用微积分证明不等式的技巧和：ｂ－法 罗世尧 （乐山师范学院数学与信息科学学院，四川乐山６１４０００） 摘 要：不等式的证明方法很多，其证明蕴涵了丰富的 数学知识、逻辑推理和非常高的技巧，本文讨论了利用微积分 知识证明不等式的技巧和方法。 关键词：微积分不等式证明方法 不等式的证明是微积分应用的一个常见问题，通过解决 这类问题．可以加深学生对微积分知识的理解，从而提高学 生分析问题和解决问题的能力．本文通过各种题型分析解答， 总结出用微积分证明不等式的一些常见基本方法． １．利用函数的单调性证明不等式 例１：证明：当ｘ＞０时，ｘ＞ｓｉｎｘ＞ｘ一 ． ６ 证明：先证ｘ＞ｓｉｎｘ，设ｆ（ｘ）＝ｘ—ｓｉｎｘ，则ｆ，（Ｘ）＝ｌ—ＣＯＳＸ≥０，即 ｆ（Ｘ）是增函数． 而ｆ（０）＝０，故有当ｘ＞０时，ｘ＞ｓｉｎｘ． 设ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ｘ＋ ｘ，则ｇ，（ｘ）－－ＣＯＳＸ－－１ Ｘ，ｇ （ｘ）＝ｘ－ｓｉｎｘ．而 ０ 当ｘ＞０有ｇ”（ｘ）＝ｘ—ｓｉｎｘ＞０，故有ｇ （ｘ）＞０，即ｇ（ｘ）在（０，＋∞）上单 凋上升．Ｘｇ（Ｏ）＝Ｏ，所以ｘ＞ｓｉｎｘ＞ｘ一≥． 例２：证明不等式ｘ一 ＜ｌｎ（１＋ｘ）（ｘ＞ｏ）． 证明：设ｆ（ｘ）＝ｘ一 一ｌｎ（１＋ｘ） ２ ， －・ｆ，ｘ）：１一ｘ一— ：二 ＜０ ．１＋ｘ １十ｘ ’．．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调下降 又。．‘ｆ（ｏ）＝０ ・．．当ｘ＞０时，有ｆ（ｘ）＝ｘ一 —ｌｎ（１＋ｘ）＜０， ￣ｌｌｘ－ ｘ＜１ｎ（１＋ｘ） ２．利用微分中值定理证明不等式 例３：证明当ｘ＞０时，— ＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ． １＋ｘ 证明：设ｆｉｔ）＝ｌｎｔ，当ｘ＞Ｏ时，ｆ（ｔ）在［１，１＋ｘ］上满足拉格朗日 中值定理条件， ・．．ｊ∈ ［１，１＋ｘ］，使 ＝｛，１ｃ∈ｃｌ＋ｘ ・．－ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎｌ＝ｌｎ ｘ）＇亡 ÷ １ ・．． ＜１ｎｆ ｌ＋ｘ） １＋ｘ 例４：设ａ＞ｅ，０＜ｘ＜ｙ＜ ，求址￣ａｙ—ａｘ＞（ｃｏｓｘ－ｃｏｓｙ）ｆｆｌｎａ． 证明：设ｆ（ｔ）＝ａ ，ｇ（ｔ）＝ｃｏｓｔ． 由条件可知，ｆ（ｔ），ｇ（ｔ）在［ｘ，ｙ］，（Ｏ＜ｘ ｙ）上满足柯西中值 定理条件，所以ｊ∈∈（ｘ，ｙ）使 ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）—： 旦 ｇ（ｘ）一ｇ（Ｙ）ｇ （∈） 即 ａ－＿ａ￣Ｙ ＣｏＳＸ—ＣｏＳＶ ＝ －Ｓｌｎ￣’ｏ＜ｘ ∈ ｙ 号 ａ 一ａ ：ａ （ｃｏｓｘ－ｃｏｓｙ）ｌｎａ／ｓｉｎ∈ ＞（ｃ。ｓｘ—ｃｏｓｙ）ａ ｎａ＞（ｃ。ｓｘ—ｃ。ｓｙ）ａｘｌｎａ ３．利用函数的最值证明不等式 例５：设。≤ｘ≤ｌ，ｐ＞１，证明不等式 ２ｏ－一Ｉ≤ｘ （１ 证明：设Ｆ（ｘ＝ｘｐ＋（１－ｘ） ，贝０ Ｆ （ｘ＝ｐｘｐ－Ｉ＋ｐ（１一ｘ） ～（一１）：ｐ［ｘＰ－＇＿（１一 ） ］ Ｆ （ｘ）＝ｐ（ｐ一１）ｘＯ－２＋ｐ（ｐ一１）（１一ｘ） 一 令Ｆ （ｘ）＝０，得ｘ＝÷；ＩＮｐ＞ｌ，所以有 Ｆ，（｛）＋ｐ（ｐ－１ １ ２１） ０． 故Ｆ（ｘ）在［０，１］上最大值是１，最小值是—ｌ＿，即有 ２ 一 ＿ｌ≤ｘＰ＋ｆ ｌ＋ｘ） ≤１． ２ 一。 ４．利用函数的凹凸性证明不等式 例６：证明ｘｌｎｘ十ｙｌｎｙ＞（ｘ＋ｙ）ｌｎ半，（ｘ＞０，ｙ＞０）． 证明：设ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，则对于ｘ＞０图形是凹的，于是对任意两 点ｘ和ｙ，得 ｘｌｎｘ＋ｙｌｎｙ＞（ｘ＋ｙ）ｌｎ＿ｘ ． ５．利用函数极限证明不等式 例７：证明：当 充分大时， １０ｅｘ＜ｅ２ｘ． 证明：因为ｌｉｍ ：０，所以ｘ充分大后，有 ＜１，即ｘ ｅ 一∞ 。 ２ｘ＜ｅ． 例８：设ｆ（ｘ）＝ａｌｓｉｎｘ＋ａ２ｓｉｎ２ｘ＋…＋ａ ｓｉｎｎｘ，２￣＂Ｈ Ｉｆ（ｘ）ｌ≤Ｉｓｉｎｘｌ， ａｌ，ａ２，…，ａｎ为实常数，求证：ｌａｌ＋２ａ２＋…＋ｎａ Ｉ≤１． 证明：‘．‘Ｉｆ（ｘ）ｌ≤Ｉｓｉｎｘ１ ・．．Ｉ ｌ（ｘ≠ Ｉ ａ１ｓｉｎｘ＋ａ２ｓｉｎ２ｘ＋…＋ａ ｓｉｎｎｘ ｌ ＝ｌ ａ。ｌ ——＋ｘ ａ２——＋ｓｉｎｘ２ ｘ＋一‘一。．‘＋ａ ——Ｉｓｉｎｘｎ Ｉｘ ≤１ ｌ——Ｉｘ Ｉｌ 上式两边令ｘ—Ｏ，由重要极限ｌｉｍ—ｓｌｎ—ｘ：１ — 中学数学教学中“数形结合＂思想的运用及实施 谈家国 （江都市丁沟中学，江苏江都２２５２３５） 数形结合是根据数量与图形之问的对应关系，通过数与 【典例３】已知ｅ￣ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ＋ 形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结 合思想，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象 １），若０＜ａ＜ｂ＜ｃ，则 ． ， ａ Ｄ 问题具体化．它从形的直观和数的严谨两方面思考问题．拓宽 了解题思路．是数学规律性与灵活性的有机结合。下面我从几 ｆ（ｃ 的大小关系是 个方面谈一下“以形辅数”在解题中的应用。 Ｃ 一、方程、不等式问题 解：作出ｆ（ ）的图像，！（ａ），构建函数模型并结合图像，研究方程根的范围、不等式的 ａ 坚 ，ｂ （ｃ ｃ）可看作函数图像 解集、参数范围。 上的点（ａ，ｆ（ａ））（ｂ，ｆ（ｂ））（ｃ，ｆ（ｃ））与原点连线的斜率，易知 【典例１】若方程ｌｇ（一ｘ一＋３ｘ—ｍ）＝ｌｇ（３一ｘ）在ｘ∈（０，３）内有唯 ｆ（ｃ） ｆ（ｂ），ｆ（ａ） 、ｂ、ａ‘ 一解．求实数ＩＴＩ的取值取范围． ｃ解：原方程即为｛误点警示：抓住所比较式子的几何意义．充分利用图像直 ｆ ３－ｘ＞０ 即 ｚ观性。 【一Ｘ＋３ｘ—ｍ＝３一ｘ ｑ一 Ｉ一——ｙ童＝ｌ一 三、立体几何问题 ｆ３一ｘ＞０ 构建立体几何模型，研究代数问题，研究图形的形状、位 ｝（ｘ一２）＝１一ｍ 置关系、性质等。 口 ｛１ ２ ３ ／ 设曲线ｙ ＝（ｘ一２）一，Ｘ∈（０，３）和直 【典例４】若 棱锥Ａ—ＢＣＤ侧面ＡＢＣ内一动点Ｐ到底面ＢＣＤ 线ｙ ＝１一ｍ． 的距离与到棱ＡＢ的距离相等．则动点Ｐ的轨迹与ＡＡＢＣ组成的 构成的图像如左图所示，｝扫图可 图形可能是（ ） 知：①当１一ｍ＝０时有唯一解，Ｉｎ：１； ⑦当１≤Ｉ－ｍ＜４时有唯一解，即一３＜ｍ≤０－＿＿．ｍ＝ｌ或一３＜ｍ≤０ 误点警示：注意函数定义域的限制。 。 二、函数问题 构造函数模型研究量与量之间的大小关系，函数的单调性。 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． １．最值、值域问题 分析：此题将立体几何与解析几何巧妙结合，是对过去分 离考核的创新．可先考虑特殊图形，当ＡＣ上平面ＢＣＤ￣￣，如图 【典例２】求函数ｕ＝ 丽＋＼／＿二 的最值． １．将问题转化为Ｐ到ＡＢ的距离和ＢＣ距离相等的点的轨迹，显 分析：由于等号右端根号内ｔ同为一次，故作简单换元 然Ｐ点轨迹是 ＡＢＣ的平分线． 、／ ＝ｍ，无法转化为一元二次函数求最值，若对式子平方 Ａ 处理．将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困 难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元． Ｃ 解：设ｘ：Ｖ ｌ＋４，ｖ＝、／６＿ｆ，则ｕ＝ｘ＋ｖ． 且ｘ２＋２ｙ ：１６（ｏ≤ｘ≤４，ｏ≤ｙ￣＜２ｘ／ｚ）， Ｄ 所给函数化为以ｕ为参数的直线７ｙＮｙ＝一ｘ＋ｕ Ｂ 它与椭圆ｘ ＋２ｙ‘＝ｌ６在第一象 图１ 图２ 限部分（包括端点）有公共点．（如图） 当ＡＣ不垂直平面ＢＣＤ时，如图２的Ｐ到平面ＤＢＣ和边ＢＣ的 Ｉ１＝…．２、／ ，相切于第一象限时，ｕ取 最大值． 距离分别为ｈ，ｄ。 ，／ＲＡ—Ｂｃ—Ｄ的大小为０， ＝ ＝ｓｉｎ０≤１， （ＩＢｃ ＵＢＣ 由 ６ ｕ ＝。 故选Ｄ． 误点警示：解决此类问题，关键要善于利用空间几何性 解△＝０得ｕ：±２、／＿ ，Ｉ￣ｕ＝２、厂 ＿－．～：２、／一 ．质，将问题转化到平面几何中，再利用平面几何的相关性质就 …误点警示：该题为用常规法较难求的题，但运用数形结 比较容易解决。 合，构造直线ｙ—Ｘ＋Ｕ，求ｕ的最值，即求直线在ｙ轴上的截距的 四、解析几何问题 最值，再利用数的严谨，灵活地解决了问题。 灵活运用解析几何中的图像性质与方程、不等式间的数 ２．单调性问题 形转化。 得Ｉａｌ＋２ａ２＋…＋ｎａ Ｉ≤１ 解［Ｍ］．山东：山东科学技术出版社，２００１．０８． ［２］赵振威主编．中学数学教材教法［Ｍ］．上海：华东师范 参考文献： 大学出版社，２０ｏ０．０１． ［３］刘玉琏，傅沛仁编．数学分析讲义［Ｍ］．北京：高等教育 ［１ｊ费定晖，周学圣编译．吉米多维奇数学分析习题集题 出版社．１９９７．１２． ６６
