项目三 微分方程与差分方程

实验类型 验证型 实验学时 4

实验目的 利用Matlab软件的数值计算功能求解微分方程与差分方程，并对结果进行分析。 实验内容

1. 传染病问题的SIR模型：

didtsiidssi dti(0)i0,s(0)s0其中：i(t),s(t)表示t时刻病人和健康者的比例，参数,为日接触率和治愈率，i0,s0表示初始时刻的病人和健康者比例。 求解以上模型，并分析： 1） 2） 3） 4）

病人和健康者的比例的变化 规律；

参数,对病人和健康者的比例变化的影响；

预测传染病传播高潮（病人比例的最大值）到来的时刻；

参数,对染病传播高潮（病人比例的最大值）到来的时刻的影响。

程序：

1.先建立M文件： function f=sir(x,y) a=1;b=0.1;

f(1)=a*y(1)*y(2)-b*y(1); f(2)=-a*y(1)*y(2); f=f';

保存为：sir.m 2. 在命令窗口输入：

[t,y]=ode45('sir',[0:1:50],[0.02,0.98])

plot(t,y)

[c d]=max(y(:,1)) %寻找病人比例的最大值及其时刻 结果：

2.差分形式的阻滞增长模型： 阻滞增长模型为：

dxdtrx(1xN) （1）

其中：r为自然增长率，N为种群最大容量。

可将其离散化为差分方程形式：

yk~某种群第k代的数量(人口)

则（1）化为：

yk1ykryk(1ykN),k1,2,

即：

ryk1(r1)yk1yk

(r1)N可引入变量替换：xry，记br1，则上式化为：

k(r1)Nkxk1bxk(1xk) 试求解上述模型（2），并分析： （1）xk的变化有何规律？ （2）xk的变化如何受b(r)影响？ b=3.3;

n=100; x(1)=0.2; for k=1:n

x(k+1)=b*x(k)*(1-x(k)); end x'

plot(x)

2）

（