2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期中数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．方程x2﹣4x﹣12=0的解为（ ） A．x1=2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=6
B．x1=2，x2=﹣6 D．x1=﹣2，x2=﹣6
2．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A．Q（3，240°） B．Q（3，﹣120°） C．Q（3，600°） D．Q（3，﹣500°） 3．用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（ ） A．（x﹣）2= C．（x﹣）2=0
B．（x+）2=D．（x﹣）2=
4．对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论： ①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线x=1： ③顶点坐标为（﹣1，3）； ④x＞1时，y随x的增大而减小． 其中正确结论的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（ ）
//
//
A．68° B．20° C．28° D．22°
6．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（ ） A．①
B．②
C．③
D．④
7．如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCE=70°，则∠A的度数是（ ）
A．110° B．70° C．55° D．35°
9．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是（ ）
//
//
A．
B．5
C． D．3
11．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒B点P位于点C的位置，……，则第2017秒点P所在位置的坐标为（ ）
A．（，） B．（） C．（0，﹣1） D．（）
12．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论： ①对称轴为直线x=2； ②当y≤0时，x＜0或x＞4； ③函数解析式为y=﹣x2+4x；
④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④
B．①②③ C．②③④ D．①③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．直线与圆在同一平面上做相对运动时，其位置关系有 种，它们分别是 ． 14．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ． 15．AB⊥OB，OB=如图，△ABO中，
AB=1，，把△ABO绕点O逆时针旋转120°后得到△A1B1O，
//
//
则点B1的坐标为 ．
16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽 m．
17．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则弦MN的长为 ．
18．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是于 ．
的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积等
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 20．（8分）已知一次函数y1=6x，二次函数y2=3x2+3，是否存在二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1，y2，y3都有y1≤y2≤y3成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由． 21．（10分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）． 如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．
//
//
22．（10分）如图，点A、B、C均在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠ACB=45°，∠AOC=150°． （1）求证：CD=CB； （2）⊙O的半径为
，求AC的长．
23．（10分）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留
1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米．
（1）饲养场的长为 米（用含a的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为288m2，求a的值．
（3）当a为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？
24．（10分）如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．
（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由； （2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变： ①如图2，若∠ADC=60°，求
的值；
的值（用含α的三角函数表示）
②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出
//
//
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：和点B（0，﹣1），抛物线
与x轴、y轴分别交于点A
经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
//
//
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．【解答】解：x2﹣4x﹣12=0， 分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0， 可得x+2=0或x﹣6=0， 解得：x1=﹣2，x2=6， 故选：C．
2．【解答】解：∵P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°），
240°）600°）由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，，（3，﹣120°），（3，，
故选：D．
3．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0， ∴x2﹣x=1， ∴x2﹣x+
=1+，
∴（x﹣）2=故选：D．
．
4．【解答】解：①∵a=﹣2＜0， ∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误； ③顶点坐标为（﹣1，3），正确； ④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小， ∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确； 综上所述，结论正确的个数是①③④共3个． 故选：C．
5．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α， ∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°， ∵∠2=∠1=112°，
//
//
而∠ABC=∠D′=90°， ∴∠3=180°﹣∠2=68°， ∴∠BAB′=90°﹣68°=22°， 即∠α=22°． 故选：D．
6．【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确； ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确； ⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确． 故选：D．
7．【解答】解：A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣
＞0，故选项正确；
C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣
＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B．
8．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A=∠BCE=70°， 故选：B．
9．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0）， ∴A（﹣3，0），
∴AB=1﹣（﹣3）=4，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；
//
//
∵抛物线开口向下， ∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣∴b=2a＞0，
∴ab＞0，所以③错误； ∵x=﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， 而a＞0，
∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确． 故选：C．
10．【解答】解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点， ∴MN=BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大， 连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′， ∵BC′是⊙O的直径， ∴∠BAC′=90°． ∵∠ACB=45°，AB=5， ∴∠AC′B=45°， ∴BC′=∴MN最大=故选：A．
11．【解答】解：2017÷8=252…1，
=5．
，
=﹣1，
即第2017秒点P所在位置如图：
过P作PM⊥x轴于M， 则∠PMO=90°， ∵OP=1，∠POM=45°，
//
//
∴PM=OM=1×sin45°=即此时P点的坐标是（故选：A．
， ，
），
12．【解答】解：由图象得抛物线的对称轴为直线x=2，所以①正确； 当y≤0时，x≤0或y≥4，所以②错误； 抛物线经过点（0，0），（4，0），（2，4）， 所以抛物线解析式为y=ax（x﹣4），
把（2，4）代入得a•2（2﹣4）=4，解得a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣x（x﹣4），即y=﹣x2+4x，所以③正确； 当x≤0时，y随x的增大而增大，所以④正确． 故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13．【解答】解：如图所示：
当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离，如直线a； 当直线与圆有一个公共点A时，直线与圆相切，如直线b； 当直线与圆有2个公共点B、C时，直线与圆相交，如直线c． 故答案为：3，相离，相切，相交．
14．【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）．
15．【解答】解：过B1作B1C⊥y轴于C，
∵把△ABO绕点O逆时针旋转120°后得到△A1B1O， ∴∠BOB1=120°，OB1=OB=∵∠BOC=90°， ∴∠COB1=30°，
//
，
//
∴B1C=OB1=∴B1（﹣
，OC=，
，）．
，）．
故答案为：（﹣
16．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0）， 到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2， 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出： ﹣2=﹣0.5x2+2， 解得：x=±2故答案为：4
，所以水面宽度增加到4．
米，
17．【解答】解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，连接AN 设⊙A的半径为r． 则AN=OA=r，AB=2， ∵AB⊥MN， ∴BM=BN，
//
//
∴BN=4﹣r；
则在Rt△ABN中，根据勾股定理，
得AB2+BN2=AN2，即：22+（4﹣r）2=r2，解得r=2.5， 则N到y轴的距离为1， 又∵点N在第三象限， ∴N的坐标为（﹣1，﹣2）； ∴MN=3； 故答案为：3．
18．【解答】解：两扇形的面积和为： =2π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N， 则四边形EMCN是矩形， ∵点C是
的中点，
∴EC平分∠AEB， ∴CM=CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°， ∴∠MCG=∠NCH， 在△CMG与△CNH中，∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积， ∴空白区域的面积为：×2×2=2，
∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和=2π﹣4． 故答案为：2π﹣4．
，
//
//
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴
解得：k＞﹣3且k≠1．
20．【解答】解：不存在这样的实数． 设该实数是a．
则y1≤y2，即6a≤3a2+3， 解得（a﹣1）2≥0，
∴a是任意实数，且当a=1时取“=”；
当a=1时，y=6，即点（1，6）满足y1≤y2≤y3， 将点（1，6）代入二次函数y3=x2+bx+c，得 6=1+b+c，①
又∵二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1）， ∴1=16﹣4b+c，② 由①②解得， b=4，c=1，
∴函数y3的解析式为：y=x2+4x+1； ∴3a2+3≤a2+4a+1， 解得，（a﹣1）2≤0，
显而易见，这是错误的，所以点a不适合．
所以，不存在这样的任意实数a，使y1≤y2≤y3成立． 21．【解答】解：如图所示，
，
//
//
△ABC为所求作
22．【解答】证明：延长AO交⊙O于E点，连接CE
∵AE是直径 ∴∠ACE=90° ∵∠ACB=45° ∴∠BCE=135°
∵AO=OC=EO，∠AOC=150°
∴∠OAC=∠OCA=15°，∠OEC=∠OCE=75° ∵四边形ABCE是圆内接四边形 ∴∠EAB+∠ECB=180°，∠E+∠ABC=180° ∴∠EAB=45°，∠ABC=105°， ∴∠CAD=30°，∠CBD=75° ∵CD是⊙O切线， ∴∠OCD=90°
∵∠OCA=15°，∠ACB=45° ∴∠CBD=30°
∵∠D+∠CBD+∠BCD=180° ∴∠D=75° ∴∠D=∠CBD ∴CD=CB
（2）连接OB，过点B作BF⊥AC于点F，
//
//
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=45° ∴∠AOB=90° ∴AB=
=2
∵∠CAD=30°，BF⊥AC ∴BF=1，AF=
BF=
∵∠ACB=45°，BF⊥AC ∴∠ACB=∠CBF=45° ∴CF=BF=1 ∴AC=
+1
23．【解答】解：（1）由已知饲养场的长为57﹣2a﹣（故答案为：60﹣3a；
（2）由（1）饲养场面积为a（60﹣3a）=288， 解得a=12或a=8；
当a=8时，60﹣3a=60﹣24=36＞27， 故a=8舍去， 则a=12；
（3）设饲养场面积为y，
则y=a（60﹣3a）=﹣3a2+60a=﹣3（a﹣10）2+300， ∵2＜60﹣3a≤27， ∴11≤a＜
，
∴当a=11时，y最大=297．
24．【解答】解：（1）BG=EG，理由是： 如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵四边形CFED是菱形， ∴EF=CD，EF∥CD，
//
a﹣1）+2=60﹣3a； //
∴AB=EF，AB∥EF， ∴∠A=∠GFE， ∵∠AGB=∠FGE， ∴△BAG≌△EFG， ∴BG=EG；
（2）①如图2，设AG=a，CD=b，则DF=AB=b， 由（1）知：△BAG≌△EFG， ∴FG=AG=a， ∵CD∥BH，
∴∠HAD=∠ADC=60°， ∵∠ADE=60°，
∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°， ∴△ADH是等边三角形， ∴AD=AH=2a+b， ∴
=
=；
②如图3，连接EC交DF于O， ∵四边形CFED是菱形， ∴EC⊥AD，FD=2FO，
设AG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，Rt△EFO中，cosα=，
∴OF=bcosα， ∴DG=a+2bcosα， 过H作HM⊥AD于M， ∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α， ∴AH=HD，
∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，Rt△AHM中，cosα=， ∴AH=
，
//
//
∴==cosα．
25．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1）， ∴m=﹣1，
∴直线l的解析式为y=x﹣1， ∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n）， ∴n=×4﹣1=2，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；
（2）令y=0，则x﹣1=0， 解得x=，
∴点A的坐标为（，0）， ∴OA=，
在Rt△OAB中，OB=1， ∴AB=∵DE∥y轴，
//
==，
//
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•DF=DE•sin∠DEF=DE•
=DE，
DE，
=DE，
∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1）， ∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t， ∴p=
×（﹣t2+2t）=﹣t2+
t，
∵p=﹣（t﹣2）2+
，且﹣＜0，
；
∴当t=2时，p有最大值
（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°， ∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，
①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1， ∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1， 解得x=，
B1在抛物线上时，②如图2，点A1、点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，
∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+， 解得x=﹣
，
．
//
综上所述，点A1的横坐标为或﹣
//
//
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