数学高二(上)沪教版(向量的坐标表示及其运算)学生版

年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 向量的坐标表示及其运算 1、 理解平面向量的有关概念，掌握向量的坐标表示及运算法则 2、 掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则 教学内容 教学目的 【知识梳理】 知识点1 向量及其表示 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示。如a读作向量a，向量也可以用两个大写英文字母上面加箭头来表示，如AB表示由A到B的向量。A为向量的起点，B为向量的终点）。向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）。 【注意】既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量。向量与标量是两种不同类型的量，要注意加以区分。 2.向量坐标的有关概念 （1）基本单位向量：在平面直角坐标系内，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记i,j （2）将向量a的起点置于坐标原点O，作OA=a，则OA叫做位置向量，如果点A的坐标x,y，它在x轴和y轴上的投影分别为M,N，则OAOMON,axiyj。 （3）向量的正交分解：在（2）中，向量OA能表示成两个垂直的向量i,j分别乘以实数x,y后组成的和式，该和式称为i,j的线线组合。这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。把有序实数对x,y叫做向量a的坐标，记作ax,y 3.向量的坐标运算：设ax1,y1,bx2,y2,R 则abx1x2,y1y2；abx1x2,y1y2；ax1,y1 4.向量的模：设ax,y，由两点间距离公式，可求的向量a的模 ax2y2 【注意】（1）向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示。 （2）向量的模是一个标量，并且是一个非负的实数。 知识点2 向量平行的充要条件 已知a与b为非零向量，若ax1,y1,bx2,y2,则a∥b的充要条件是x1y2x2y1，所以，向量平行的充要条件可表示为：a∥bab（其中为非零实数）x1y2x2y1。 知识点 3 定比分点公式 1.定比分点公式和中点公式 已知P1x1,y1,PPP2R,1，P是直线P1P2上的一点，令12x2,y2是直线l上的任一点，且PPxPx,y，则yx1x21，这个公式叫做线段P1P2的定比分点公式，特别的y1y21P1yP2Px1x2x2，叫做线段P 1时，P为线段P1P2的中点，此时1P2的中点公式。yy2y122.三角形重心坐标公式 Oxx1x2x3xG3设△ABC的三个顶点坐标分别为Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，G为△ABC的重心，则 yyy23y1G3【典型例题分析】 【例1】已知点A的坐标为2,0，点B的坐标3,0，且AP4,BP3,求点P的坐标。 变式练习：已知点A（4、0），B（4、4），C（2、6），O为坐标原点，求AC和OB交点P的坐标。 【例2】已知2ab4,3,a2b3,4，求a,b的坐标。 变式练习：若向量a＝（１、１），b＝（１、－１），c=（－1、2），则c=（ ） A）－C） 【例3】设向量a,b,c,,R，化简： （1）abcabcbc （2）2abc2a2b2c 1313a+b B）a－b 22223131a－b D）－a+b 2222 【例4】已知向量a2,3，点A2,1，若向量AB与a平行，且AB213，求向量OA的坐标。 【解析】本题中放入两个条件，要求两个变量，只需列出方程组，求解即可。 变式练习： 1、－2、1），Ｂ（—1、3），Ｃ（3、4），D（2、2），则（ ） A）AB∥BC B）AB=DC C）AB∥DC D）AC=（―５，―3） 2若向量a=（2、m）与b=（m、8）的方向相反，则m= 2PP2,求出P的坐标。 【例5】在直角坐标系内P1P2上，且PP114,3,P22,6，点P在直线P 变式练习：已知a=AB，B（1、0），b=（－3、4），c＝（－１、１），且a=3b－２c，求Ａ点的坐标。 【例6】已知a32t,5,b9,2t，若a∥b，求a，b的坐标。 变式练习： 1、已知a=（1，2），b=（x，1），且a+2b与2a－b平行，则x= （ ） A）2 B）1 C）2、下列命题： ①a∥b存在唯一的实数，使得a＝b； ②a∥b存在不全为零的实数1和2，使得1a＋2b＝0； ③a、b不平行若1a＋2b＝0，则1＝2＝0； ④a、b不平行不存在实数1和2，使得1a＋2b＝0。 其中正确的命题是（ ） A)①④ B)②③ C)①③ D)②④ 3、若三点P（1、1），A（2、－4），B（x、－9）共线，则（ ） A）x=－１ B）x=3 C）x= 【例7】如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为1,1,5,3,4,5，直线l∥AB于D，且直线l平分ABC的面积，求D点的坐标。 变式练习：若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的动点，且它们在初始时刻分别从A、B、C出发，各以一定速度沿各边向B、C、A移动，当t=1时，分别到达B、C、A。 求证：在0≤t≤1的任何一时刻t1，△DEF的重心不变。 y F E A D B x 9 D）x=51 211 D） 32 【例8】如图，已知点P1,P2的坐标分别为x1,y1,x2,y2，点P的坐标为x2x1,y2y1 求证：OPPP12. yP1P2oPx变式练习：已知点O（0、0），A（1、2），B（4、5）及OP=OA+tAB，试问： 1） t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？ 2） 四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。 【例9】（1）若OA1,1,B点的坐标t1,2t，求AB最小值。 （2）若asin,cos,b2cos,3，且a∥b，求的值。 变式练习： 1、已知a=（2、3），b=（－5、6），则|a+b|= ，|a－b｜＝ 2、已知|a|=3，|b|=4，|c|=5，则|a－b－c|的最大值为 ；最小值为 。 【课堂小练】 1、设A、B、C、D四点坐标依次是（－１、０），（０、２），（４、３），（３、１），则四边形ABCD为（ ） A）正方形 B）矩形 C）菱形 D）平行四边形 2、设a=（31、sinα），b=（cosα、），且a∥b，则锐角α为（ ） 23A）300 B）600 C）450 D）750 3、若A、B、C、D四点共线，且依次排开，C是BD的中点，AB=m，AC=n，则AD=（ ） A）2m－n B）2n－m C）n－m D）m+n 4、在三角形ABC中，已知AB=a，CA=c，O是△ABC的重心，则OB+OC= 5、若a=（2、－3），b＝（１、２），c＝（９、４），且c=ma+nb，则m= ；n= ； 6、在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，若AB=a，AD=b，试以a、b为基底表示DE和BF。

【课后练习】 一、基础巩固 1.已知OA2,1,点B1,3,OCAB,则点C的坐标为 （ ） A 3,2 B 2,1 C 2,3 D 1,2 2.若非零向量ax1,y1,bx2,y2,则a∥b是x1y1的 （ ） x2y2A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 3.已知a1,x,b2x,4，而ca1b，且c3，则实数x的值为（ ） 2A 1或2 B 1或2 C 1 D 2 4.已知a2,5,b2a，若b与a反向，则b等于 （ ） A 4,10 B 4,10 C 1. 5.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，与向量AB平向量有（ ） A CO,OF,DE B CO,OC,OF,FO,DE,ED 52D 1,ABOCFED5 2行且模也相等的C CO,CF,OF,DE D BA,CO,OC,OF,FO,DE,ED 6.ABC中，若A1,1,B3,5,C8,3,G是ABC的重心，则GA的坐标是（ ） 0 B ，0 C 10A ，， D 0，1 7.已知：PPPP112,PP2PP1,则__________ 二、能力提升 8.连接A3,2,B4,8的线段，点P在线段AB上，且AP9.已知A1,2,B3,4,点P是AB的定比分点，BP 10.已知G1,G2是ABC,ACD的重心，G是G1G2的中点，若A,B,C,D的坐标分别是0,0 3212133AB,则点P的坐标_________ 41AB,求点P的坐标。 32,5,5,7,10,2，求点G的坐标。 三、创新探究 11.已知O,A,B的坐标分别为0,0,1,2,4,5，且OPOAtAB （1）当t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？ （2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由。 四、高考体验 12.设P是ABC所在平面内一点，BCBA2BP,则（ ）