行列式

第二章 行列式

主要内容、结构、体系

行列式是讨论线性方程组理论的有力工具.行列式理论不仅是线性代数的重要内容之一，而且在许多数学分支及其它学科中都有着广泛的应用.

本章主要有三部分内容.

第一部分内容是n级行列式的定义（§1－§4）.

§1指出行列式概念的产生是解线性方程组的需要；§2给出排列的定义和性质，为定义n级行列式作准备；§3给出了n级行列式的定义.

第二部分内容是n级行列式的性质与一些最基本的计算方法（§4－§6；§8）.

§6和§8中证明的行列式按一行（列）展开的定理及其推广——拉普拉斯定理，不仅可以用来降级计算行列式，而且在理论上也是重要的.

第三部分内容是Cramer法则（§7）.

§7以行列式为工具，对一类特殊的n元线性方程组的求解问题作出了回答，这就是著名的克兰姆法则.它还可以作为讨论一般线性方程组的基础.

知识点分类（必会、掌握、了解）

理解排列的奇偶性、行列式、代数余子式、矩阵的初等变换等概念及基本性质，掌握行列式的性质和依行(列)展开定理，会用行列式的定义、性质和依行(列)展开定理计算一些行列式，理解并能运用克拉默(Cramer)法则.了解拉普拉斯（Laplace）定理，行列式的乘法规则.

难点疑点

重点内容是行列式的定义、性质和依行(列)展开定理，难点是行列式的定义和行列式的计算.

主要方法

计算行列式的主要方法有：定义法，化为三角形行列式的方法，化为范得蒙行列式的方法，拆行(列)法，降级（阶）法，加边法，数学归纳法，递推法，因式分解法等.在具体行列式的计算中，可以几种方法并用.

1．定义法

00a10000a20000an10例1．计算行列式 D0an 的值.

解：根据定义，D等于n!项的代数和.然而在这个行列式里，除了a1a2an这一项外，其余各项均为0，与其对应的排列为23n1，故 D(1)n1a1an.

2．化三角形法

01101n1n2n32100n1n2n3例2．计算Dn2的值.

解: 将第n-1行的1倍加到第n行，…，将第2行的1倍加到第1行，得

01Dn1111112n1111111

再将第n列加到每一列，得

n10Dn00n200n1120n1111(1)n1n22(n1)

xa1a1xa2a2a2a2xa3anananx例3．计算Dn1a1a1的值.

解: 将第n列加到第1列，…，将第2列加到第1列，得

1na1xa2a2a2a2xa3anananx1iDn1(xa)i111

再将第1列的(a1)倍加到第2列，…，将第1列的(an)倍

加到第n＋1列，得

1n0xa1a2a1a2a100xa2a3a2000xan1iDn1(xa)i111

(xai)(xai)

i1i1nn3．化为范得蒙行列式的方法

1x1211x2x2221xnx2n例4．求Dnxxn21n1xn2n2xn2nnn的值.

xxx解：考察n1阶范德蒙行列式

1x1f(x)x211x2x2221xnx2n1xx2xn11n1xn1n2xn1nnnxxn1n(xx1)(xx2)(xxn)1jin(xixj)xxx显然D就是行列式f(x)中元素xn1的余子式Mn.n1，即

DnMn,n1An,n1 （An,n1为代数余子式）

又由f(x)的表达式（及根与系数的关系）知，f(x)中xn1的系数

为(x1x2xn)1jin(xixj) (xixj)即 An,n1(x1x2xn)所以 Dn(x1x2xn)1111jin

1jin(xixj). 1x2n2例5．求Dnx2x2xn1xn2xnn的值.

解：考虑n1级范德蒙行列式

1x1g(x)x211x2x22211xnx2nxx2xn11n1xn1n2xn1nnnxxn1n

xxx(xx1)(xx2)(xxn)1jin(xixj)

显然Dn就是行列式g(x)中元素的余子式M2,n1，即

DnM2,n1(1)n3A2,n1，

由f(x)的表达式知，x的系数为

(x2x3xnx1x2xnx1x2xn1)1jin(xixj)

即

A2,n1f(x)x(x2x3xnx1x2xnx1x2xn1)1jin(xixj)所以

Dn(1)(x2x3xnx1x2xnx1x2xn)n1jin(xixj)

例6． 计算行列式

1x1Dnx1x1x121x2x221xnxn2n2nx2x2n2xnn2n 的值.

nxn解 ： 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式

1x1x1x211xnxnx21yy2x2x2x2P(y)n21n1nn22n1n2nn1nyyn2n1n

x1x1x2x2nxnxnyn= (yxi)i1(x1jinixj)

易知Dn等于P(y)中yn1 的系数的相反数,而P(y)中yn1 的系数为k1nxkDn(xixj) ,因此,

1jinnk1xk(xixj) .

1jin4. 拆行(列)法（主对角线上，下元素相同）

ax1aax2aaax2a0x20aaaaaaaaaxnax1aax2aaaa00xn例7．求Dnaa的值.

ax1000解：Dnaax1aa

00xnDn1

x1x2xn1axnDn1 Dn1x1x2xn2axn1Dn2x1x2xn3axn2Dn3.

继续下去，可得

Dnx1xn1ax1x2xn2axnx1x2xn3axn1x1x2ax4xnxnxn1x3D2. （D2ax1ax2x1x2）

x1x2xna(x1x2xn1x1x2xn2xnx1x3xnx2x3xn)n

当x1x2xn0时,Dnx1x2xn(1ai11xi)

1）也可以用加边法做：

1aa1aDx1an0a1x1aaaxn1n1a1i1xai当xi0时,i1,2n0x10abbbcabb例8．求Dnccab的值. cccacbbbacbcabb0a解：Dnccab0cccca0c1bbb1abbc1cab(ac)Dn1

1ccanaa，

xnaa xnbbbbab ca10c00c(ab)babcbcbn1b0abcbb00abn(ac)Dn1(ac)Dn1

①

abccc0acc0bac0bbabc又Dncc1cbcc1accn1bacc1bacbbac1bbbbab(ab)Dn1 ab(ac)(ab)Dn1

②

nn①（ab）-②(ac)，得 (cb)Dnc(ab)b(ac)．

当cb时，Dn[c(ab)b(ac)]/cb当cb时，Dn[a(n1)b](ab)n1nn

5. 降级法 例9． 计算行列式

0D00000000.

000解：行列式按第一列展开，得 Dn(1)n1n1.

6. 加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同的行列式）

a1a1a2a2b2a2a2a2a2b2a2a1a1anananbnananananbnn1例10．求Dna1a1,b1b2bn0的值.

10a1a1b1解：Dn00

1rir1(i2,3n1)111na1b100aibia20b20a1b10an00 bnann1ci1bii1c1(i1,2n1)000b1b2bn(1bni1aibi).

0a1a20ana2a1ana2an0,a1a2an0的值.

a2a1ana1例11．求Dn

1a1a2an00a1a2a1anDn0a1a20a2an0ana1ana20n11a1a2anrra1a1a1i1(i2,3n1)11a2a2a

21ananann11000001a1a2ana11a1a1a1a21a2a2a2an1ananann21011101a1a2ana112a100cic1(i3,4n2)a2102a20an1002ann21n1122a1i11nc1ci(i3,4n2)2a11i2a002ac122acj(j1,2n)1j0000001a202a201an002an

112n2ai121ain2n2(2)a1ann

1(2)n2a1a2an[(n2)i,j1aiaj].

a11a1a22ana1a2ann例12．求Da2an，其中(i0,i1,2,,n)的值.

解：在原来行列式的基础上加一行一列，得

1a1Da2an0a11a2an0a1a22an0a1a2ann

将第1列的（－1）倍加到其它各列，得

1a1Da2an110110010020（爪形行列式）

n将第i+1行的(ni)倍加到第1行（i1,2,,n），得

1i1aii000000Da1a2an100n20

n12n1

i1iai

7. 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法） 例13．（用数学归纳法）证明：

1a1Dn1111a21111ana1a2an(11ai).

证明：当n1时，D11a1a1(11a1)，结论成立．

k假设nk时结论成立，即Dka1a2an(1i11ai)，对nk1，

将Dk1按最后一列拆开，得

1a11Dk111a11111a2111111a21111ak10011111ak111111a111111a21111111ak10000ak10ak1Dka1a2akak1Dk01ka1a2akak1a1a2ak(1i11aik)a1a2ak1(1i11ai)

所以nk1时结论成立，故原命题得证．

cos112cos02cos1012coscosn

例14．证明：Dn证： n1时，D1cos.，结论成立． 假设nk时，结论成立．

当nk1时，Dk1按第k1行展开得

cos1Dk12cosDk(1)k1k12cos02cos1012cos2cosDkDk1由归纳假设

Dk12coscoskcos(k1)2coscoskcosk

2coscoskcoskcossinksincoskcossinksincos(k1)

于是nk1时结论亦成立，原命题得证．

8. 递推公式法：利用已给行列式的特点，建立起同类型的n级行列式和n1级或更低级行列式之间的关系式，称为递推公式.

例15． 计算行列式

1Dn000100000000000的值.

1解：将行列式按第n列展开,有

Dn()Dn1Dn2,

DnDn1(Dn1Dn2),DnDn1(Dn1Dn2),得

DnDn1(Dn2Dn3)2n2(D2D1)n.

同理得

DnDn1n,

(n1)n,;Dnn1n1

,.例16． 计算

ayDnyyxayyxxayxxx的值. aay0xayy11xxayxxxa0axyxyxyyyyxayy00axyxxxayxxxa000ax解：Dn00

(ay)Dn1y11

(ay)Dn1y(ax)n1

同理

Dn(ax)Dn1x(ay)n1

联立解得

Dnx(ay）y(ax)xynn,(xy)

当xy时,

Dn(ax)Dn1x(ax)(ax)Dn22x(ax)(ax)(ax)n2n12n1n1.

D2(n2)x(ax)n1a(n1)x9. 因式分解法

如果行列式D是某个变数x的多项式f(x)，可对行列式施行某些初等变换，求出f(x)的互不相同的一次因式，设这些一次因

式的乘积为g(x)，则Df(x)cg(x)，再比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出c值.

例17． 计算行列式

11Dn112x12233x33nnnx1.

解: 注意到x1时，Dn0, 所以，x1|Dn.

同理x2,,x(n1)均为Dn的因式 又xi与xj(ij)各不相同 所以 (x1)(x2)(xn1)|Dn 但Dn的展开式中最高次项xn1的系数为1， 所以Dn(x1)(x2)(xn1)

注：此题也可将各行减去第一行化为三角形行列式计算.

112x33222113359x2例18．计算D122的值.

解：由行列式定义知D为x的4次多项式．

又当x1时，1，2行相同，有D0，x1为D的根． 当x2时，3，4行相同，有D0,x2为D的根． 故D有4个一次因式，x1,x1,x2,x2.

设 Da(x1)(x1)(x2)(x2)

112331122593312，

令x0,则 D122即 a1(1)2(2)12 ， 所以a3， 所以 D3(x1)(x1)(x2)(x2).

经典例题分析

例19．求n级排列n(n1)321及12(n1)n的逆序数 解：(n(n1)321)(n1)(n2)21(123n)0

n(n1)2

例20．爪形行列式

a1Dnc2cnb2a2anc2a2bn，其中ai0,i2,3,,n.

解：将第2列的得

n倍，…，第n列的cnan倍依次加到第1列，

a1Dnj2bjcjajb2a2bn00ana2ana1nj2bjcj aj

a1xxa2xxxxan1xxxxan例21．计算Dnxx.

解： 将第1行的（－1）倍加到其它各行，得到爪形行列式

a1xa1Dnxa1xa1xa2x00x0an1x0x00anx

再将第i列乘以

a1a1xn1aix，得

xxan1x010xanx001a2x100Dni1(aix)111

再将各列加到第1列，得

n1ni1xaix0xa2x100xan1x010xanx001Dn(ai1ix)00

 1ni1aixxn(ai1ix).

例22．（滑梯形行列式）

a0c1b1a1bn2bn1计算Dnan2cn1an1的值.

解：将第n列的

cn1an1倍加到第n-1列，…，将第2列的

c1a1倍加

到第1列，依次将cn1,,c1化为0，可将它化为三角形行列式，得

Dna0a1an1c1b1a2an1c1c2b2a3an1c1cn1bn1

例23．（三对角形行列式）

945940059094000的值. 59求Dn000解：

5按c1展开49Dn140954)059n1Dn9Dn120Dn2,

即有 Dn5Dn14(Dn15Dn 2于是有

Dn5Dn14D(Dn5n2(6145)

n2)3n2D42D(n15)4同理有

Dn4Dn15(Dn24Dn3)52n2(D24D1)5n2(6136)5n即

nDn5Dn14n1n1Dn54 nDn4Dn15注：先将行列式表示为两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D的值.

ab1abab1000abab00000ab1000abab例24．求Dn000的值.

解：

Dn按c1展开(ab)Dn1abDn2DnaDn1b(Dn1aDn2)bn2(D2aD1)同理 DnbDn1a(Dn1bDn2)an2(D2bD1). 而 D2a2abb2,D1ab

所以DnaDn1bn2(a2abb2a2ab)bn;DnbDn1an2

(aabbaab)a222n .

an1bn1 由以上两式解得Dnab(n1)anabab.

例25．（循环行列式）

1n214332nn121求Dn32的值.

解：将第n-1行的1倍加到第n行，…，第1行的1倍加到

第2行，得

1n1Dn112n111n1n1111

11再将各列加到第1列，得

n(n1)2Dn0002n111n1n111111n11111n(n1)n121

11再将最后1列加到前面各列，得

0Dnn(n1)n2000n111n(n1)2nn2(1)n1

例26．（所有行（列）对应元素相加后相等的行列式）

abbbbba各列加到第1列 计算Dnbaba的值。

abaa(n1)ba(n1)ba(n1)bbabbba解：Dnbb

1a(n1)b11babbba

1第1行的(－1)倍0babb0(ab)n1a(n1)b

加到其它各行00ab

例27．计算

123n1n234n1Dn的值。

n1n1n3n2n12n2n2123n1n123234n1各列加134n(n1)n1n1n3n2到第1列21n1n12n2n2112[n(n1)(1)][(n1)(n2)(1)]123n1n[21(1)]n(n1)01111n2011n1101n1111111nn(n1)211n11

1n111n1nn1n3n2n2n1110nnn0n201n1nn0

[i(i1)(1)](in,,2)n(n1)02n0n0nn2

n(n1)2(1)1(n1)(1)nn(n1)22(1)n1(1)(n2)(n1)321(n)

n(n1)(1)(n1)n2n1.

例28．解线性方程组

x1x2x3x45x12x2x34x42  .

2x3xx5x223413xx2x11x02341解：方程组的系数行列式

1D12312311112145111420，D152201231111214511142

D2284，D3426，D4142

所以由Cramer法则得方程组有唯一解（1，2，3，－1）.

练习题（基本题，提高题，考研题）

1． 2431是一个 级排列，45213是一个 级排列． 2． 312为 排列，12345为 排列. 3．写出所有的3级排列 . 4．所有不同的n级排列共有 个．

5． (312) ，逆序有：

(312) ，逆序有： 6．若排列1274i56k9是偶排列，则i ，k . 7．已知a1ia32a4ka24是四级行列式中的一项，且带负号，则

i ，k . 8．四阶行列式Daija11a12a22an244中,含a24且带负号的项为_____.

a1nd.则

a2nanna12a22an2a11a21an1_____.

a1na2nann9．设

a21an111111x的展开式中,x的系数是_____. 110．行列式1111．设Mij,Aij分别是行列式D中元素aij的余子式,代数余子式,则Mi,i1Ai,i1_____.

12．求下列排列的逆序数． （1） 135(2n1)(2n)(2n2)42

（2） (2n)1(2n1)2(2n2)3(n1)n 13．利用行列式的定义计算下列行列式：

00005682020005910104004000（1）

0307

（2）

300

000020a2b2c2d2e2000a0bg023411234a0000a3b30000a00e00d41231410200n100a4b4000a5b5000n000（3）01a1b1

（4）

c1d1e11

（5）

111a

0fc0341213610（6）

00h1

（7）

2341

（8）

111

14916259162536162539（9）

4916

1238142737213124327443621142514．

250

24615．1014342

a0xa0000xa0000xa0000xa16．

00x

00000200100017． 0n

n10

001000020000n1018． 0n

0002001000000n19．



n10

a2abab1b220．

2a12b1

452121．

2121

11x11x11111y11111y22．

a111

bab2ab3abcabc3a2bc6a3bcdabcd4a3b2cd10a6b3cd23．

aaa

x1x2x3024．问取何值时，齐次线性方程组x1x2x30xxx0231有非零解？

提高题

a11a11a2a3a411a1111aa(n1)ana1ana1a21．11

a1a22．

a3

ana1a(n2)a(n1)

a211a1a2a1an3．

a2a1a221a2an

ana1ana2a2n1

xyz4．Dx2y2z2.

yzxzxy

5．计算行列式

1a11111a21Dn111a3111

111.

1anx1a1a2x2a2a2a3a3x3a3anananxn6．Dna1a1，其中xiai,i1,2,,n.

72572005700050000200077．Dn00

21121000121000121000128．D5000

1a11000a21a2000001an11000an1an11a19．Dn1000＝1

1n21n4332154n1n2n31nnn1n22110．Dn(n1)32

1121203020n100n1n00(n1)11．Dn00

15x16x2x5x26x30112．解线性方程组x25x36x40x35x46x50x45x51.

a2222(a1)(b1)(c1)(d1)2222(a2)(b2)(c2)(d2)2222(a3)(b3)(c3)(d3)222213．证明:

bcd0

a000a00b000ab0000ba000b00a0b0000a14.D2n00b（2n阶）＝(a2b)2n

01101n2210n3321n4n1n2n3015.

2n1

考研题

1a11000a21a21000a31a3000001an11000an1an1.

x2x12x13x24x3x22x24x55x7x32x33xx32． 记行列式

2x23x34x为

f(x)，则方程f(x)0的根的个数为多少？

1111x1112071131112x11119111(n1)x03．解关于x的方程

111.

4．已知行列式D

x01x0an1223，试计算D.

2010an200xa2001a1x5．Dn0an

a11a12a22an2a1na2nann6．设有行列式Da21an1，D中的元素a都是实数，

ij且至少有一个不等于零.证明：如果D的每个元素都等于它自己的代数余子式，那么D1.

n2a11a12a22an2a1na2nannA11A12A22An2A1nA2nAnn7．设n1， Da21an1，A21An1，其中

Aij是

D中元素a的代数余子式，证明：ijDn1.

a1112a12a22an212a1na2nann128．证明：Da21an10，其中所有的a都是

ij整数.

0a0cbbc0acba009．设a,b,c是三角形的三条边，证明：

10．若整系数的线性方程组：aijxjabc.

bi(i1,2,,n)对于任意整

数b1,b2,,bn都有整数解，则这个方程组的系数行列式D1.

11．设a1,a2,,an是n个互不相同的数，b1,b2,,bn是任意n个给定的数，证明：存在唯一的一个次数小于n的多项式

f(ai)bi(i1,2,,n).

f(x)，使

12． 证明：含有n个未知量n+1个方程组的线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1an1x1an2x2annxnbnan11x1an12x2an1nxnbn1a11Dan1an11a12an2an12a1nannan1nb1bnbn1如果有解，那么行列式

0.