2019年江苏省南京市中考数学真题试卷及解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是( ) A．0.13105

B．1.3104

C．13103

D．130102

2．计算(a2b)3的结果是( ) A．a2b3

B．a5b3

C．a6b

D．a6b3

3．面积为4的正方形的边长是( ) A．4的平方根 C．4开平方的结果

B．4的算术平方根 D．4的立方根

4．实数a、b、c满足ab且acbc，它们在数轴上的对应点的位置可以是( )

A． B．

C． D．

5．下列整数中，与1013最接近的是( ) A．4

B．5

C．6

D．7

6．如图，ABC是由ABC经过平移得到的，ABC还可以看作是ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )

1

A．①④

B．②③

C．②④

D．③④

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．2的相反数是 ，

1471的倒数是 ． 28．计算28的结果是 ．

9．分解因式(ab)24ab的结果是 ．

10．已知23是关于x的方程x24xm0的一个根，则m ．

11．结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式： ， a//b．

12．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．

13．为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：

2

视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 102 98 80 93 127 根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是 ．

14．如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，点C、D在O上．若P102，则

AC ．

15．如图，在ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分ACB．若AD2，

BD3，则AC的长 ．

16．在ABC中，AB4，C60，AB，则BC的长的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）化简：(xy)(x2xyy2)

3

18．（7分）解方程：

x3． 12x1x1

19．（7分）如图，D是ABC的边AB的中点，DE//BC，CE//AB，AC与DE相交于点

F．求证：ADFCEF．

20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．

4

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大； （2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．

21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．

（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？ （2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．

22．（7分）如图，O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且ABCD．求证：PAPC．

5

23．（8分）已知一次函数y1kx2(k为常数，k0)和y2x3．

（1）当k2时，若y1y2，求x的取值范围．

（2）当x1时，y1y2．结合图象，直接写出k的取值范围．

24．（8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道

EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27、22，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45．求隧道EF的长度．

（参考数据：tan220.40，tan270.51．)

6

25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3:2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用2000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

26．（9分）如图①，在RtABC中，C90，AC3，BC4．求作菱形DEFG，使点

D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

小明的作法

1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG//AB交BC于点G． 2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EFED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形． （1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

7

27．（11分）【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式定义两点间距离：d(A,B)|x1x2||y1y2|．

【数学理解】

（1）①已知点A(2,1)，则d(O,A) ．

②函数y2x4(0剟x2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)3，则点B的坐标是 ．

4（2）函数y(x0)的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使dO (C,)3．

x8

（3）函数yx25x7(x…0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

9

参

一、选择题

1.B 【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，∴13000用科学 计数法表示为1.3104，故选B．

2.D 【解析】原式(a2)3b3a6b3．故选D．

3.B 【解析】面积为4的正方形的边长为4，它是4的算术平方根；故选B．

4.A 【解析】∵ab且acbc，∴c0．A项符合ab，c0条件，故满足条件的对应 点位置可以是A；B项不满足ab，C、D项不满足c0，故满足条件的对应点位置不 可以是B、C、D．故选A．

5.C 【解析】91316，即3134，与13最接近的是4，与1013最接近的 是6．故选C．

6.D 【解析】先将ABC绕着BC的中点旋转180，再将所得的三角形绕着BC的中点旋 转180，即可得到ABC；先将ABC沿着BC的垂直平分线翻折，再将所得的三角形 沿着BC的垂直平分线翻折，即可得到ABC；故选D． 二、填空题

7.2，2 【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，∴2的相反数是 2，

1的倒数是 2． 28.0 【解析】原式27270．

10

9.(ab)2 【解析】原式a22abb24aba22ab9b2(ab)2． 10.1 【解析】代入x23到方程得，(23)24(23)m0，则m1． 11.13180 【解析】13180，a//b（同旁内角互补，两直线平行）． 12.5 【解析】由题意可得，杯子内的筷子长度=1229215cm，则筷子露在杯子外面的 筷子长度=20155cm．

13.7200 【解析】估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数有120008093127500

7200人．

14.219 【解析】连接AB，PA、PB是O的切线，PAPB，P102，PAB

PBA18010239，DABC180，PADCPABDABC 218039219．

15.10 【解析】作AMBC于点E，如图所示，CD平分ACB，

ACAD2 ，

BCBD33x， 2设AC2x，则BC3x，MN是BC的垂直平分线，MNBC，BNCNMN//AE，

ENAD251NEx，，BEBNENx，CECNENx，

BNBD32251由勾股定理得，AE2AB2BE2AC2CE2，即52(x)2(2x)2(x)2，解得，

22x10，AC2x10． 211

16.4BC„83【解析】作ABC的外接圆，如图所示，BACABC，AB4，当 3

BAC90时，BC是直径，为最长，C60，ABC30，BC2AC，

AB3AC4，AC4383，BC；当BACABC时，ABC是等边三角 3383． 3形，BCACAB4，BACABC，BC长度的取值范围为4BC„

三、解答题

17.解：原式x3x2yxy2x2yxy2y3，

x3y3．

18.解：方程两边都乘以(x1)(x1)去分母得， x(x1)(x21)3，

即x2xx213， 解得x2

12

检验：当x2时，(x1)(x1)(21)(21)30，

x2是原方程的解，

故原分式方程的解是x2． 19.证明：

DE//BC，CE//AB，

四边形DBCE是平行四边形，

BDCE，

D是AB的中点， ADBD， ADEC， CE//AD，

AECF，ADFE，

ADFCEF(ASA)．

20.解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是

x高2325232524212215151724，x低18，

55方差分别是

2S高(2324)2(2524)2(2324)2(2524)2(2424)20.8，

5(2118)2(2218)2(1518)2(1518)2(1718)28.8，

5S低2S高2S低2，

该市这5天的日最低气温波动大；

（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说

13

明下雨后空气质量改善了． 21.解：（1）画树状图如图所示，

共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，

甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为

61； 122（2）

23

【解析】乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；

其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），

乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是

2． 322.证明：连接AC，

ABCD，

ABCD，

ABBDBDCD，即ADCB，

CA，

PAPC．

23.解：（1）k2时，y12x2， 根据题意得，2x2x3， 解得，x3； 514

（2）当x1时，yx32，

把(1,2)代入y1kx2得k22， 解得k4，

当4„k0时，y1y2；

当0k„1时，y1y2． 24.解：延长AB交CD于H， 则AHCD，

在RtAHD中，D45，AHDH， 在RtAHC中，tanACHAHCH，AHCHtanACH0.51CH， 在RtBHC中，tanBCHBHCH，BHCHtanBCH0.4CH， 由题意得，0.51CH0.4CH33，解得，CH300，

EHCHCE220，BH120， AHABBH153， DHAH153，

HFDHDF103， EFEHFH323，

答：隧道EF的长度为323m．

25.解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm， 依题意得，3x2x10030(3x2x5040)2000

解得x130，x230（舍去）．

15

所以3x90，2x60，

答：扩充后广场的长为90m，宽为60m． 26.（1）证明：DEDG，EFDE，

DGEF， DG//EF，

四边形DEFG是平行四边形，

DGDE，

四边形DEFG是菱形．

（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．

在RtABC中，C90，AC3，BC4，

AB32425，

则CD355x，AD4x，

ADCDAC，



35xx3， x6037， CD3365x37，

16

观察图象可知，0„CD3637时，菱形的个数为0． 如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．

DG//AB，



CDDGCAAB， 

3m3m5， 解得m158， CD315898， 如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．

DG//AB，



CGDGCBAB， 

4n4n5， n209， 17

CG42016， 99CD(2021624)()， 993观察图象可知，当0„CD393694或CD„时，菱形的个数为0，当CD或CD„3738378时，菱形的个数为1，当

3637CD„98时，菱形的个数为2． 27.解：（1）3，(1,2)

【解析】①由题意得，d(O,A)|02||01|213； ②设B(x,y)，由定义两点间的距离可得，|0x||0y|3，

0剟x2，

xy3， xy3，y2x4，

解得，x1，y2，

B(1,2)；

（2）假设函数y4x(x0)的图象上存在点C(x,y)使d(O,C)3，

根据题意，得|x0||4x0|3， x0，



4x0，|x0||4x0|x4x， x4x3， x243x，

3

18

x23x40，

b24ac70，

方程x23x40没有实数根，

该函数的图象上不存在点C，使d(O,C)3．

（3）设D(x,y)，

根据题意得，d(O,D)|x0||x25x70||x||x25x7|，

53x25x7(x)20，

24又x…0，

d(O，D)|x||x25x7|xx25x7x24x7(x2)23，

当x2时，d(O,D)有最小值3，此时点D的坐标是(2,1)．

（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy， 将函数yx的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止， 设交点为E，过点E作EHMN，垂足为H，

修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．

理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点

P作直线l2//l1，l2与x轴相交于点G． EFH45，

EHHF，d(O,E)OHEHOF，

同理，d(O,P)OG，

19

OG…OF，

d(O，E)， d(O，P)…上述方案修建的道路最短．

20