常微分方程教案2

河北民族师范学院课程教案 （章节、专题首页）

课程名称 章节、专题 常微分方程 第二章 一阶微分方程的初等解法 1.理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 教学目2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 标及基3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 本要求 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 教学 重点是一阶微分方程的各类初等解法 重点 教学 积分因子的求法以及隐式方程的解法 难点 1. 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型， 2. 一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程， 3. 恰当方程及其积分因子法，隐式方程。（14课时） 教学内 容与时间分配

河北民族师范学院课程教案

（分页）

课程名称 常微分方程 §2.1 变量分离方程与变量变换 1、 变量分离方程 1) 变量分离方程 形如 （2.1） 的方程，称为变量分离方程，其中函数f(x)和g(y)分别是x,y的连续函数. 2) 求解方法 如果g(y)0，方程(2.1)可化为， dyf(x)g(y)dx (或M1(x)N1(y)dxM2(x)N2(y)dy0)

dyf(x)dx g(y)这样变量就分离开了,两边积分,得到 （2.2） 把dyg(y)f(x)dxc dy1,f(x)dx,f(x)的某一个原函数. 分别理解为g(y)(y)容易验证由（2.2）所确定的隐函数y(x,c)满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解. 如果存在y0使g(y0)0，可知yy0也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上. 3) 例题 例1 求解方程dyx dxy解 将变量分离，得到 ydyxdx 两边积分，即得 y2x2c 222

因而，通解为 xyc 这里的c是任意的正常数. 或解出显式形式 22ycx2 例2 解方程 dyy2cosx dx并求满足初始条件：当x0时.y1的特解. 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 ydycosxdx y21sinxc y1 sinxc这里的c是任意的常数.此外，方程还有解y0. 为确定所求的特解，以x0.y1代入通解中确定常数c，得到 c1 因而，所求的特解为 y 例3 求方程 （2.3） 的通解，其中P(x)是x的连续函数. 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 lnyP(x)dxc 这里的c是任意常数.由对数的定义，即有 1 1sinxdyP(x)y dxdyP(x)dx y

ye即 P(x)dxc yeecP(x)dx 令ec，得到 yce（2.4） 此外，y0也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许c0，则y0也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中c是任意常数. 注: 1.常数c的选取保证(2.2)式有意义. 2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上. 3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件y(x0)y0的一个解，表示的是一条过点(x0,y0)的曲线. P(x)dxc 2、可化为变量分离方程的类型 1）.形如 （2.5） 的方程，称为齐次方程，这里的g(u)是u的连续函数. dyyg dxx 另外,ⅰ)对于方程 dyM(x,y) dxN(x,y)其中函数M(x,y)和N(x,y)都是x和y的m次齐次函数，即对t0有 M(tx,ty)tmM(x,y) N(tx,ty)tmN(x,y) 1，则方程可改写成形如(2.5)的方程. xyyxmM(1,)M(1,)dyxx dxxmN(1,y)N(1,y)xxdyf(x,y) ⅱ)对方程 dx事实上，取t其中右端函数f(x,y)是x和y的零次齐次函数，即对t0有

f(tx,ty)f(x,y) 则方程也可改写成形如(2.5)的方程 dyyf(1,) dxx对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解. 令u即yux，于是 y （2.6） xdydu xu （2.7）dxdxduug(u) dxdug(u)u dxx将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为 x整理后，得到 （2.8） 方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解. dyyytg dxxxydydu解 这是齐次方程，以u,xu代入，则原方程变为 xdxdxdu xuutgu dx例4 求解方程即 （2.9） 分离变量，即有 ctgudu两边积分，得到 lnsinulnxc 这里的c是任意的常数，整理后，得到 sinucx （2.10） 此外，方程（2.9）还有解tgu0,即sinu0. 如果（2.10）中允许c0，则sinu0就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）. 代回原来的变量，得到原方程的通解为 dutgu dxxdx x

sin例5 求解方程x解 将方程改写为 ycx x(x0). dy2xyydxdyyy2dxxx(x0) ydyduu,xu代入，则原方程变为 xdxdxdu x2u dx这是齐次方程，以（2.11） 分离变量，得到 两边积分，得到（2.11）的通解 即 u[ln(x)c]2dudx x2uuln(x)c (ln(x)c0) (2.12) 这里的c是任意常数.此外，（2.11）还有解u0 注意，此解不包括在通解（2.12）中. 代回原来的变量，即得原方程的通解 yx[ln(x)c]2(ln(x)c0)及解y0. 原方程的通解还可表为 x[ln(x)c]2,ln(x)c0, y0,它定义于整个负半轴上. 注：1.对于齐次方程 dyyyg的求解方法关键的一步是令u后，解出yux，再对两dxxx边求关于x的导数得dyduux，再将其代入齐次方程使方程变为关于u,x的可分离方程. dxdxx而化为变量分离方程.这时xvy，再对两边求关于y的y 2.齐次方程也可以通过变换v导数得xdxdvdxvy，将其代入齐次方程f使方程变为v,y的可分离方程 dydydyy

小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dyyg形状的dxx解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法. 2）形如 （2.13） 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的a1,a2,b1,b2,c1,c2均为常数. 分三种情况来讨论 （1）c1c20情形. 这时方程（2.13）属齐次方程，有 dya1xb1yc1 dxa2xb2yc2dya1xb1yyg dxa2xb2yx此时，令uy，即可化为变量可分离方程. x（2）a1a2b1b20，即a1b1的情形. a2b2 设a1b1k，则方程可写成 a2b2dyk(a2xb2y)c1f(a2xb2y) dx(a2xb2y)c2 令a2xb2yu，则方程化为 这是一变量分离方程. （3）dua2b2f(u) dxa1a2b10及c1,c2不全为零的情形. b2这时方程（2.13）右端的分子、分母都是x,y的一次式，因此 a1xb1yc10  axbyc0222（2.14） 代表xy平面上两条相交的直线，设交点为(,).

显然，0或0，否则必有c1c20，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)就行了，若令 （2.15） 则（2.14）化为 Xx Yy 从而（2.13）变为 a1XbY10 a2Xb2y0 dYa1Xb1YYgdXa2Xb2YX（2.16） 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下： (1)解联立代数方程（2.14），设其解为x,y； (2)作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）； (3)再经变换uY将（2.16）化为变量分离方程； X(4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解. 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型 此外，诸如 axb1yc1dyf1 dxaxbyc222dyf(axbyc) dx y(xy)dxxg(xy)dy0 x2dyf(xy) dx 以及 dyyxf2 dxx M(x,y)(xdxydy)N(x,y)(xdyydx)0 （其中M,N为x,y的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.

例6 求解方程 dyxy1 dxxy3（2.17） 解 解方程组 xy10 得x1,y2. xy30 令xX1 yY2dYXY dXXY代入方程（2.17），则有 （2.18） 再令 u则（2.18）化为 两边积分，得 lnX2lnu22u1c 因此 22c X(u2u1)e Y 即 YuX XdX1udu 2X12uu记ecc1,并代回原变量，就得 22 Y2XYXc1 22 (y2)2(x1)(y2)(x1)c1 此外，易验证 u2u10 即 Y2XYX0 也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为 y2xyx6y2xc 其中c为任意的常数. 22222

§2.2 线性方程与常数变易法 1、一阶线性微分方程 a(x)在a(x)0的区间上可以写成 （2.28） 对于a(x)有零点的情形分别在a(x)0的相应区间上讨论.这里假设P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数. 若Q(x)0，（2.28）变为 dyb(x)yc(x)0 dxdyP(x)yQ(x) dx

（2.3） 称为一阶齐线性方程. dyP(x)y dx若Q(x)0，（2.28）称为一阶非齐线性方程. 2、常数变易法 （2.3）是变量分离方程，已在例3中求得它的通解为 yceP(x)dx （2.4） 这里c是任意的常数. 下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法. 方程(2.3)与方程(2.28)两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在(2.4)中c恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c不再是常数,将是x的待定函数c(x),为此令 yc(x)e（2.29） 两边微分，得到 P(x)dxdydc(x)P(x)dx ec(x)P(x)edxdxP(x)dx （2.30） 将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到 即 积分后得到 P(x)dxdxc c(x)Q(x)eP(x)dxP(x)dxdc(x)P(x)dxec(x)P(x)eP(x)c(x)eQ(x) dxP(x)dxdc(x) Q(x)edx（2.31） 这里c是任意的常数..将（2.31）代入（2.29），得到 Q(x)eP(x)dxdxc P(x)dxP(x)dxP(x)dx =ceeQ(x)edxyeP(x)dx（2.32） 这就是方程（2.28）的通解. 这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换

的方法.通过变换（2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程. 注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和. 例1 求方程(x1)解 将方程改写为 （2.33） 先求对应的齐次方程 的通解，得 yc(x1) 令 （2.34） 微分之，得到 ndynyex(x1)n1的通解，这里的n为常数. dxdynyex(x1)n dxx1dyny0 dxx1yc(x)(x1)n

dydc(x)(x1)nn(x1)c(x) dxdx（2.35） 以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再积分，得 x c(x)ec 将其代入公式（2.34），即得原方程的通解 nx y(x1)(ec) 这里c是任意的常数. 例2 求方程dyy的通解. 2dx2xy解 原方程改写为 （2.36） 把x看作未知函数，y看作自变量，这样，对于x及先求齐线性方程 dx2xy dyydx来说，方程（2.36）就是一个线性方程了. dydx2x dyy

的通解为 xcy （2.37） 令xc(y)y,于是 代入（2.36），得到 c(y)lnyc 从而，原方程的通解为 xy2(clny) 这里c是任意的常数,另外y0也是方程的解. 特别的，初值问题 22dxdc(y)2y2c(y)y dydydyP(x)yQ(x) dxy(x0)y0的解为 y=cex0xP()dex0xP()dxx0Q(s)ex0P()dsds 例3 试证 （1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解； （2）若yy(x)是（2.3）的非零解，而yy(x)是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为ycy(x)y(x)，其中c为任意常数. （3）方程（2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证 （1）设y1,y2是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使 dy1py1Q(x)(1)dx dy2py2Q(x)(2)dx （1）—（2）有 d(y1y2)p(y1y2) dx说明非齐线性方程任意两个解的差y1y2是对应的齐次线性方程的解.

（2）因为 d(cy(x)y(x))dy(x)dy(x)cp((cy)pyQ(x)p(cyy)Q(x) dxdxdx故结论成立. （3）因为故结论成立. d(y1y2)d(y1y2)d(cy)p(cy),p(y1y2),p(y1y2) dxdxdx3、Bernoulli方程 形如 dy （2.38） P(x)yQ(x)yn （ n0,1）dx的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程，这里P(x),Q(x)为x连续函数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程来求解.事实上，对于y0，用y y（2.39） 引入变量变换 zy（2.40） 从而 1nn乘（2.38）两边，得到 ndyy1nP(x)Q(x) dx dzdy (1n)yndxdx（2.41） 将（2.40）、2.41）代入（2.39），得到 dz(1n)P(x)z(1n)Q(x) dx（2.42） 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解.此外，当n0时，方程还有解y0. 例4 求方程dyy6xy2的通解 dxx1解 这是n2时的伯努利方程，令 zy,得 代入原方程得到 这是线性方程，求得它的通解为 dzdyy2 dxdxdz6zx dxx

cx2 z6 x8代回原来的变量y，得到 1cx26 yx8或者 x6x8c y8这是原方程的通解. 此外，方程还有解y0. 例5 求方程dy1的解 33dxxyxy解 将方程改写为 dxyxy3x3 dy这是一个自变量为y，因变量为x的伯努利方程.解法同上. dyey3x例6 求方程的通解 dxx2dudy，原方程改写为 eydxdxdu3x1 2u2u2 dxxx这个方程只要做一个变换，令ue,y便是伯努利方程. 小结;这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法.即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数c(x)，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解.

§2.3 恰当方程与积分因子 1、恰当方程的定义 将一阶微分方程 写成微分的形式 f(x,y)dxdy0 把x,y平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为 M(x,y)dxN(x,y)dy0 （2.43） 假设M(x,y),N(x,y)在某区域G内是x,y的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数u(x,y),使得 duM(x,y)dxN(x,y)dy dyf(x,y) dx

(2.44) 即 (2.45) 则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程. 在上述情形,方程(2.43)可写成du(x,y)0,于是 u(x,y)C 就是方程(2.43)的隐式通解,这里C是任意常数(应使函数有意义). 2、 恰当方程的判定准则 定理1设M(x,y),N(x,y)在某区域G内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是 uuM(x,y), N(x,y) xy MN, (x,y)G yx(2.46) 而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为 u(x,y)(2.47) 或者也可取为 u(x,y)(2.48) 其中(x0,y0)G是任意取定的一点. 证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数u(x,y)满足(2.45), 又知M(x,y),N(x,y)是连续可微的,从而有 xx0M(s,y0)dsN(x,t)dt y0yyy0N(x0,t)dtM(s,y)ds x0xM2u2uN yyxxyx下面证明定理的充分性,即由条件(2.46),寻找函数u(x,y),使其适合方程(2.45).从(2.47)可知 uN(x,y) y

uyM(x,y0)N(x,t)dtxxy0 =M(x,y0)yy0yNx(x,t)dt =M(x,y0)My(x,t)dtM(x,y)y0即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45). 例1. 解方程 x21 xydx()dy0 2y(2.49) x21解 这里Mxy, N=(),则MyxNx,所以(2.49)是恰当方程.因为N于y0处无2y意义,所以应分别在y0和y0区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数u(x,y). 先选取(x0,y0)(0,1),代入公式(2.47)有 ux0xdxy1x21x2()dyylny 2y2再选取(x0,y0)(0,1),代入公式(2.47)有 x21x2yln(y) u(x)dx()dy012y2xy可见不论y0和y0,都有 x2yln|y| u2x2yln|y|C. 故方程的通解为23、恰当方程的解法 上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法. 解法1. 已经验证方程为恰当方程,从uxM(x,y)出发,有 x2y(y) u(x,y)M(x,y)dx(y)2

(2.50) 其中(y)为待定函数,再利用uyN(x,y),有 x2x211(y) 从而(y) 22yy于是有 (y)ln|y| 只需要求出一个u(x,y),因而省略了积分常数.把它代入(2.50)便得方程的通解为 x2yln|y|C u2解法2. 分项组合的方法 对(2.49)式重新组合变为 x21dy)dy0 (xydx2yx2y)dln|y|0 于是 d(2x2yln|y|C 从而得到方程的通解为 24、积分因子的定义及判别 对于微分形式的微分方程 M(x,y)dxN(x,y)dy0（2.43） 如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(x,y)0，使得 M(x,y)dxN(x,y)dy0 (2.51) 为一恰当方程，即存在函数v(x,y)，使

M(x,y)dxN(x,y)dydv 则称(x,y)是方程（2.43）的积分因子.此时v(x,y)C是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解. 如果函数M(x,y),N(x,y)和(x,y)都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道, (x,y)为(2.43)积分因子的充要条件是

MN yxNMNM() xyyx即 (2.52) 5、积分因子的求法 方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设MM(x,y),NN(x,y)和（2.43） 有形如(x,y)在某区域内都是连续可微的，则方程((x,y))的积分因子的充要条件是：函数 My(x,y)Nx(x,y)N(x,y)x(x,y)M(x,y)y(x,y) （2.53） 仅是(x,y)的函数，此外，如果（2.53）仅是(x,y)的函数ff((x,y))，而G(u)f(u)du，则函数 e（2.） 就是方程（2.43）的积分因子. 证明 因为如果方程（2.43）有积分因子()，则由（2.52）进一步知 G((x,y)) dMN(NM)() dxyyx即 d由()可知左端是的函数，可见右端于是，有 MyNxNxMyMyNxd MyNxNxMyNxMy也是的函数，即 f()，df()d， 从而 ef()deG()

反之，如果（2.53）仅是的函数，即事实上，因为 MyNxNxMyf()，则函数（2.）是方程（2.52）的解.NM(NxMy)f()eG()(MyNx) xy因此函数（2.）的确是方程（2.43）的积分因子. 为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下： 类型 条件 (x) MyNxf(x) N (y) MyNxf(y) M例2. 解积分因子 eeef(x)dx f(y)dy (xy) MyNx11xNyMxyMyNxNxMy1f(u)duf(xy) |uxy ((x,y)) f((x,y)) ef(u)du|u(x,y) (y23xy1)dx(xyx2)dy0 解 这里My3xy1,Nxyx,注意 22MyNxyx 所以方程不是恰当的,但是 MyNxN它仅是依赖与x，因此有积分因子 11 xdxexx 给方程两边乘以因子x得到 (xy23x2yx)dx(x2yx3)dy0 从而可得到隐式通解 u21221xyx3yx2C 22例3. 解方程(xyy)dx(xyy1)dy0

解 这里Mxyy,Nxyy1方程不是恰当的.但是 2MyNxM它有仅依赖于y的积分因子 1 yeydy11 y方程两边乘以积分因子从而可得到隐式通解 11得到 (xy)dx(x1)dy0 yyu12xxyyln|y|C 2另外，还有特解y0.它是用积分因子乘方程时丢失的解. 例4. 解方程 (y2xy)dx(xyx)dy0 解 这里My2xy,Nxyx，不是恰当方程.设想方程有积分因子(xy)，其中，223223是待定实数.于是 1yx211 112xNyMxy()y(2)xxyxy只须取3,2.由上述简表知原方程有积分因子 MyNxx3y2 从而容易求得其通解为： 1ux4y4x6y3C 3六、积分因子的其他求法 以例4为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式： (y2dxxydx)(2x2ydxx3dy)0 前一组有积分因子11，并且 y12(ydxxydy)d(xy) y后一组有积分因子21，并且 x

1(2x2ydxx3dy)d(x2y) x设想原方程有积分因子 11(xy)(x2y) yx其中，是待定实数.容易看出只须3,2，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个. 例5. 解方程 M1(x)M2(y)dxN1(x)N2(y)dy0 其中M1，M2，N1，N2均为连续函数. 解 这里MM1(x)M2(y)，NN1(x)N2(y).写成微商形式就形式上方程是变量可分离方程，若有y0使得M2(y0)0，则yy0是此方程的解；若有x0使得N1(x0)0，则xx0是此方程的解；若M2(y)N1(x)0，则有积分因子 并且通解为 1 M2(y)N1(x)uM1(x)N(y)dx2dy N1(x)M2(y)例6、试用积分因子法解线性方程（2.28）. 解 将（2.28）改写为微分方程 [P(x)yQ(x)]dxdy0 （2.55） 这里MP(x)yQ(x),N1，而 MNyxP(x) N则线性方程只有与x有关的积分因子 P(x)dx eP(x)dx方程（2.55）两边乘以e，得

P(x)dxP(x)dxP(x)dxx P(x)eydxedyQ(x)edx0 （2.56） （2.56）为恰当方程，又分项分组法 P(x)dxP(x)dx d(ye)Q(x)edx0 因此方程的通解为 P(x)dxP(x)dxQ(x)edxc ye即 yeP(x)dxP(x)dx[Q(x)edxc] 与前面所求得的结果一样. 注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子. §2.4 一阶隐方程与参数表示 能解出 y不能解出 形式复杂 y或解出 yf(x,y)F(x,y,y)0 转化 变量分离、线性、恰当方程等 引进参数变量变换 转化 yf(x,y)xf(y,y)F(x,y)0F(y,y)0熟练掌握 一 能解出 y (或 x )的方程 1 yf(x,dy) (2.4.1)dxdyf(x,)这里假设函数 有连续的偏导。 dxdy解法：引进参数 ，则(2.4.1) Pdx yf(x,p) (2.4.2)dyp两边关于 x 求导，并把 代 dx pffdp (2.4.3)xpdxdp dxpfpfx 关于 x 和 p 显式方程。 (i)若已得出(2.4.3)的通解形式为, p(x,c)代入(2.4.2)得 yf(x,(x,c))就是(2.4.1)的通解。 则 yf(x,p) (ii) 若得出(2.4.3)通解形式为 ，则原方程有参数形式的通解为 x(p,c) x(p,c)yf((p,c),p)(iii) 若求得(2.4.3)通解形式 ，则原方程有参数形式通解 (x,p,c)0 (x,p,c)0yf(x,p)

其中p是参数,c为任意常数。 2 x f(y,dy) (2.4.4)dxdypdx1fdppyfdyp解法 xf(y,p) (2.4.5)1ffdp两边对 y 求导 (2.4.6) pypdy若求得为 p(y,c)xf(y,(y,c))则(2.4.4)的通解为 若求得为 (y,p,c)0则(2.4.4)的通解为 例1 求解方程 dx(xf(y,p)(y,p,c)0dy3dy)2xy0dxdxyp32xpdy解[1] 令 ,p解出 y 得 两边对 x 求导, p3p2dpdp2x2pdxdx3p2dp2xdppdx03p3dp2xpdpp2dx0p0时，上式乘以 p，得 当 积分，得 3p4xp2c4cx34p4p2yp3解出 x，得 yp32xp得 将它代入 2(c34p)4p 因此，方程参数形式通解 xyc32pp242c13pp2(p0)当 p=0 时, 由 yp32xp，可知，y=0也是方程的解。 ypdyp，得 x解[2] 解出 x，并令 2pdx3(p0)两边对 y 求导 1pp(13p2dpdp)(yp3)dydy22p2ypp4cpdyydp2p3dp0ycp2p4cp4p3c3p42px2p4p2c32x4p24p3ycp2p2所以，方程的通解为: p0

此外，还有解 y = 0 。 例2 求解方程 y(dy2dyx2)xdxdx2yp2xpx22dyp解 令 得 dx两边对 x 求导，得 p2pdxxdxpx (dp1)(2px)0dxyp2xpydpdpdp10dxx22pxc将它代入 得方程的通解 x2cxc22px22px0再由 得 2x22xy将它代入 ，又得方程的一个解 。 ypxp42x2ycxc2注意: 此解与通解 中的每一条积分曲线均相切(如图)(P)这样的解我们称之为奇2解,下一章将给出奇解的确切含义。 y x2ycxc22x2y4 o x 二 不显含 y ( 或 x 的方程 ) 3 F(x,y)0 (2.4.7)ydy(t)dxx(t)从(2.4.7)得到 解法 引入变换 y(t)从(2.4.7)得到 ) x(t)(or 引入变换 (t)(t)dtdy(t)(t)dty(t)(t)dtc

dy(t)dx则，方程的参数形式通解为 特殊情形： 令 y x(p)dypdxx(t)y(t)'(t)dtcdypdxp(p)dpyp(p)dpcx(p)通解为 yp(p)dpc 4 F(y,y')0 (2.4.8)dy(t)dxy(t)从(2.4.8)得到 y解法 引入变换 y(t)，从(2.4.8)得到 ) y(t)(or 引入变换 dy(t)dxxdx11dy(t)dt(t)(t)则，方程的参数形式通解为 x'(t)dtc(t) '(t)dtc(t)y(t)yk也是方程的解。 F(y,0)0yk，则 若 有实根 特殊情形： 令 通解为 y(p)dxydypdx1(p)dpcp11dy(p)dpppx(p)dpcxpy(p)yk也是方程的解。 F(y,0)0yk，则 若 有实根 dy33例4 求解方程 xy'3xy0这里ydx解：令 yptx3t3t2x则 由方程，得 ，从而 p1t31t39(12t3)t23t2于是 dtdydx(1t3)31t3 通解为 y9(12t3)t2314t3dtc(1t3)32(1t3)23tx1t33y3(14t)c2(1t3)2

22例5 求解方程 y(1y)(2y)222y2yt代入原微分方程得 y(yt1)yt解：令 2yyt，把 1yt，且 y1t2由此得 t dxdy1d(1t)1dt2tt2y1t 方程的参数形式的通解为 1xcty1tt1xct此外, y2也是方程的解。 练习 求解方程（克莱洛方程Clairant ） yxy'(y')注意观察方程的解的特点。 解 由 通解 y'dypdxppxp(p)p(x(p))p0p0pcycx(c)x(p)y(p)p(p)由 x(p)，奇解 作业 P.59 1, 3, 4 三 利用变量代换的微分方程积分法 x,y,y'都不易解出, 或者虽能解出,但积分计算比较复杂，这时，除有时方程 F(x,y,y')0就 了引用适当的参数外，还可以先进行适当的变量代换以后再求解，这种方法称为利用变量代换的微分方程积分法。但是，如何选择适当的变量来代换，没有一定的规律, 需要在做大量的练习中积累经验。 222例6 求解方程 (y')cosyysinxcosxcosysinycosx0解： 令 则 sinyuducosydy,sinxvdvcosxdxdudvdudvy'cosxducosydv()2vu代入原方程，得 ， 0

即 uv()2为克莱洛方程。 通解 ucvc，奇解 22dudvdudvsin2xsinyccsinx，奇解 siny原方程的通解 2v2u2例7 求方程 (xy'y)(yy'x)2y'的通解。 2解： 令 yu,x2vy'xduydvdu2ydy,dv2xdv，则 则 代入原方程，得 令 dupdv2p1p(vdududuu)(1)2dvdvdvvp2upvpu2puvp即 ，为克莱洛方程。 2v(1p)22cucv通解 ，奇解 。 21cu2p(1p)2 22x2c(1p)2y2cx2原方程的通解 ，奇解 。 21cy22p (1p)2