高考数学-向量

考试内容：

向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．

平面向量 知识要点

1.本章知识网络结构

2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a； 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.

x1x2(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

y1y2(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 向量的 加法 几何方法 坐标方法 ab(x1x2,y1y2) 运算性质 abba (ab)ca(bc) 1.平行四边形法则 2.三角形法则 1

ABBCAC 向量的 减法 三角形法则 ab(x1x2,y1y2) aba(b) ABBA,OBOAAB 1.a是一个向量,满足:|a||||a| (a)()a ()aaa 数 乘 向 量 2.>0时, a与a同向; <0时, a与a异向; a(x,y) (ab)ab a//bab =0时, a0. ab是一个数 abba (a)ba(b)(ab) 向 量 的 数 量 积 1.a0或b0时， ab0. a0且b0时，2. ab|a||b|cos(a,b)abx1x2y1y2 (ab)cacbc 22a|a|即|a|=|ab||a||b| xy 224.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，

λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)两个向量平行的充要条件

a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件

a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O. (4)线段的定比分点公式

设点P分有向线段P1P2所成的比为λ，即P1P＝λPP2，则

OP＝

11OP1＋

11OP2 (线段的定比分点的向量公式)

2

1图x1x2x,1 (线段定比分点的坐标公式) yy1y2.1当λ＝1时，得中点公式：

x1x2x,12 OP＝（OP1＋OP2）或2yy1y2.2 (5)平移公式

设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′）， 则OP＝OP+a或xxh,yyk.

曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：

y－ｋ＝f（x－ｈ)

(6)正、余弦定理

正弦定理：

asinA2

2

bsinB2

csinC2R.

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC.

（7）三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=

PPaPbPc [海伦公式]

⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

A[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图： A

BcDIaEAEbFABccbOBFFbDaEraCNC

CaBCraIra 图2 图3 图4

图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr

图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

3

附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即

abc2]

则：①AE=sa=1/2（b+c-a） ②BN=sb=1/2（a+c-b） ③FC=sc=1/2（a+b-c）

特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=⑹在△ABC中，有下列等式成立tan证明：因为ABabc2ababc综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.

（如图3）.

AtanBtanCtanAtanBtanC.

tanCC,所以tanABtanC，所以

tanAtanB1tanAtanB，结论！.

7△ABC的判定：

cab△ABC为直角△∠A + ∠B =

22222c＜a2b2△ABC为钝角△∠A + ∠B＜＞a2b2△ABC为锐角△∠A + ∠B＞

abc2ab2222

c22附：证明：cosC，得在钝角△ABC中，cosC0a2b2c20,a2b2c2

8平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

abab2(ab)

2222

高考真题精练

1．（安徽2）．若AB(2,4)，AC(1,3), 则BC（ B ）

A． （1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）

2．（广东3）已知平面向量a=(1,2), b=(-2,m), 且a∥b, 则2a+3b= （ B ）

A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10) 3．（宁夏5）已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，ab与a垂直， 则（ A ）

A．1 B．1 C．2 D．2

4．（宁夏9）平面向量a，b共线的充要条件是（ D ） A．a，b方向相同

4

B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．∃R，ba

D．存在不全为零的实数1，2，1a2b0

5．（辽宁5）已知四边形ABCD的三个顶点A(0，，，，且BC2AD2)B(1，2)C(3，1)，

则顶点D的坐标为（ A ） A．2，

27B．2，1 2C．(3，2) D．(1，3)

6．（辽宁8）将函数y2x1的图象按向量a平移得到函数y2x1的图象，则（ A ） A．a(1，1)

B．a(1，1)

C．a(1，1)

D．a(1，1)

7．（全国Ⅰ5） 在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD=（ A ）

A．

23b13c B．

53c23b C．

23b13c D．b3123c

8．（四川3）设平面向量a3,5,b2,1，则a2b( A )

（Ａ）7,3 （Ｂ）7,7 （Ｃ）1,7 （Ｄ）1,3 9．(湖北1).设a(1,2),b(3,4),c(3,2),则(a2b)c ( C ) A.(15,12) B.0 C.-3 D.-11

8 10．（北京11）已知向量a与b的夹角为120，且ab4，那么ab的值为________．

11．（江苏5）a,b的夹角为120，a1,b3，则5ab 7 12．（江西16）如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：

A．ACAF2BC B．AD2AB2AF C．ACADADAB

D．(ADAF)EFAD(AFEF)

FEDCAB其中真命题的代号是 A,B,D（写出所有真命题的代号）．

13．（全国Ⅱ13）设向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则 ．2

5

14．（上海5）若向量a，则ab ．7 b2且a与b的夹角为，b满足a1，315．(天津14) 已知平面向量a(2，4)，b(1，2)，若ca(ab)b，则c ．82 16．(陕西15) 关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：

①若ab=ac，则bc．②若a(1，k)，b(2，6)，a∥b，则k3． ③非零向量a和b满足|a||b||ab|，则a与ab的夹角为60． 其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）

巩固练习

1、若ABCD为正方形，E是CD的中点，且ABa,ADb，则BE= （ ）

1111A. ba B. ba C. ab D. ab

22222、已知a(1,2),b(x,1),且(a2b)//(2ab)，则x的值为 （ ）

A. 1 B. 2 C.

13 D.

12

3、△OAB中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t(ab )，t∈R，则点P在 （ ）

|a||b|A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上 C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上

4、已知点C在线段AB的延长线上，且2BCAB,BCCA,则等于

A．3

B．

13 ( )

135．（浙江16）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则|b|的取值范

C．3 D．

围是 。

6、已知向量a(2,1)，b(,1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是 （ ）

A.(12,2)(2,) B.(2,) C.(12,) D.(,12)

7、.已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10)，且A,B,C三点共线，则k=_________.

8、已知a2,b2,a与b的夹角为45，若(ba)a,则= .

6

9、若对n个向量a1,a2,,an，存在n个不全为零的实数k1，k2，„，kn，使得k1a1k2a2knan=0成立，则称向量a1,a2,,an为“线性相关”.依次规定，请你求

出一组实数k1，k2，k3的值，它能说明a1=(1,0), a2=(1,－1), a3=(2,2) “线性相关”：k1，k2，k3的值分别是 ， ， .

10、已知a(2,5),|b||a|,且a与b互相垂直，则b的坐标是 .

11、设平面内的向量OA(1,7),OB(5,1),OM(2,1),点P是直线OM上的一个动点，求当PAPB取最小值时，OP的坐标及APB的余弦值。



答案1—6 B D A D [0，1] A 7、. 8、 2 9、只要满足4:2:1即可 10、（5，2）或（-5，-2）

311、设OP(x,y). 点P在直线OM上，OP与OM共线，而OM(2,1),

 x2y0,即x2y, 有OP(2y,y).

2 PAOAOP(12y,7y),PBOBOP(52y,1y),

22 PAPB(12y)(52y)(7y)(1y)5y20y125(y2)8.  故当且仅当y2,x4时，PAPB取得最小值8，此时OP(4,2),PA(3,5),

 PB(1,1). 于是 PAPAPB cosAPBPAPB34,PB83422,PAPB(3)15(1)8 41717.

 7