【精品】2017-2018年贵州省铜仁一中高二上学期数学期末试卷(理科)与答案

2017-2018学年贵州省铜仁一中高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ） A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

2．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10

3．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 4．（5分）方程（x2+y2﹣4）

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

=0的曲线形状是（ ）

A．

B．

C．

D．

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5．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若

=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A．﹣++ B．++ C．﹣﹣+ D．﹣+

6．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A． B．

C． D．

7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．

B．

C．

D．

8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）

第2页（共23页）

A．3 B．4 C．5 D．6

9．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆A．相交

B．相切

的位置关系是（ ） C．相离

D．不确定

10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ） A．

B． C．

D．

11．（5分）若双曲线

的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长

为2，则该双曲线的实轴长为（ ） A．1

B．2

C．3

D．6

12．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且

以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ） A．

二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

第3页（共23页）

B．

C．

D．

13．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 ． 14．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ．

15．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是 ．

16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= ．

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

18．（12分）如图，M，N，K分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1

的中点．

（1）求证：AN∥平面A1MK； （2）求证：平面A1B1C⊥平面A1MK．

19．（12分）铜仁市某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽

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样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：

生产能手 非生产能手 15 15 30 45 25 70 ．

合计 60 40 100 25周岁以上组 25周岁以下组 合计 所以得K2=

20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：BE⊥DC；

（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

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21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：为

+=1（a＞0，b＞0）的离心率，O是坐标原点．

，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为

（1）求E的方程；

（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

（本小题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

（θ为参数）．

（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程； （2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．

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2017-2018学年贵州省铜仁一中高二（上）期末数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ） A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

【解答】解：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2“ 故选：D．

2．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10

【解答】解：由图1得样本容量为（3500+2000+4500）×2%=10000×2%=200， 抽取的高中生人数为2000×2%=40人， 则近视人数为40×0.5=20人， 故选：A．

3．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件

【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，

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B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件． 故选：A．

4．（5分）方程（x2+y2﹣4）

=0的曲线形状是（ ）

A．

B．

C．

D．=0，得

【解答】解：由（x2+y2﹣4）

，或x+y+1=0．

它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0右上方的部分． 故选：C．

5．（5分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若

=，

=，

=，则下列向量中与

相等的向量是（ ）

A．﹣++ B．++

==

C．﹣﹣+ D．

﹣+

【解答】解：由题意，=

故选：A．

=

；

6．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

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A． B．

C． D．

【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S=

，

则对应概率P=故选：B．

=，

7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为

，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，

右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2， 所求几何体的体积为：故选：A．

8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）

=

．

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A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1， 输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2； 判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3； 判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4； 判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．

此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，

即5＞n满足，所以正整数n的值应为4． 故选：B．

9．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆A．相交

B．相切

的位置关系是（ ） C．相离

D．不确定

【解答】解：直线y=kx﹣k+1可化为y=k（x﹣1）+1，所以直线恒过点（1，1） ∵

∴（1，1）在椭圆的内部

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∴直线y=kx﹣k+1与椭圆故选：A．

的位置关系是相交

10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ） A．

B． C．

D．

【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1

的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，

，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，

∵BC=CA=CC1，

设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=

，AN=

，MB=

==

==

， ．

在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=故选：C．

11．（5分）若双曲线

的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长

为2，则该双曲线的实轴长为（ ） A．1

B．2

C．3

的一条渐近线为y=

，

D．6

【解答】解：设双曲线把y=

代入圆（x﹣2）2+y2=4，

，

并整理，得

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，

∴，

解得a2=1， ∴2a=2．

故该双曲线的实轴长为2． 故选：B．

12．（5分）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且

以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离

=a，化为：a2=3b2．

∴椭圆C的离心率e==故选：A．

=．

二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．（5分）若“∀x∈[0，【解答】解：“∀x∈[0，

]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 1 ． ]，tanx≤m”是真命题，

可得tanx≤1，所以，m≥1， 实数m的最小值为：1． 故答案为：1．

14．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为

．

【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有

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被录取”， 则P（）=

=

，

=

．

因此P（A）=1﹣P（）=1﹣故答案为：

．

15．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是 ﹣=1（x＞3） ．

【解答】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G， 则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|， 所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为

﹣

=1（x＞3）．

故答案为：﹣=1（x＞3）．

16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= 6 ．

第13页（共23页）

【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点， 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：|FN|=2|FM|=2故答案为：6．

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

=6．

，

【解答】解：当p为真命题时，，∴m＞2．

当q为真命题时，△=42（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3．

若“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，即，p真q假或p假q真， ①若p真q假， ∴

，∴m≥3．

②若p假q真， ∴

，∴1＜m≤2．

综上m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．

18．（12分）如图，M，N，K分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1

的中点．

（1）求证：AN∥平面A1MK； （2）求证：平面A1B1C⊥平面A1MK．

第14页（共23页）

【解答】证明：（1）连接KN，由于K、N为CD，C1D1、CD的中点，所以KN平行且等于AA1，

AA1KN为平行四边形⇒AN∥A1K，而A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，从而AN∥平面A1MK．

（2）连接BC1，由于K、M为AB、C1D1的中点，所以KC1与MB平行且相等， 从而KC1MB为平行四边形，所以MK∥BC1，而BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，从而 BC1⊥平面A1B1C，所以：

⇒MK⊥面A1B1C⇒面A1B1C⊥面A1MK．

19．（12分）铜仁市某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有

第15页（共23页）

关”？

由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：

生产能手 非生产能手 15 15 30 45 25 70 ．

合计 60 40 100 25周岁以上组 25周岁以下组 合计 所以得K2=

【解答】解：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．

所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中， 25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3； 25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），记为B1，B2． 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种， 它们是（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）， （A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）， （A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．

其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种， 它们是（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）， （A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）． 故所求的概率P=

．

（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中， “25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人）， “25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人）， 据此可得2×2列联表如下：

生产能手 非生产能手 15 15 45 25 合计 60 40 25周岁以上组 25周岁以下组

第16页（共23页） 合计 所以得K2=

30 70 =

100 =

≈1.786．

20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：BE⊥DC；

（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1） ∴∵

=（0，1，1），•

=0，

=（2，0，0）

∴BE⊥DC； （Ⅱ）∵

=（﹣1，2，0），

=（1，0，﹣2），

设平面PBD的法向量=（x，y，z），

第17页（共23页）

由，得，

令y=1，则=（2，1，1），

则直线BE与平面PBD所成角θ满足： sinθ=

=

=

，

．

=（2，2，0），

故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（Ⅲ）∵

=（1，2，0），

=λ

=（﹣2，﹣2，2），

由F点在棱PC上，设故

=

+

=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

•

=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，

由BF⊥AC，得解得λ=， 即

=（﹣，，），

设平面FBA的法向量为=（a，b，c）， 由

，得

令c=1，则=（0，﹣3，1）， 取平面ABP的法向量=（0，1，0）， 则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足： cosα=

=

=

，

故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：

21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：为

+=1（a＞0，b＞0）的离心率，O是坐标原点．

，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为

（1）求E的方程；

第18页（共23页）

（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

【解答】解：（1）设F（c，0），由条件知∴a=2，b2=a2﹣c2=1， 故E的方程为：

；

，得

，又

，

（2）当l⊥x轴时，不合题意，

故设l：y=kx﹣2，p（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立

，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．

当△=16（4k2﹣3）＞0，即

，

时， ．

从而．

又点O到直线PQ的距离．

∴△OPQ的面积为设则

，

，当且仅当

，

，即t=2时取“=”．

∴，即时等号成立，且满足△＞0，

或

．

∴当△OPQ的面积最大时，l的方程为

（本小题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

（θ为参数）．

（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

第19页（共23页）

（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．

【解答】解：（1）圆C的参数方程为

所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），

（θ为参数）

x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，

化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分） （2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积

所以△ABM面积的最大值为

二次函数

（1）一元二次方程axbxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所

涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

设一元二次方程axbxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令

从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：f(x)ax2bxc，

22（7分）

（10分）

赠送—高中数学知识点

xb ③判别式： ④端点函数值符号． 2ayf(k)0①k＜x1≤x2 

ya0xb2aOkx1xkx2b2aOxx1x2xa0f(k)0

②x1≤x2＜k 

第20页（共23页）

ya0Oyf(k)0xOb2ax1x2kxb2akx2x1a0xxf(k)0

③x1＜k＜x2  af(k)＜0

ya0yf(k)0x2xa0Okx1x2xx1Okf(k)0

④k1＜x1≤x2＜k2 

ya0yxf(k1)0f(k)02x1x2k2xOb2aOk1k1x1x2k2xbx2a f(k1)0a0f(k2)0 ⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2  f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

ya0yf(k1)0f(k1)0x1k2Ok1x2xOx1k1a0x2k2xf(k2)0f(k2)0

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2  此结论可直接由⑤推出．

（5）二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值

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2

设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0（Ⅰ）当a0时（开口向上） ①若1(pq)． 2bbbbp，则mf(p) ②若pq，则mf() ③若q，2a2a2a则mf(q)   ff

(q) (p) f O(q) x

fOx

f((p)bf(b2 a)2a) ①若b2ax(q) ②b0，则Mf2ax0，则Mf(p)   f f(p)x x(q)0 0Ox

Ox

fff(b f((p)b2 a)(q) 2a)(Ⅱ)当a0时(开口向下) ①若b2ap，则Mf(p) ②若pb2aq，则Mf(b2a) 则Mf(q)

f(b)f(b 2aff2a) (p) (p) Ox

Ox

ff

(q) 

(q)

①若b2axf(q) ②b0，则m2ax0，则mf(p)．第22页（共23页）

2af(p) Off(b)(q) 2a③若b2aq，ff(b2a)(q) Of(p) x

x

f(f(p) Ob)2aff(b)2a(q) x0x

x0Of

(q)

x

f

(p)

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