常用逻辑用语、函数(1)

高三数学 备课资料 常用逻辑用语、函数（1）

一、考纲要求：

内 容 A 2.函数概念与基本初等函数I 11．常用逻辑用语 函数的概念 要 求 B √ C 命题的四种形式 充分条件、必要条件、充分必要条件 简单的逻辑联结词 全称量词与存有量词 √ √ √ √ 二．基本概念与相关知识

1. 常用逻辑用语

知识点一 四种命题间的关系

命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．

知识点二 充要条件及其应用

充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：

(1)定义法

(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号实行传递，根据这些符号所组成的图示就能够得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，使用这个原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．

(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论实行转化．

(4)集合法：与逻辑相关的很多数学问题能够用范围解两个命题之间的关系，这时如果能使用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．

知识点三 逻辑联结词的应用

对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假． 利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是的热点之一． (1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表：

p 真 假 真 假

知识点四 全称命题与特称命题

全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．

全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．

全称命题的否定是特称命题，应含存有量词． 特称命题的否定是全称命题，应含全称量词． 逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，所以，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． 含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题

全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)． (2)特称命题的否定是全称命题

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)． 三条规律

(1)对于“p∧q”命题：一假则假； (2)对“p∨q”命题：一真则真；

(3)对“¬p”命题：与“p”命题真假相反．

q 真 真 假 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 ¬p 假 真 假 真 2.函数的定义、定义域、值域、解析式

（1）函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：

① “y=f(x)”是函数符号，能够用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． （2）函数定义域有两类：具体函数与抽象函数

具体函数：只要函数式有意义就行－－－解不等式组；

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝ax，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. π

(5)y＝tan x的定义域为xx≠kπ＋2，k∈Z.





(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．

(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．

抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． （3）函数值域（最值）的求法有：

直观法：图象在y轴上的“投影”的范围就是值域的范围； 配方法：适合一元二次函数

1x2反解法：有界量用y来表示。如x0，a0，sinx1等等。如，y。

1x22x换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。

如求yx1x2的值域。

单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数。如求ylog2(x 注意函数yx11)(x1)值域。 x1k的单调性。 x基本不等式：要注意“一正、二定、三相等”，

x2x1判别式：适合于可转化为关于x的一元二次方程的函数求值域。如y。

x22反之：方程有解也可转化为函数求值域。如方程sinxsinxa0有解，求a的范围。 数形结合：要注意代数式的几何意义。如y22sinx的值域。（几何意义――斜率）

1cosx（4）求函数解析式的题型有：

1.已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

2.已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法； 3.已知函数图像，求函数解析式；

4.f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法； 5.应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．

三、经典例题，深度解析

【例1】已知命题p：方程x＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．

Δ1＝m－4＞0，解 由p得：

－m＜0，

2

2

2

2

则m＞2.

2

由q得：Δ2＝16(m－2)－16＝16(m－4m＋3)＜0， 则1＜m＜3.

又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假． ①当p真q假时，

m＞2，

m≤1或m≥3，

解得m≥3；

m≤2，

②当p假q真时，

1＜m＜3，

解得1＜m≤2.

∴m的取值范围为m≥3或1＜m≤2.

【例2】已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝c在R上单调递减；q：函数f(x)＝x－2cx＋

x2

11在，＋∞上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．

2

[解答示范] ∵函数y＝c在R上单调递减， ∴0＜c＜1.

即p：0＜c＜1.∵c＞0且c≠1，∴¬p：c＞1.

x12

又∵f(x)＝x－2cx＋1在，＋∞上为增函数，

2

11∴c≤.即q：0＜c≤. 22

1

∵c＞0且c≠1，∴¬q：c＞且c≠1.

2

又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p真q假或p假q真．

1

①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩cc＞且c≠1

21

②当p假，q真时，{c|c＞1}∩c0＜c≤

21

综上所述，实数c的取值范围是c2

1

＝c＜c＜12



； 



＝∅. 



＜c＜1.



【例3】求下列函数的定义域：

lg(2－x)

(1)y＝＋(x－1)0； 2

12＋x－x

(2)y＝25－x2－lg cos x； (3)y＝lg(ax－k·2x)(a＞0)．

(4)已知f(x)的定义域为(0,2]，求f(x2)的定义域； (5)已知f(x2)的定义域为(0,2]，求f(x)的定义域； (6)已知f(x2)的定义域为(0,2]，求f(2x)的定义域

2－x>0，

解：(1)由12＋x－x2>0，

x－1≠0，

x<2，

得－3所以－3＜x＜2且x≠1，

故所求函数的定义域为{x|－3＜x＜2，且x≠1}

225－x≥0，

(2)由

cos x>0，

－5≤x≤5，得 ππ

2kπ－3ππ3π

所以－5≤x＜－π，或－＜x＜，或＜x≤5，

22223ππ3π－5≤x<－π，或－(3)由ax－k·2x＞0⇔2＞k(a＞0)．

ax

若k≤0，∵2＞0，∴x∈R.

a

若k＞0，则当＞1，即a＞2时，函数的定义域为{x|x＞logak}；

2

2a

当0＜＜1，即0＜a＜2时，函数的定义域为{x|x＜logak}；

2

2a

当＝1，即a＝2时，则有1x＞k，若0＜k＜1，则函数的定义域为R； 2若k≥1，则x∈，即原函数无意义． (4)∵f(x)的定义域为(0,2]，

∴欲使f(x2)有意义，需使0＜x2≤2， 得－2≤x＜0或0＜x≤2，

故f(x2)的定义域为[－2，0)∪(0，2]．

(5)∵f(x2)的定义域为(0,2]，知0＜x≤2，∴0＜x2≤4，故f(x)的定义域为(0,4]． (6)∵f(x2)的定义域为(0,2]， ∴0＜x≤2，故0＜x2≤4. 由0＜2x≤4，得x≤2，

故f(2x)的定义域为(－∞，2]．

【例4】(1)已知y＝1＋3xa的定义域为(－∞，1]，求a的值；

(2)已知函数y＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]的定义域为R，求a的取值范围．

解：(1)欲使原函数有意义，需1＋3xa≥0， 又y＝1＋3xa的定义域为(－∞，1]， ∴1＋3xa≥0的解集为(－∞，1]． 即：1＋3xa＝0的根为1，

1

∴1＋3a＝0，a＝－.

3

(2)当a＝－1时，函数化为y＝lg 1有意义，定义域为R. 当a＝1时，函数化为y＝lg(2x＋1)显然不合题意． 当a≠1且a≠－1时，由题意得 2a－1>0， 2－4(a2－1)<0，(a＋1)

a>1，或a<－1，5得5即a＞或a＜－1.

3

a>3，或a<－1，

5综上得a的取值范围是(－∞，－1]∪3，＋∞. 【例5】 求下列函数的值域．

(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])； 1－x2

(2)y＝；

1＋x24

(3)y＝x＋(x<0)；

x(4)f(x)＝x－1－2x. [自主解答] (1)(配方法) y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

∵y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y≤15，

即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．

1－x222

(2)y＝2＝2－1，∵1＋x≥1， 1＋x1＋x∴0<

2

≤2. 1＋x2

2

∴－1<－1≤1.即y∈(－1,1]．

1＋x2∴函数的值域为(－1,1]．

44

－x－≤－4， (3)∵x<0，∴x＋＝－xx当且仅当x＝－2时等号成立． ∴y∈(－∞，－4]．

∴函数的值域为(－∞，－4]．

1－t2

(4)法一：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝，

21－t21

于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，

22

11

－∞，. 由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是22

111

－∞，容易判断f(x)为增函数，所以f(x)≤f＝，法二：(单调性法)f(x)的定义域为222 1

－∞，. 即函数的值域是2

1

【例6】已知函数g(x)＝x＋1, h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)

x＋3＝g(x)·h(x)．

(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域； 1

(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．

4解：(1)f(x)＝

x＋1

，x∈[0，a](a>0)． x＋3

10，， (2)函数f(x)的定义域为43

1，， 令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈2t

f(x)＝F(t)＝2＝t－2t＋4

1

， 4t＋－2t

341，3时，t＋4单调递减，F(t)单调递增，1，6. 1，，当t＝时，t＝±2∉又t∈F(t)∈22313tt16即函数f(x)的值域为3，13.

四、高考回放

（08江苏）17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知AB20km, CD10km,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。

（I）按下列要求写出函数关系式：

① 设BAO(rad)，将y表示成的函数关系式； ② 设OPx(km)，将y表示成x的函数关系式。

（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

（09江苏）20．(本小题满分16分) 设a为实数，函数(1) 若(2) 求

f(x)2x2(xa)|xa|.

f(0)1，求a的取值范围；

f(x)的最小值；

f(x),x(a,)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的．．．．

(3) 设函数h(x)解集.

（2012年江苏）函数f(x)12log6x的定义域为 ▲ ．

bR)的值域为[0，（2012年江苏）已知函数f(x)x2axb(a，若关于x的不等式)，

f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为 ▲ ．

五、回归课本

必修1：课本第24页 练习5、6、7 课本第28页 习题3、6、7、8、9

课本第32页 习题1、2、4、6、7、8、9、11

选修1-1（2-1）课本第8页 习题1、2、3、4 课本第11页 习题 1、2、3、4 课本第17页 练习2、3、4

课本第20-21页 复习题3、4、5、6、7、8 本章测试1、2、3、4、5、6、10、12、14、15