年 级: 高二 辅导科目: 数学 课时数:3 课 题 向量的坐标表示及其运算 1、 理解平面向量的有关概念,掌握向量的坐标表示及运算法则 2、 掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则 教学内容 教学目的 【知识梳理】 知识点1 向量及其表示 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量(向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示。如a读作向量a,向量也可以用两个大写英文字母上面加箭头来表示,如AB表示由A到B的向量。A为向量的起点,B为向量的终点)。向量AB(或a)的大小叫做向量的模,记作AB(或a)。 【注意】既有方向又有大小的量叫做向量,只有大小没有方向的量叫做标量。向量与标量是两种不同类型的量,要注意加以区分。 2.向量坐标的有关概念 (1)基本单位向量:在平面直角坐标系内,方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位,记i,j (2)将向量a的起点置于坐标原点O,作OA=a,则OA叫做位置向量,如果点A的坐标x,y,它在x轴和y轴上的投影分别为M,N,则OAOMON,axiyj。 (3)向量的正交分解:在(2)中,向量OA能表示成两个垂直的向量i,j分别乘以实数x,y后组成的和式,该和式称为i,j的线线组合。这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。把有序实数对x,y叫做向量a的坐标,记作ax,y 3.向量的坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,R 则abx1x2,y1y2;abx1x2,y1y2;ax1,y1 4.向量的模:设ax,y,由两点间距离公式,可求的向量a的模 ax2y2 【注意】(1)向量的大小可以用向量的模来表示,即用向量的起点与终点间的距离来表示。 (2)向量的模是一个标量,并且是一个非负的实数。 知识点2 向量平行的充要条件 已知a与b为非零向量,若ax1,y1,bx2,y2,则a∥b的充要条件是x1y2x2y1,所以,向量平行的充要条件可表示为:a∥bab(其中为非零实数)x1y2x2y1。 知识点 3 定比分点公式 1.定比分点公式和中点公式 已知P1x1,y1,PPP2R,1,P是直线P1P2上的一点,令12x2,y2是直线l上的任一点,且PPxPx,y,则yx1x21,这个公式叫做线段P1P2的定比分点公式,特别的y1y21P1yP2Px1x2x2,叫做线段P 1时,P为线段P1P2的中点,此时1P2的中点公式。yy2y122.三角形重心坐标公式 Oxx1x2x3xG3设△ABC的三个顶点坐标分别为Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,G为△ABC的重心,则 yyy23y1G3【典型例题分析】 【例1】已知点A的坐标为2,0,点B的坐标3,0,且AP4,BP3,求点P的坐标。 变式练习:已知点A(4、0),B(4、4),C(2、6),O为坐标原点,求AC和OB交点P的坐标。 【例2】已知2ab4,3,a2b3,4,求a,b的坐标。 变式练习:若向量a=(1、1),b=(1、-1),c=(-1、2),则c=( ) A)-C) 【例3】设向量a,b,c,,R,化简: (1)abcabcbc (2)2abc2a2b2c 1313a+b B)a-b 22223131a-b D)-a+b 2222 【例4】已知向量a2,3,点A2,1,若向量AB与a平行,且AB213,求向量OA的坐标。 【解析】本题中放入两个条件,要求两个变量,只需列出方程组,求解即可。 变式练习: 1、-2、1),B(—1、3),C(3、4),D(2、2),则( ) A)AB∥BC B)AB=DC C)AB∥DC D)AC=(―5,―3) 2若向量a=(2、m)与b=(m、8)的方向相反,则m= 2PP2,求出P的坐标。 【例5】在直角坐标系内P1P2上,且PP114,3,P22,6,点P在直线P 变式练习:已知a=AB,B(1、0),b=(-3、4),c=(-1、1),且a=3b-2c,求A点的坐标。 【例6】已知a32t,5,b9,2t,若a∥b,求a,b的坐标。 变式练习: 1、已知a=(1,2),b=(x,1),且a+2b与2a-b平行,则x= ( ) A)2 B)1 C)2、下列命题: ①a∥b存在唯一的实数,使得a=b; ②a∥b存在不全为零的实数1和2,使得1a+2b=0; ③a、b不平行若1a+2b=0,则1=2=0; ④a、b不平行不存在实数1和2,使得1a+2b=0。 其中正确的命题是( ) A)①④ B)②③ C)①③ D)②④ 3、若三点P(1、1),A(2、-4),B(x、-9)共线,则( ) A)x=-1 B)x=3 C)x= 【例7】如图,已知ABC的三个顶点坐标分别为1,1,5,3,4,5,直线l∥AB于D,且直线l平分ABC的面积,求D点的坐标。 变式练习:若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动,当t=1时,分别到达B、C、A。 求证:在0≤t≤1的任何一时刻t1,△DEF的重心不变。 y F E A D B x 9 D)x=51 211 D) 32 【例8】如图,已知点P1,P2的坐标分别为x1,y1,x2,y2,点P的坐标为x2x1,y2y1 求证:OPPP12. yP1P2oPx变式练习:已知点O(0、0),A(1、2),B(4、5)及OP=OA+tAB,试问: 1) t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第二象限? 2) 四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由。 【例9】(1)若OA1,1,B点的坐标t1,2t,求AB最小值。 (2)若asin,cos,b2cos,3,且a∥b,求的值。 变式练习: 1、已知a=(2、3),b=(-5、6),则|a+b|= ,|a-b|= 2、已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,则|a-b-c|的最大值为 ;最小值为 。 【课堂小练】 1、设A、B、C、D四点坐标依次是(-1、0),(0、2),(4、3),(3、1),则四边形ABCD为( ) A)正方形 B)矩形 C)菱形 D)平行四边形 2、设a=(31、sinα),b=(cosα、),且a∥b,则锐角α为( ) 23A)300 B)600 C)450 D)750 3、若A、B、C、D四点共线,且依次排开,C是BD的中点,AB=m,AC=n,则AD=( ) A)2m-n B)2n-m C)n-m D)m+n 4、在三角形ABC中,已知AB=a,CA=c,O是△ABC的重心,则OB+OC= 5、若a=(2、-3),b=(1、2),c=(9、4),且c=ma+nb,则m= ;n= ; 6、在平行四边形ABCD中,E、F分别是BC、DC的中点,若AB=a,AD=b,试以a、b为基底表示DE和BF。
【课后练习】 一、基础巩固 1.已知OA2,1,点B1,3,OCAB,则点C的坐标为 ( ) A 3,2 B 2,1 C 2,3 D 1,2 2.若非零向量ax1,y1,bx2,y2,则a∥b是x1y1的 ( ) x2y2A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 3.已知a1,x,b2x,4,而ca1b,且c3,则实数x的值为( ) 2A 1或2 B 1或2 C 1 D 2 4.已知a2,5,b2a,若b与a反向,则b等于 ( ) A 4,10 B 4,10 C 1. 5.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,与向量AB平向量有( ) A CO,OF,DE B CO,OC,OF,FO,DE,ED 52D 1,ABOCFED5 2行且模也相等的C CO,CF,OF,DE D BA,CO,OC,OF,FO,DE,ED 6.ABC中,若A1,1,B3,5,C8,3,G是ABC的重心,则GA的坐标是( ) 0 B ,0 C 10A ,, D 0,1 7.已知:PPPP112,PP2PP1,则__________ 二、能力提升 8.连接A3,2,B4,8的线段,点P在线段AB上,且AP9.已知A1,2,B3,4,点P是AB的定比分点,BP 10.已知G1,G2是ABC,ACD的重心,G是G1G2的中点,若A,B,C,D的坐标分别是0,0 3212133AB,则点P的坐标_________ 41AB,求点P的坐标。 32,5,5,7,10,2,求点G的坐标。 三、创新探究 11.已知O,A,B的坐标分别为0,0,1,2,4,5,且OPOAtAB (1)当t为何值时,点P在x轴上?在y轴上?在第二象限? (2)四边形OABP能否为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,说明理由。 四、高考体验 12.设P是ABC所在平面内一点,BCBA2BP,则( )