河南高一高中数学月考试卷带答案解析

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

一、选择题

1.若集合A．

，则

等于_____ C．

B．

D．

2.已知函数A．

的定义域为Ａ，函数

的定义域为Ｂ，则（ ） C．

B．A∈B D．A∩B=\"B\"

3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是

A．B．

，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）

C．D．都不对

4.如图，在正方体

中，

分别为

，

，

，

的中点，则异面直线

与

所成的角等于（ ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

5.下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是

6.若两直线A．若B．若

的倾斜角分别为，则两直线的斜率：，则两直线的斜率：

，则，则

，则下列四个命题中正确的是（ ）

C．若两直线的斜率：D．若两直线的斜率：

7.设函数A．(－1，1) C．

（ ） B．(－1，＋D．

)

8.已知A．2

,则方程

的实根个数 B．3

C．4

D．5

9.经过点

、

的直线的斜率等于1，则

的值为

A．1 B．4 C．1或3 D．1或4

10.方程A．

的解所在的区间为

B．

C．

D．

11.若幂函数则的取值是

A．

C．

的图像不过原点,且关于原点对称,

B．D．

12.设①若④若A．1

为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ，，则；②若，，，，则；③若，，，，，则．其中真命题的个数是

B．2 C．3 D．4

，则

；

二、填空题

1.如图，△ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有 个直角三角形

2.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知

，若仍用这个个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（结果用分数表示）

3.方程4.若方程

的解集为______________. 有3个解，则

的取值范围是_________.

三、解答题

1.（本小题10分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

2.(本小题满分12分)

如图，正方体中， E是的中点．

（1）求证：

∥平面AEC；

（2）求与平面所成的角.

3.(本小题满分12分)

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且

CD=2AB．

（1）若AB=AD=,直线PB与CD所成角为， ①求四棱锥P－ABCD的体积； ②求二面角P－CD－B的大小；

（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明理由．

4.（本小题12分）已知函数

（1）若函数的值域为，求实数的取值范围； （2）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围。

5.（本小题12分）某公司生产一种产品每年需投入固定成本为0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投入0.25万元.经预测知，当售出这种产品百件时，若销售收入为

万元.

，则销售所得的收入为

万元：若

，则

(1)若该公司的这种产品的年产量为百件，请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年生产量的函数；

(2)当年产量为多少时，当年公司所获利润最大？

6.（本小题12分）已知

（

）.

（1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）若，用单调性定义证明函数在区间（3）是否存在实数，使得

的定义域为

上单调递减； 时，值域为

，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.

河南高一高中数学月考试卷答案及解析

一、选择题

1.若集合A．

，则

等于_____ C．

B．

D．

【答案】B

【解析】因为y=中定义域为R，因此集合M=R，而对于y=,则使得表达式有意义的x的取值范围是x

,那么集合MP={x|x}。故答案为{x|x},选B. 【考点】本题主要考查了集合的交集的运算问题。

点评：解决该试题的关键是根据指数函数的性质和偶次根式的定义可知x的取值范围，进而得到集合M,P的求解运用。

2.已知函数A．

的定义域为Ａ，函数

的定义域为Ｂ，则（ ） C．

B．A∈B D．A∩B=\"B\"

【答案】D 【解析】因为

，则集合A={x|x1}，而y=f（f(x)）的定义域即为f(x) 1，且故得到集合B，那么A∩B=B，选D.

【考点】本题主要考查了函数的定义域的求解的运用。

点评：解决该试题的关键是能利用分式函数得到集合A，同时理解复合函数的定义域的准确理解和表示，进而得到求解。

3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）

D．都不对 A．B．C．

得到

【答案】B

【解析】因为长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4,5那么可知长方体的体对角线为

，那么球的表面积为4

，选B.

【考点】本题主要考查了长方体的外接球的表面积的求解的运用。

点评：解决该试题的关键是通过三棱长得到体对角线的长度，进而得到外接球的直径，利用球的表面积公式得到结论。

4.如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与

所成的角等于（ ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

【答案】B

【解析】将EF//AB,GH// CB,那么异面直线的的所成的角即为CB，与AB的夹角。而结合正方体 性质可知，三角形AB C是等边三角形，故所成的夹角为60度，选B.

【考点】本题主要考查了空间几何体中异面直线的所成角的求解的运用。

点评：解决该试题的关键是通过平移法来得到相交直线的夹角即为所求的异面直线的所成的角的求解的问题的运用。

5.下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是

【答案】D

【解析】选项A中，由于PQ,SR都是中位线，那么延长之后可以相交，故是共面。选项B中，QR,PS的延长线，符合中位线的性质，延长后相交于一点，故是共面的四点。而选项C中，PS,QR，都平行与同一条直线，那么可知共面，排除法选D.

【考点】本题主要考查了空间中线面的位置关系的共面问题的运用。

点评：解决该试题的关键是连接直线，运用中位线的性质，以及平行四边形的性质，判定四点是否为共面，然后确定是否为异面直线，进而得到结论。

6.若两直线的倾斜角分别为，则下列四个命题中正确的是（ ） A．若B．若

，则两直线的斜率：，则两直线的斜率：

，则，则

C．若两直线的斜率：D．若两直线的斜率：

【答案】D

【解析】选项A中，因为当倾斜角为90度，则可知斜率不存在。

选项B中，如果两个倾斜角中有一个为90度，也不能满足斜率相等，故B错误。

选项C中，利用斜率的大小关系，进而得到倾斜角的不等关系，当k<0时，倾斜角为钝角，k>0，倾斜角为锐角，那么命题不成立。故C错误。选项D中，只要斜率相等，则必有倾斜角相等。故选项D成立，答案为D. 【考点】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的概念的运用。

点评：解决该试题的关键是理解一条直线有倾斜角不一定有斜率，但是有斜率必定有倾斜角，进而得到结论。 7.设函数A．(－1，1) C．

（ ） B．(－1，＋D．

)

【答案】D 【解析】因为当

>0时，则不等式等价于

>1,解得x>1,

当当 0时，则不等式等价于,解得-x>1,x<-1,那么综上可知x的取值范围是x<-1,或x>1，故选D. 【考点】本题主要考查了分段函数的不等式的求解。

点评：解决该试题的关键是对于x0的范围要分情况讨论，确定x0的解集。以及熟练的解指数不等式，和根式不等式。

8.已知,则方程的实根个数 A．2

B．3

C．4

D．5

【答案】A

【解析】因为利用指数函数图像和对数函数图像可知，作出图像函数y= 么可知其交点个数为2个，因此选A.

【考点】本题主要考查了函数与方程的思想的运用。

点评：解决该试题的关键是分离函数，转换为利用函数y= 与y= |问题。

与y= |

|，因为底数0|的图像的交点问题来得到实根的个数

9.经过点A．1

、

的直线的斜率等于1，则B．4

的值为 C．1或3

D．1或4

【答案】A

【解析】因为根据题意可知，M(-2，m)，N（m，4）,由于斜率为1，那么可知

，故m的值为1，

选A.

【考点】本题主要考查了直线的斜率的求解运用。

点评：解决该试题的关键是根据两点坐标，结合斜率公式得到参数m的值。注意公式的准确运用。 10.方程A．

的解所在的区间为

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因为方程的解的问题，可以转化为图像y=lgx与y= 通过求解函数

，

的图像的交点，结合图像可知交点的范围。也可以

，可知解的区间为（2,3）选C.

【考点】本题主要考查了函数与方程的思想的运用，零点的概念问题。

点评：解决该试题的关键是利用分离函数的思想，将方程的解的问题，转化为图像y=lgx与y= 横坐标的范围即可。

11.若幂函数则的取值是

A．

C．

的图像的交点的

的图像不过原点,且关于原点对称,

B．D．

【答案】A

【解析】因为幂函数当当

时，则

图像不过原点，故

，显然过原点，不符合题意舍去。

，图像不过原点,且关于原点对称,故符合题意，选A.

【考点】本题主要考查了幂函数的图像的性质的运用。

点评：解决该试题的关键是准确运用幂函数的定义，保证x的系数为1，得到m的值，进而分类讨论得到参数m的值。

12.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，，则；③若，，则； ④若，，，，则．其中真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】命题1中，垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能相交。命题2中，只有m,n相交时，则能推出面面平行。命题3中，根据面面平行的性质定理，其中一个平面的任何一条直线都平行于另一个平面。命题4中，三个平面两两相交，且交线平行，可知成立。选B.

【考点】本题主要考查了立体几何中点、线、面的位置关系的运用。

点评：解决该试题的关键是熟练的运用面面平行的判定定理和性质定理和线面平行的性质定理和判定定理的综合运用问题。

二、填空题

1.如图，△ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有 个直角三角形

【答案】.4

【解析】利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC⊥平面PAC问题就迎刃而解了．由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90° 所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形， 所以图有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB． 故答案为：4

【考点】本题主要考查了三棱锥中三角形的形状的确定。

点评：空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．

2.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知

，若仍用这个个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（结果用分数表示）

【答案】

【解析】如上图所示，过DE作与底面ABC平行的截面DEM，则M为SC的中点，F为SM的中点．过F作 与底面ABC平行的截面FNP，则N，P分别为SD，SE的中点． 设三棱锥S-ABC的体积为V，高为H，S-DEM的体积为V1，高为h，则体积与三棱锥S-DEM的体积的比是1：2（高的比），∴三棱锥F-DEM的体积V1=

∴最多可盛水的容积=

+,故填写

=。

三棱锥F-DEM的

,三棱台DEM-ABC的体积=V-

故最多所盛水的体积是原来的

【考点】本题主要考查了棱柱，棱锥，棱台的体积的求法。

点评：解题的关键是掌握相应的体积公式及几何体的结构，将求不规则几何体的体积变为求几个规则的几何体的体积，分割法求体积是求不规则几何体体积时常用的技巧。

3.方程的解集为______________. 【答案】

【解析】因为4x-3•2x+1+8=0 ⇔（2x）2-6×2x+8=0 ⇔（2x-2）（2x-4）=0 ⇔2x=2或2x=4 即x=1或x=2 故答案为{1，2}

【考点】本题主要考查了方程的解集的求解运用。因式分解法解方程的技巧，简单指数方程的解法，转化化归的思想方法。

点评：解决该试题的关键是恰当的进行因式分解，将2x作为整体，将原方程化简为关于2x为变量的一元二次方程的形式来求解得到。

4.若方程有3个解，则的取值范围是_________. 【答案】

【解析】作函数y=|x|•（x-4）的图象，如图．

由图象知直线y=0和y=-4与y=|x|•（x-4）的图象有二个交点， 当-4＜m＜0时，有3个交点． 故答案为：（-4，0）．

【考点】本题主要考查了学生会根据解析式作出相应的函数图象，会根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的

个数．注意利用数形结合的数学思想解决实际问题．

点评：解决该试题的关键是将方程解的问题转换为直线与函数图象交点的个数，运用数形结合是思想来完成。

三、解答题

1.（本小题10分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

【答案】（1）

（２）所求多面体的体积

。

【解析】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，利用转化思想V=V长方体-V正三棱锥，求该多面体的体积； 解：

（２）所求多面体的体积

【考点】本题主要考查了长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识，对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据．三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视．

点评：解决该试题的关键是能通过三视图还原几何体，，并结合三视图的数据来翻译到几何体中数据，这也是一个难点。

2.(本小题满分12分)

如图，正方体中， E是的中点．

（1）求证：（2）求

∥平面AEC；

所成的角.

与平面

【答案】（1）证明：见解析；（2）直线与平面所成的角为.

【解析】 （1）作AC的中点F，连接EF，则根据三角形的中位线证明线线平行，进而得到线面平行的证明。 （2）要利用线面垂直为前提得到斜线的射影，进而得到线面角的大小。 解：（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结EO. 因为E、O分别是与的中点， 所以OE∥所以

.

不在平面AEC内， 中，

又因为OE在平面AEC内，

∥平面AEC.

（2）因为正方体

⊥平面ABCD，所以⊥BD， 又正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以BD⊥平面所以∠

是

， 与平面

中，

， 所成的角.

，

设正方体棱长为a，所以

，所以

所以直线与平面所成的角为.

【考点】本题主要考查了考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定，面面垂直的判定，体现了数形结合的数学思想。

点评：解决该试题的关键是熟练运用线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理得到线面角的大小，进而求解到。

3.(本小题满分12分)

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且

CD=2AB．

（1）若AB=AD=,直线PB与CD所成角为， ①求四棱锥P－ABCD的体积； ②求二面角P－CD－B的大小；

（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明理由． 【答案】（1）(1)VP－ABCD=·PA·SABCD=

a3．(2)二面角P－CD－B为450．

(2) 当点E在线段PC上，且满足PE ：EC=\"2\" ：1时，平面EBD垂直于平面ABCD．见解析。 【解析】

(1)∵AB∥CD，∴∠PBA是PB与CD所成角， 从而可以得到VP－ABCD=·PA·SABCD=

a3，又因为 ∵AB⊥AD，CD∥AB∴CD⊥AD

又PA⊥底面ABCD∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角，进而解得。

(2) 当点E在线段PC上，且满足PE ：EC=\"2\" ：1时，平面EBD垂直于平面ABCD． 结合猜想，运用面面垂直判定定理得到。

（1）∵AB∥CD，∴∠PBA是PB与CD所成角， 即∠PBA=450 ，∴在直角△PAB中，PA=AB=a (1)VP－ABCD=·PA·SABCD=

a3．

(2)∵AB⊥AD，CD∥AB ∴CD⊥AD

又PA⊥底面ABCD ∴PA⊥CD

∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PD

∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角 在直角△PDA中,∵PA=AD=a ∴∠PDA=450

即二面角P－CD－B为450．

(2) 当点E在线段PC上，且满足PE ：EC=\"2\" ：1时，平面EBD垂直于平面ABCD． 理由如下：连AC、BD交于O点，连EO. 由△AOB∽△COD，且CD=2AB ∴CO=2AO

∴PE:EC=\"AO:CO\" =1:2 ∴PA∥EO

∵PA⊥底面ABCD， ∴EO⊥底面ABCD. 又EO在平面EBD内，

∴平面EBD垂直于平面ABCD

【考点】本题主要考查了空间中体积和二面角的求解，以及面面垂直的证明的综合运用。

点评：解决该试题的关键熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，结合有关定理进行证明即可，并且也有利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离等问题．

4.（本小题12分）已知函数 （1）若函数（2）当

的值域为时，函数

，求实数的取值范围；

恒有意义，求实数的取值范围。

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）对数函数的值域为R，意味着真数可以取遍一切正实数，故内层二次函数应与x轴有交点，即△≥0，解得a的范围；

（2）函数f（x）恒有意义，即真数大于零恒成立，利用参变分离法解决此恒成立问题即可得a的取值范围 解：（1）令，由题设知需取遍内任意值，所以解得

，由于

（2）即

对一切

对一切恒成立 ，

所以

，当

时，

取得最小值为

，所以

恒成立且

【考点】本题主要考查了对数复合函数的定义域和值域，已知函数的值域求参数的范围，已知函数的定义域求参数范围，转化化归的思想方法。

点评：解决该试题的关键是能将不等式的恒成立问题，转换为函数的最值问题，运用分离参数 三四箱来得到参数a的取值范围。

5.（本小题12分）某公司生产一种产品每年需投入固定成本为0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投入0.25万元.经预测知，当售出这种产品百件时，若销售收入为

万元.

，则销售所得的收入为

万元：若

，则

(1)若该公司的这种产品的年产量为百件，请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年生产量的函数；

(2)当年产量为多少时，当年公司所获利润最大？ 【答案】（1）

（2）当年产量为4.75（百件）时，当年公司所得利润最大，最大为10.78125万元.

【解析】（1）分类讨论：①当0≤x≤5时，②当x＞5时，分别写出函数f（x）的表达式，最后利用分段函数的形式写出所求函数解析式即可；

（2）分别求出当0≤x≤5时，及当x＞5时，f（x）的最大值，最后综上所述，当x为多少时，f（x）有最大值，即当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润． 解：（1）当时，= 当

时，

（2）当当

时，

时，=

=

当时，

当年产量为4.75（百件）时，当年公司所得利润最大，最大为10.78125万元. 【考点】本题主要考查了分段函数，以及函数与方程的思想，属于基础题．．

点评：解决该试题的关键是函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值。

6.（本小题12分）已知

（

）.

（1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）若，用单调性定义证明函数在区间（3）是否存在实数，使得

的定义域为

上单调递减； 时，值域为

，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由. 【答案】（1）奇函数.（2）函数在区间上单调递减. （3）满足题目条件的实数存在，实数的取值范围是

.

【解析】（1）根据对数函数的真数大于0建立不等式，解之即可求出函数的定义域，判定是否对称，然后根据函数奇偶性的定义进行判定即可；

（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，然后比较真数的大小，从而得到f（x1）与f（x2）的大小，最后根据单调性的定义进行判定即可；

（3）假设存在实数a满足题目条件，然后根据函数在区间[m，n]上单调性建立等式关系，然后转化成方程x2+（1-a）x+a=0在区间（1，+∞）上有两个不同的实根，从而可求出a的取值范围． 解：（1）由所以，函数又为奇函数. （2）任取因为所以

，又因为得：的定义域为

或

.

.

，且，则 ，所以

.

，

上单调递减.

，

，

.

在区间

上单调递减.

上单减.所以，函数

故,所以，函数在区间（3）假设存在实数满足题目条件. 由题意得：，又又

故，由（2）得：函数

，在区间

故，，所以，

所以是方程故，方程

，

的两个不同的实根. 在区间

上有两个不同的实根.

则，解得：.又，

所以，所以，满足题目条件的实数存在，实数的取值范围是.

【考点】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及单调性的判定和奇偶性与单调性的综合应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．

点评：解决该试题的关键是对于方程在某个区间上方有几个不同的实数根的问题，常常转化为分析参数来求解其范围。