安徽省“皖南八校”2018届高三第三次(4月)联考数学(理)试题(解析版)

“皖南八校”2018届高三第三次联考

理数学卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A.

B.

C.

D.

，则

（ ）

【答案】A

【解析】分析：通过指数函数的值域，求得集合，解一元二次不等式求得集合，然后根据集合的交集运算求得

. 详解：因为选A.

点睛：该题属于集合的运算问题，在解题的过程中，要熟记指数函数的性质以及一元二次不等式的解法，从而求得结果. 2. 复数A.

B.

为纯虚数（为虚数单位），其中

C. D.

，则

的实部为（ ）

，所以

，所以

，因为

，所以

，即

，所以

，故

【答案】C

【解析】分析：由纯虚数的概念，可得得所求值. 详解：根据

以其实部是，故选C.

点睛：解决该题的关键是要掌握复数的除法运算法则，前提是得需要求得的值，这就要求必须掌握纯虚数的概念. 3. 在区间

上随机地取一个数，若满足

的概率为，则的值等于（ ）

为纯虚数，可得

，解得

，则

，所

，从而求得

，代入待求量，利用复数的除法运算法则，即可

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】分析：利用区间详解：当

时，解不等式

的长度为，可解得

，满足的概率为，即可得到参数.

上区间长度为

，在区

，以长度为测度，则在区间

间上，所以区间长度为，满足在区间上随机地取一个数，若满足的概率为，故选C.

点睛：该题属于长度型几何概型，解决该题的关键是要明确整体的几何度量以及满足条件的几何度量，之后可以求得的值. 4. 已知非零向量A.

B.

，满足

D.

，且

，则 与的夹角为（ ）

C.

【答案】B

【解析】分析：设与的夹角为，根据向量的数量积的运算，即可求出结果. 详解：设 与的夹角为，因为即

，即

，因为

，，所以

，所以

，故选B.

，

点睛：结果该题的关键是应用向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解. 5. 定义某种运算

的运算原理如右边的流程图所示，则

（ ）

A. B. C. D. 【答案】A

【解析】分析：该题属于新定义运算，在程序框图中，将题中所给的果即可.

详解：根据题中所给的程序框图，可以得到故选A.

点睛：该题属于利用程序框图求解新定义运算问题，关键是看清方向，找准目标，求得正确结果.

，

，又

，可知答案为3，

比较大小，根据条件，找准方向，求出结

6. 中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面

积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析：该题属于已知几何体的三视图，，求其外接球的表面积问题，把三棱柱补成长方体，则长方体的对角线长等于外接球的直径，从而求得结果.

详解：由已知可得该“堑堵”是一个半个长方体的直三棱柱，且长宽高分别是长方体的外接球，而长方体的对角线是

，故选B.

点睛：解决该题的关键是将根据三视图将几何体还原，从而得到该几何体是半个长方体的三棱柱，利用长方体的外接球的特征求得结果.

，该几何体的外接球就是对应的

，所以其外接球的半径为1，所以其外接球的表面积为

7. 已知函数A.

B.

，若 C.

满足 D.

，则的取值范围是（ ）

【答案】C

【解析】分析：由已知条件可得，函数

是定义在

上的奇函数，从而将题中的条件转化为关于

的二元一次

不等式组，画出相应的可行域，之后结合目标函数的几何意义，确定最优解的位置，从而求得范围. 详解：根据题中所给的函数解析式，可知函数

是定义在

上的奇函数，从而

可以转化为

，并且，可以判断出函数在定义域上是减函数，从而有，根据约束条件，

画出对应的可行域，根据目标函数的几何意义，可知在点取不到，故答案是

，故选C.

处取得最小值，在点处取得最大值，而边界值

点睛：该题属于利用题的条件，求得约束条件，确定可行域，结合目标函数是分式形式的，属于斜率型的，结合图形，求得结果. 8. 若函数

的部分图象如图所示，则

的单调递减区间是（ ）

A. C. 【答案】D

B. D.

【解析】分析：该题属于利用题中的条件，确定出函数解析式，之后结合正弦函数的单调减区间，利用整体思维得到所满足的条件，最后求得结果，确定出函数的单调减区间，即正弦型函数的解题思路. 详解：根据题中所给的函数图像，可以求得从而求得

，令，故选D.

点睛：解决该题的关键是利用题中所给的图像中找关键点，最值点的纵坐标求得，利用最高点与平衡位置的横坐标确定出函数的周期，确定出的值，利用最高点的坐标求得的值，最后利用正弦型函数的单调区间的求法求得结果. 9. 函数

在区间

上的零点个数为（ ）

，

，解得

，可以求得

，所以

，利用最高点可以求得

，

，所以函数则的单调递减区间是

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B

【解析】分析：令函数值为，构建方程，即可求出在区间上的零点个数. 详解：由题意可知

或

，又

，所以

，当

时，

上的解，从而可得函数

在区间

，在相应的范围内，只有三个值可取，所以总共有4个零点，故选B.

点睛：该题属于确定函数零点个数的问题，在解题的过程中，首先令函数值为，构建方程，尤其需要注意的是

在

10. 删去正整数数列A.

B.

C.

上解的个数，不要漏解.

中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第201是（ ） D.

【答案】B

【解析】分析：由于数列掉平方数后第

应在

共有

项，去掉个平方数后，还剩余

项，从而求得结果.

个平方数之间有个正整数，而个数，所以去掉平方数后第

项，所以去

后的第个数，即是原来数列的第

详解：由题意可得，这些数可以写为：数列项应在

共有

，第个平方数与第

项，去掉个平方数后，还剩余

项，即为

，故选B.

后的第个数，即是原来数列的第

点睛：解决该题的关键是找出第项的大概位置，所以数列共有项这个条件非常关键，

只要弄明白去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解. 11. 已知

分别是双曲线

的左右焦点，过的直线 与双曲线左右两支分别交于

两点，若

是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 【答案】B

【解析】分析：根据双曲线的定义，算出在三角形理算出

中，

，利用余弦定

C.

D.

，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率.

，又因为

，所以

，又因为

，所以

，从而可得

，即

，

详解：如图，依题意可得即在三角形

中，

，由余弦定理，可得

，故选B.

点睛：这是一道求双曲线离心率的题目，解题的关键是掌握双曲线的定义及性质，在解三角形的过程中，也可以放在12. 若A.

中利用余弦定理解决，此时应用均为任意实数，且 B.

C.

D.

，则

即可得结果.

的最小值为（ ）

【答案】D

【解析】分析：该题可以看做是圆上的动点到曲线

上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到

曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线

在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 详解：由题意可得，其结果应为曲线可以求曲线的切线的斜率为足条件，其到圆心

上的点与圆心

，从而有

的距离为

上的点与以

为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，

上取一点

，曲线有，解得

在点M处，所以点

满

的距离的最小值，在曲线，即

，整理得

，故其结果为，故选D.

点睛：解决该题的关键是分析清式子代表的意义，再者就是什么时候满足距离最小，之后应用导数的几何意义求得切线的斜率，应用两点斜率坐标公式求得直线的斜率，两条直线垂直，斜率乘积等于-1.从而求得结果.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 二项式【答案】

【解析】分析：求出此二项式的展开式通项公式，令幂指数等于零，求得第三项是常数项，将详解：二项式

的展开式的通项为

，令

，解得

代入，求得结果. ，所以常数项为

的展开式中常数项为__________．（用数字作答）

，故答案是.

点睛：解决该题的关键是应用二项展开式的通项公式，想求常数项，令幂指数等于零，代入求得结果. 14. 如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中平面

，现测得

．

,

与

是矩形，

和

都是等腰梯形，且

的体积为

间的距离为，则几何体

__________

【答案】

【解析】分析：该几何体属于不规则几何体，在解决问题的过程中，需要对几何体进行分割，将其分割为两个全等的三棱锥和一个三棱柱，利用题中的条件，求得相应的量，代入体积公式求得结果. 详解：在

上，取两点

，分别满足

，连接

，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个

，

棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得故答案是

.

点睛：该题属于求不规则几何体的体积的问题，解题的关键是将不规则几何体进行分割，转化为熟悉的几何体，利用体积公式求得结果. 15. 四边形【答案】

最短，从而求得

，之后连接

，利用题中所给的量，

中，

,当边

最短时，四边形

的面积为__________．

【解析】分析：解题的关键是要明确什么时候边

利用余弦定理以及直角三角形中的边角关系，求得各边长，之后应用三角形面积公式求得结果. 详解：当从而求得

边最短时，就是

，从而求得

，从而求得

，

，故答案是

点睛：解决该题的关键是先确定线

.

时，连接

，应用余弦定理可以求得

，并且可以求得，利用平方关系求得

，所以四边形的面积

，

边最短时对应的结果，之后将四边形分成两个三角形，利用余弦定理求得对角

，利用差角余弦公式将直角三角形中的一个锐角确定，之后应用相应的公式求得结果.

的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于__________．

两点，为线段

的中点，

16. 已知为抛物线且【答案】6

，则

【解析】分析：解决该题需要将点的坐标求出，之后设出直线的方程，与抛物线的方程联立，消元，写出的坐

标，应用两点间距离公式求得的值，应用焦点弦长公式求得结果. 详解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是立

，消元可得

，设直线

，将直线与抛物线方程联

，从而可得，从而求得，求得，根据，可得

，求得，而，所以答案是.

点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长问题，解决问题的关键是需要设出直线的方程，联立求得弦中点坐标，之后应用两点间距离公式建立等量关系式，最后应用焦点弦长公式求得结果.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知各项均为正数的数列（1）求数列

的通项公式；

的前项和为，且成等差数列。

（2）设【答案】（1）

，求

；（2）

的值。

【解析】分析：第一问需要利用条件确定出项与和的关系，之后类比着往前写，之后两式相减，求得相邻两项的关系，确定出数列为等比数列，之后应用等比数列的通项公式求得结果；第二问利用利用题中条件，求得，之后应用裂项相消法求和即可得结果. 详解：（1）由题知当当即

时，时，

，所以数列

；

，

为以2为公比的等比数列， ，

所以数列（2）由所以所以

的通项公式为

，得

；

，

，

点睛：该题属于数列的综合题，题中考查了数列的通项公式以及求和问题，在解题的过程中，需要明确对数列的项的关系的转化，利用等比数列的定义得结果，在求和时，一定需要熟记裂项的规则，从而求得结果. 18. 如图，四棱柱若

（1）求证：（2）求二面角

平面

； 的余弦值。

的底面。

是正方形，为

和

的交点，

【答案】（1）见解析；（2）

详解：（1）证明：连接由题意知所以因为底面所以因为因为

（2）由（1）可知所以

为二面角

，

均是边长为2的等边三角形，

，所以是正方形，所以，且

与， ，所以平面平面

。

垂直平分于点，

， ，所以，所以

平面

。 ，

的平面角，

以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则

，

所以，

所以二面角的余弦值为。

点睛：在解决立体几何问题时，第一问空间关系大都利用常规法证明，但是也可以应用空间向量来证明，尤其垂直的，借着向量的数量积等于零来确定垂直关系，第二问利用空间向量所成角来衡量二面角的时候，要注意结合法向量的方向，来确定是其补角还是其本事.

19. 自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：

（1）采用分层抽样的方式从年龄在内的人中抽取人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？

（2）在（1）中选出人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；

（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为，求的分布列。 【答案】（1）4；（2）见解析.(3)见解析.

【解析】分析：第一问根据比例关系求出确切数，第二问找出所有的抽取方法，再找出满足条件的抽取方法，一比求得对应的概率，第三问找出随机变量的可取值，求得对应的概率，列表即可. 详解：（1）因为年龄在

人中男性，女性使用人数占总体的比例分别为

，

，

所以抽取的10人中男性，女性人数分别为

（2）由题意知，在（1）中选出的10人中，女性使用者人数为4， 所以人中恰有2女性使用者的概率为(3)由题知，的可能取值为

，

，

，

因为用样本估计总体，任取1人，是男性使用者的概率为所以随机变量服从二项分布，即

，

,

,

所以分布列为：

20. 设椭圆

（1）求椭圆的方程；

的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.

（2）已知过的直线与椭圆交于的最大值。 【答案】（1）

；（2）6

两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积

【解析】分析：第一问根据题中条件，利用椭圆的定义以及性质，求得的大小，再根据椭圆中的关系，求得

的值，从而求得椭圆的方程，第二问根据题中的条件，可以断定是弦的中点，从而确定出四边形是平行四边形，应用面积公式求得结果. 详解：（1）依题意，因为

，所以

；

，

，可得

，，所以四边形的面积为，

是平行四边形， ，

，

， ，

所以椭圆方程为（2）设则由即，又因为设平面四边形则

设，则，

所以所以四边形

，因为

面积的最大值为.

，所以，所以，

点睛：该题是圆锥曲线的综合问题，在解题的过程中，需要死咬椭圆的定义以及几何量的关系求得结果，第二问主要是先确定出四边形的形状，之后将面积转化为函数，应用基本不等式求得结果. 21. 已知函数

（1）求的取值范围；

有两个极值点

。

（2）求证：【答案】（1）

。

；（2）见解析

【解析】分析：第一问利用题中的条件函数有两个极值点，相当于导数等于零有两个解，对函数求导，再求二阶导，对函数图像的走向加以分析，最后求得结果，第二问构造相应的函数，研究函数的图像，找出其对应的最值，最后求得结果. 详解：（1）当当所以当因为函数所以

时，时，

时，

，设，所以，所以

在在

，则

单调递减， 单调递增， ，

有两个零点， ，此时，

设因为所以所以所以

综上可得的取值范围是（2）由（1）知且所以

时，

是方程

。 的两根，所以，所以

是

，

因为所以

，所以

，即

上的减函数，

，

时，

在，即，则

；

， 时，

；

单调递增，

， ，

取得最小值

有两个极值点，所以函数

，所以

上单调递减，在

，

，即，

点睛：该题属于导数的综合题，在做题的过程中，紧紧抓住导数与函数性质的关系，导数大于零单调增，导数小于零，函数单调减，借用二阶导来进一步研究函数的性质，对于不等式的证明问题，注意转化为最值来处理. 22. 在直角坐标系

中，圆的参数方程为

为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐

标系，直线的极坐标方程为（1）求的极坐标方程； （2）射线【答案】（1）

；（2）

与圆的交点为

。

与直线的交点为，求的范围。

【解析】分析：第一问先将圆的参数方程化为普通方程，之后借用平面直角坐标与极坐标的转换关系求得极坐标方程，第二问借用极坐标系中的几何意义，最后转化为三角形式的式子，最后求得取值范围. 详解：（1）圆的普通方程是所以圆的极坐标方程为（2）设设

，则有，且直线的方程是

； ，

，则有

，

，又

，

所以所以

，

点睛：解决该题的关键是需要熟记参数方程与普通方程的转化，以及平面直角坐标方程与极坐标方程的转换关系，还有就是明确极坐标中的意义，以及有关三角函数形式的式子的值域问题的求解方法. 23. 已知（1）求不等式（2）设

。 的解集；

，求证：

.

为正实数，且

；（2）见解析

【答案】（1）

【解析】分析：第一问是有关绝对值不等式的解法问题，在解题的过程中，应用零点分段法将绝对值符号去掉转化为三个不等式组来解。第二问利用解析式先求出函数值，之后利用基本不等式求得结果. （1）不等式所以不等式（2）证明：因为所以因为同理所以所以

.

为正实数，所以由基本不等式

，所以等价于不等式组的解集为，

，

（当且仅当

，

，

时等号成立），

；

或

或

，

点睛：该题属于不等式的问题，需要明确绝对值不等式的解法-----零点分段法，去绝对值符号，将其转化为多个不等式组的解集的并集来完成，二是有关重要不等式，还有借用不等式的性质对其等价变形，最后证得结果.