相似三角形的存在性问题

解题思路

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

（1）判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程， （2）应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等

例题解析

【例1】 如图，直线y=－x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2，

（1）求抛物线解析式； （2）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

【例2】 如图，直线yx3与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线yax2bxc与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan∠CBO=3.

(1) 求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标；

(2) 若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标.

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【例3】 直线l:y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C是x轴上一动点，点D为（3，0），抛物线yax2bxc过B、C、D三点.

（1）如图1所示，若点C与点A关于y轴对称.

①求直线BD和抛物线的解析式；

②若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标；

24【例4】 如图，直线yxc与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，抛物线yx2bxc经

33图1

过点A，B.

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；

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【例5】. 二次函数yax2bxc的图像经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．把过点A、C的直线绕点A旋转，旋转过程中记作直线l，l与抛物线教于点P， （1）求抛物线的解析式．

（2）如图当点p是抛物线的顶点时，过p作PH⊥AB于H,若点Q在对称轴右侧抛物线上，过点Q作QM⊥AP于M, △PQM与△APH相似，求点Q的坐标，

【例6】．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（

，0）和点B，交y轴于点C（0，4），一次

函数y＝kx+m的图象经过点B，C，点P是抛物线上第二象限内一点． （1）求二次函数和一次函数的表达式；

（2）过点P作x轴的平行线交BC于点D，作BC的垂线PM交BC于点M，设点P的横坐标为t，△PDM的周长为l．求△PDM的周长的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，连接PC，是否存在点P，使得以P，M，C为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

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