2016考研数学复习之极大似然估计

来源：文都教育

极大似然估计是一种很重要的估计方法，是参数估计的重点内容，也是难点内容。相对于矩估计来说，极大似然估及计算量比较大，相对复杂，所以本部分大家要重点复习。一下文都数学老师继续为大家总结极大似然估计的知识点及解题步骤。

一、知识点

最大似然估计法的基本思想是求未知参数使得样本获取样本值的概率最大.最大似然估计法关键的是正确写出似然函数。离散型随机变量和连续型随机变量的似然函数的写法是不同的。

设X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，x1,x2,,xn是样本值， 最大似然估计法的计算步骤： （1）写出样本观测值(x1,x2对于离散型随机变量：对于连续型随机变量：

xn)的概率，即样本似然函数

XnxnPXixii1nL()PX1x1,X2x2,L()fxi;i1n

本质上，似然函数是关于未知参数的函数，（注意：离散与连续的区别）

dL()0（2）利用导数求解似然函数的最大值：若存在唯一的驻点，则由d或

dlnL()0d，求解出的估计量

dL()dL()00dd（3）若似然函数不存在驻点，即或，利用似然函数的单调性求解未

知参数的取值。

以上矩估计、极大似然估计的求解方法均是针对一个参数描述的，对于含有两个及两个以上参数的情况，我们可以按照类似的方法进行求解：1）矩估计，从低阶到高阶计算总

kEXk体原点矩（有几个参数建立几个关于参数的有效方程），用样本k阶原点矩

1nk1nkAkXiXiEXk(k1,2,)kni1作为总体k阶原点矩kEX的估计，令Akk即ni1，通过

i1,2,,n求解有效方程组，将未知参数用样本的统计量表示出来，再将未知参数i用对

i1,2,,n应的估计量i代替，若给定一个样本观测值(x1,x2xn)i1,2,,n，代入i可得

xn)ii1,2,,n的一个矩估计值；2)最大似然估计,写出样本观测值(x1,x2的概率，即样本

似然函数

对于离散型随机变量：

L(1,2,,n)PX1x1,X2x2,XnxnPXixii1n

,n对于连续型随机变量：

L(1,2,,n)fxi;1,2,i1n

利用导数求解似然函数的最大值；若存在唯一的驻点，则由

dL(1,2,di,n)0i1,2,,ndlnL(1,2,di或

,n)0i1,2,,ni1,2,,n，求解出i的估

,n)0i1,2,,n计量

ii1,2,,n)dL(1,2,,ndi,若似然函数不存在驻点，即

,n或

dL(1,2,di0i1,2,

二、典型例题

【例】设总体X在区间1nXXi,XnmaxX1,ni10,上服从均匀分布，X1,,Xn是取自总体X的简单随机样本，

,Xn.

(I)求的矩估计量和最大似然估计量；

ˆaX,ˆbXa,b12n均为的无偏估计，并比较其有效性.(数一) (II)求常数,使

【解析】(I)由题设总体X的密度函数、分布函数分别为

0,x0,x1Fx,0x,,0x，fx0,其他， 1,x,

令

XEX,ˆ2X2解得的矩阵估计量为.

似然函数为

1,xi一切i，Lfxi,ni10,否则，

nL为的单调减函数，且xi，即要取大于xi的一切值，因此的最小取值为

ˆmaxX,,XX1nn. ，的最大似然估计量

EXmaxx1,,xn2，

(II)由于

DX2ˆaEXaEXaE112，所以2，取a2，即

2DXˆD2X4DX4ˆ,ˆDˆ1E112X,n3n. 1为无偏估计，且

为求得b，必须求由

XnmaxX1,Xn的分布函数得

Fnx及密考研培训度函数

fnx，

,XnFnxPXnxPXixFx,i1nn

fnxnFxn1nxn1,0x，fxn0,其他.

故

DXnEXEXnx00nxn1ndxnxn0ndxn,n1

2nx22nxn1ndxnxn10nn2dx,n2

n2nn2.2n2n1n2n1

nn1ˆ=n1XˆbEXˆbEb,E222nnnnn1则当时，，即为的无偏估计，且

2n222n1n1ˆˆ,D2==D1DXn=2nnn2n1nn23n2

ˆˆ2所以比1有效.

参数估计是考研数学一的一个核心考点，每年都考，而且考题可能不止一道，因此考生应该熟练掌握其解题方法。文中所述是对考研数学概率论与数理统计中参数估计部分的分析，希望能够为正在筹备考研的、即将筹备考研的考生们提供微薄的帮助。这类题一般并不难，只要理解了它们的基本含义，并掌握其基本的解题步骤，一般都能正确解答。