定理，求得DF的长，然后根据直角三角形的性质，求得CN的长，继而可得直线FG与圆O的位置关系．解答：解：（1）连接OD，OE， ∵等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D， ∴∠A=∠ADO=∠AEO=90°， ∴四边形AEOD是矩形， ∴AD=AE， ∴四边形AEOD是正方形， ∴OD=AD=，∠DOE=90°， ∴S阴影=S正方形AEOD﹣S扇形ODE=（）﹣2=3﹣π；（2）当FG与⊙O切于M，连接OD，OM，OF，过点C作CN⊥FG于N，

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www.jyeoo.com ∵AC与⊙O相切于点D， ∴∠OFD=∠DFM， ∵∠CFG=60°， ∴∠DFM=120°，即∠OFD=60°， ∴DF===1， ∴FC=CD﹣DF=5﹣1=4，在Rt△CFN中，d=CN=FC•sin∠CFG=4×∴当d=2时，直线FG与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线FG与⊙O相离，当2＜d≤4时，直线FG与⊙O相交． =2，点评：此题考查了圆的切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是根据题意准确作出辅助线，利用数形结合思想求解． 24．已知函数y1=x，y2=x+mx+n，x1、x2是方程y1=y2的两个实根，点P（s，t）在函数y2的图象上．（1）若x1=2，x2=4，求m，n的值；

（2）在（1）的条件下，当0≤s≤6时，求t的取值范围；

（3）当0＜x1＜x2＜1，0＜s＜1时，试确定t，x1，x2三者之间的大小关系．考点：二次函数综合题．分析：（1）通过把x1=2，x2=4分别代入y1=y2，确定m，n的值即可； 2

（2）首先根据二次函数的对称轴得出s=，再利用当0≤s≤时，当＜s≤6时，分别求出t的取值范围即可；（3）利用t﹣x1=s+ms﹣x1﹣mx1=（s﹣x1）（s+x1+m），t﹣x2=s+ms﹣x2﹣mx2=（s﹣x2）（s+x2+m），结合当0＜s≤x1时，当x1＜s≤x2时，当x2＜s＜1时分别求出t，x1，x2三者之间的大小关系即可． 2解答：解：（1）∵y1=x，y2=x+mx+n，y1=y2， 22∴x+（m﹣1）x+n=0．将x1=2，x2=4分别代入x+（m﹣1）x+n=0，得， 2222 ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 解得：（2）由（1）知，y2=x﹣5x+8=（x﹣）+， ∵点P（s，t）在函数y2的图象上， ∴t=（s﹣）+，当0≤s≤时，当s=0，t=8，当s=，t=，则≤t≤8，当＜s≤6时，当s=，t=，当s=6，t=14，则＜t≤14，（3）由已知，得x1=x1+mx1+n，x2=x2+mx2+n，t=s+ms+n． 22t﹣x1=s+ms﹣x1﹣mx1=（s﹣x1）（s+x1+m）， 22t﹣x2=s+ms﹣x2﹣mx2=（s﹣x2）（s+x2+m）， 22x1﹣x2=（x1+mx1+n）﹣（x2+mx2+n） ∴x1﹣x2=（x1﹣x2）（x1+x2+m）， ∴（x1﹣x2）（x1+x2+m﹣1）=0， ∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2≠0， ∴x1+x2+m﹣1=0，有x1+m=1﹣x2＞0，又∵0＜s＜1， ∴s+x1+m＞0，s+x2+m＞0， ∴当0＜s≤x1时，t≤x1＜x2，当x1＜s≤x2时，x1＜t≤x2，当x2＜s＜1时，x1＜x2＜t．点评：本题主要考查了一元二次方程与一次函数及二次函数的相关知识，一元二次方程与函数相结合的综合问题是初中与高中知识衔接的重点内容．对于这类问题，通常需要学生熟悉掌握方程与函数的概念与性质及两者之间的联系． 25．如图，抛物线与坐标轴分别交于点A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，以AB为直径作圆R，过抛物线上一点P作直线PD切圆R于D，并与圆R的切线AE交于点E，连接DR并延长交圆R于点Q，连接AQ，AD．（1）求抛物线所对应的函数关系式；

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考点：二次函数综合题．分析：（1）根据abc=9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，得出A、B、C的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可用配方法求出其顶点坐标；（2）连接ER，过D作DF⊥x轴于F；由于ED、EA都是⊙O的切线，根据切线长定理可得EA=ED，易证得△EAR≌△EDR则它们的面积相等，由此可得到S△EAR=2，即可求出EA的长，也就得到了E点的坐标；在Rt△EAR中，根据EA、AR的值，即可求出∠ERA的度数，进而可求出∠DRF的度，从而在Rt△DRF中，通过解直角三角形求出RF、DF的长，由此求得D点坐标，用待定系数法即可求出直线DP的解析式；（需注意的是AE的长为正值，但是E点的纵坐标有正负两种情况，所以要分类讨论）（3）在△DAQ中，由于DQ是⊙M的直径，所以DR=QR，则△DAR和△RAQ等底同高，所以面积相等，即△DAQ的面积是△DAR的2倍；在（2）题中已经求出四边形EARD的面积是△EAR的2倍，若四边形EARD的面积等于△DAQ的面积，则△DAR、△EAR的面积相等，这两个三角形共用底边AR，所以它们的高相同，由此可证得PD与x轴平行，即PD的解析式为y=±2，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．解答：解：（1）∵抛物线与坐标轴分别交于点A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|， ∴b，c互为相反数，|b|=|c|≤3， ∴b=3，c=﹣3，a=﹣1，所以抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，设抛物线的函数关系式为：y=a（x+1）（x﹣3）， ∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴﹣3=a（0+1）（0﹣3）， ∴a=1， 2所以，抛物线的函数关系式为：y=x﹣2x﹣3， 2又∵y=（x﹣1）﹣4，因此，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）连接ER，∵EA、ED是⊙R的两条切线， ∴EA=ED，EA⊥AR，ED⊥RD，在Rt△EAR和Rt△EDR中，， ∴△EAR≌△EDR（HL），又∵四边形EARD的面积为4∴S△EAR=2， ∴AR•AE=2，， ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 又∵AR=2， ∴AE=2，因此，点E的坐标为E1（﹣1，2）或E2（﹣1，﹣2当E点在第二象限时，切点D在第一象限，在直角三角形EAR中，tan∠ERA===，）， ∴∠ERA=60°， ∴∠DRB=60°，过切点D作DF⊥AB，垂足为点F， ∴RF=1，DF=，因此，切点D的坐标为（2，），设直线PD的函数关系式为y=kx+b，将E（﹣1，2），D（2，）的坐标代入得，，解之，得：，所以，直线PD的函数关系式为：y=﹣x+，当E点在第三象限时，切点D在第四象限，同理可求：切点D坐标为（2，﹣），直线PD的函数关系式为y=x﹣， x+或y=x﹣；因此，直线PD的函数关系式为y=﹣ （3）若四边形EARD的面积等于△DAQ的面积，又∵S四边形EARD=2S△EAR，S△DAQ=2S△ARD， ∴S△ARD=S△EAR， ∴E、D两点到x轴的距离相等， ∵PD与⊙R相切， ∴点D与点E在x轴同侧， ∴切线PD与x轴平行，此时切线PD的函数关系式为y=2或y=﹣2，当y=2时，由y=x﹣2x﹣3得，x=1±； 2当y=﹣2时，由y=x﹣2x﹣3得，x=1±，故满足条件的点P的位置有4个，分别是P1（1+﹣2）． 2，2）、P2（1﹣，2）、P3（1+，﹣2）、P4（1﹣， ©2010-2014 菁优网

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参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；CJX；zhjh；gsls；zjx111；sks；马兴田；dbz1018；zhangCF；zcx；gbl210；zhxl；cair。；王岑；Liuzhx；lanchong；csiya；星期八；ZJX（排名不分先后）菁优网

2014年5月18日

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