2020-2021莆田市中山初三数学上期中第一次模拟试题(附答案)

一、选择题

1．若二次函数yx2bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2bx5的解为（ ）． A．x10，x24

B．x11，x25

C．x11，x25 D．x11，x25

2．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．随时打开电视机，正在播新闻 B．优秀射击运动员射击一次，命中靶心 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上

D．长度分别是3cm，5cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形 3．下列交通标志是中心对称图形的为（ ） A．

B．

C．

D．

4．若α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ） A．2020

B．2019

C．2018

D．2017

5．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为（ ）

A．1

B．22

C．2

D．2

6．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）

A．55° B．110° C．120° D．125° 7．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ A．﹣1或3

B．﹣3或1

C．3

D．1

8．将函数y=kx2与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ）

）A． B． C． D．

9．解一元二次方程 x2﹣8x﹣5＝0，用配方法可变形为（ ） A．（x+4）2＝11

B．（x﹣4）2＝11

C．（x+4）2＝21

D．（x﹣4）2＝21

10．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（ ） A．

1 3B．

1 4C．

1 5D．

1 611．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）

A．① B．② C．③

2D．④

12．长方形的周长为24cm，其中一边长为x(cm)，面积为ycm则长方形中y与x的关系式为（ ） A．yx2 B．y(12x)2 C．yx(12x) D．y2(12x)

二、填空题

13．如图，将RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90，得到DEC，连接AD，若

BAC25，则BAD______．

14．已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，则k的值为__________．

15．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为_____．

16．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是_____. 17．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．

18．若圆锥的底面周长为4，母线长为6，则圆锥的侧面积等于________．（结果保留π）

19．已知点C在以AB为直径的半圆上，连结AC、BC，AB＝10，BC：AC＝3：4，阴影部分的面积为_____．

20．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的直径是________ cm．

三、解答题

21．已知关于的方程

.

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．

22．为打造“文化九中，书香校园”，阜阳九中积极开展“图书漂流”活动，旨在让全体师生共建共享，校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，5月份人数比4月份增加10%，6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人.

(1)求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数；

(2)列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率. 23．关于x的一元二次方程x22xk10有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；

（2）当k为正整数时，求此时方程的根．

24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC4，AC42． (1)求点O到AC的距离； (2)求ADC的度数．

25．如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm． （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】

∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，

bb=−=2， 2a2解得：b=−4，

则−

∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0， 则(x−5)(x+1)=0， 解得：x1=5，x2=−1. 故选D. 【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.

2．D

解析：D 【解析】

分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 详解：A．是随机事件，故A不符合题意； B．是随机事件，故B不符合题意； C．是随机事件，故C不符合题意； D．是必然事件，故D符合题意． 故选D．

点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】

解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意； B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意； C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意； D、不是中心对称的图形，不合题意． 故选C． 【点睛】

本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得． 【详解】

解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根， ∴α+β＝1、α2﹣α＝2018， 则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3 ＝2018﹣2+3 ＝2019， 故选：B． 【点睛】

考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．

5．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，

∵∠C=45°，∴∠D=45°，

∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°， ∴∠DAB=∠D=45°， ∵AB=2， ∴BD=2， ∴AD=AB2BD2222222，

∴⊙O的半径AO=故选D． 【点睛】

AD2． 2本题考查圆周角定理；勾股定理．

6．D

解析：D 【解析】

分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 详解：根据圆周角定理，得

11-∠AOB）=×250°=125°（360°．

22故选D．

∠ACB=

点睛：此题考查了圆周角定理．

注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．

7．D

解析：D 【解析】 【分析】

设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可． 【详解】

解：设x2﹣2x+1＝a，

∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0， ∴a2+2a﹣3＝0， 解得：a＝﹣3或1，

当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3， 即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；

当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解， 故选：D． 【点睛】

此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k＞0和k＜0，函数y=kx2与y=kx+k的图象，从而可以解答本题． 【详解】 当k＞0时，

函数y=kx2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A、B均错误， 当k＜0时，

函数y=kx2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C正确，选项D错误， 故选C． 【点睛】

本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】 解：∵x2-8x=5，

∴x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21， 故选D． 【点睛】

本题考查的知识点是解一元二次方程的能力，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．

10．A

解析：A 【解析】 【分析】

【详解】

解：用1，2，3三个数字组成一个三位数的所有组合是：123，132，213，231，312，321，

是偶数只有2个，

所以组成的三位数是偶数的概率是故选A．

1 ； 311．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图. 【详解】

解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图. 故选：D. 【点睛】

本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y与x的函数. 【详解】

∵长方形的周长为24cm，其中一边长为x(cm)， ∴另一边为12-x，

故面积ycm则长方形中y与x的关系式为yx(12x)

2故选C 【点睛】

此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.

二、填空题

13．【解析】【分析】根据旋转的性质可得AC=CD再判断出△ACD是等腰直角三角形然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°由∠BAD=∠BAC+∠CAD可得答案【详解】∵Rt△ABC绕其直角顶点C

解析：70

【解析】 【分析】

根据旋转的性质可得AC=CD，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由∠BAD=∠BAC+∠CAD可得答案． 【详解】

∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC， ∴AC=CD，

∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD=45°，

+45°=70°则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°， 故答案为：70°∘． 【点睛】

本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质并准确识图是解题的关键.

14．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的新方程通过解新方程来求k的值【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了

解析：2 【解析】 【分析】

把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值． 【详解】

∵方程x2+kx−3=0的一个根为1， ∴把x=1代入，得 12+k×1−3=0， 解得，k=2. 故答案是：2. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用.

15．x（x﹣12）＝8【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x步那么宽就应该是（x﹣12）步根据面积为8即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x步那么宽就应该是（x﹣12）步根据矩形面积＝长×宽

解析：x（x﹣12）＝8 【解析】 【分析】

如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为8，即可得出方程．

【详解】

解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步． 根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝8． 故答案为：x（x﹣12）＝8． 【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．

16．k≤且k≠0；【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定答即可【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0解得k≤且k≠0故

解析：k≤【解析】 【分析】

利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定答即可. 【详解】

∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根， ∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0， 解得k≤

4且k≠0； 34且k≠0， 34且k≠0 3故答案为：k≤【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义及判别式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；解题时，要注意a≠0这个隐含的条件.

17．1800°【解析】试题分析：这个正多边形的边数为=12所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°故答案为1800°考点：多边形内角与外角

解析：1800° 【解析】

试题分析：这个正多边形的边数为

=12，

所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°． 故答案为1800°． 考点：多边形内角与外角．

18．【解析】【分析】底面周长即为侧面展开图扇形的弧长然后根据圆锥的侧面积列式进行计算即可得解【详解】解：圆锥的侧面积故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的计算熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键 解析：12

【解析】 【分析】

底面周长即为侧面展开图扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面积解． 【详解】 解：圆锥的侧面积故答案为：12． 【点睛】

本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．

1

lr列式进行计算即可得2

11lr6412． 2219．π﹣24【解析】【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积根据AB＝10BC：AC＝3：4可以求得ACBC的长再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算【详解】∵AB为直径

25π﹣24 2【解析】 【分析】

解析：

要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积，根据AB＝10，BC：AC＝3：4，可以求得AC，BC的长，再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算． 【详解】 ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BC：AC＝3：4， ∴sin∠BAC＝

3， 5又∵sin∠BAC＝∴BC＝AC＝

BC，AB＝10， AB3×10＝6， 4×BC＝×6＝8， 33∴S阴影＝S半圆﹣S△ABC＝故答案为：【点睛】

1125×π×52﹣×8×6＝π﹣24．

22225π﹣24． 2本题考查求阴影部分的面积，解题关键在于能找到阴影部分的面积与半圆的面积、直角三

角形的面积，三者的关系.

20．【解析】【分析】先画图根据题意求出∠OAB=60°再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果【详解】解：∵∠CAD=60°∴∠CAB=120°∵AB和AC与⊙O相切∴∠OAB=∠OAC=∠CAB= 解析：3

【解析】 【分析】

先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果． 【详解】

解：∵∠CAD=60°， ∴∠CAB=120°， ∵AB和AC与⊙O相切， ∴∠OAB=∠OAC=∠∴∠AOB=30°， ∵AB=3cm， ∴OA=6cm，

∴OBOA2AB233cm 所以直径为2OB=63cm 故答案为：63．

1CAB=60°， 2

【点睛】

本题考查了切线长定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

三、解答题

21．（1）【解析】

试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.

1×试题解析：（1）∵b2﹣4ac=22﹣4×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3；

（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：

；（2）的值是

，该方程的另一根为

．

1x12a1，解得：， 1xa2x311则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 22．（1）1440人；（2）20％ 【解析】 【分析】

（1）5月份借阅了名著类书籍的人数是1000（1+10%），则6月份借阅了名著类书籍的人数为：5月份借阅了名著类书籍的人数+340人；

（2）根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．设平均每年的增长率是x，列出方程求解即可． 【详解】

解：（1）由题意，得

5月份借阅了名著类书籍的人数是：1000×（1+10%）=1100（人）， 则6月份借阅了名著类书籍的人数为：1100+340=1440（人）； （2）设平均增长率为x． 1000（1+x）2=1440， 解得：x=0.2.

答：从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率为20%． 【点睛】

本题是一道数学应用题中的增长率问题的实际问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用及一元二次方程的解法的运用，解答中对结果验根是否符合题意是解答的关键． 23．（1）k＜2（2）x10,x22 【解析】 【分析】

（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k的取值范围； （2）根据（1）中的k的取值范围和k为正整数得出k的值，再解方程即可， 【详解】

（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴24k10，

2=8－4k >0.， ∴k2；

（2）∵k为正整数， ∴k=1，

解方程x22x0得，

x10,x22．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程.利用一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式是解题的关键.

24．(1)22；(2)135°． 【解析】 【分析】

（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM=CM=22，根据勾股定理即可得到结论；

（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【详解】

(1)作OMAC于M， ∵AC42， ∴AMCM22， ∵OC4，

∴OMOC2MC222； (2)连接OA，

∵OMMC，OMC900， ∴MOCMCO450， ∵OAOC， ∴OAM450， ∴AOC900， ∴B450， ∵DB1800， ∴D1350．

【点睛】

本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

25．（1）证明见解析；（2）6πcm2． 【解析】 【分析】

连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．（1）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；

（2）证明△CDM≌△OBM，从而得到S阴影=S扇形BOC． 【详解】

如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M． 30°=60°（1）根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×， ∵AC∥BD， ∴∠A=∠OBD=30°，

=90°∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°，即OC⊥AC， ∵OC为半径， ∴AC是⊙O的切线；

（2）由（1）知，AC为⊙O的切线， ∴OC⊥AC． ∵AC∥BD， ∴OC⊥BD．

由垂径定理可知，MD=MB=在Rt△OBM中，

1BD=33． 2MB33∠COB=60°，OB=cos303=6．

2在△CDM与△OBM中

CDMOBM30， MDMBCMDOMB90∴△CDM≌△OBM（ASA）， ∴S△CDM=S△OBM

6062=6π（cm2）． ∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC=

360

考点：1．切线的判定；2.扇形面积的计算．