第1部分 第二章 2.3 2.3.3&2.3.4 第一课时 课时达标检测

一、选择题

1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( ) ①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n； ③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n. A．1 C．3

B．2 D．0

解析：选C ①正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n. 又l⊥α，∴n⊥α；

②正确．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α. 又n⊥α，∴l∥n；

③正确，由线面垂直的定义可知其正确．故正确的有3个．

2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( ) A．0条 C．无数条

B．1条 D．任意条

解析：选C 可构造图形，若a∥α，a′⊂α，且a′∥a，则在平面α内有无数条直线垂直于a′，故平面α内有无数条直线垂直于直线a.

3． 设l是直线，α，β是两个不同的平面( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析：选B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．

4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )

A．AB∥m C．AB∥β

B．AC⊥m D．AC⊥β

解析：选D 如图所示．AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，故选D.

5．线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )

A．30° C．60°

B．45° D．75°

解析：选B 过B作l的平行线，过A′作l的垂线，两线交于点C，连接AC，则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角，由题意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°，

113

所以AA′＝AB，BB′＝A′C＝AB，AB′＝AB，

222所以A′B′＝BC＝

22

AB，AC＝AB， 22

由勾股定理知∠ACB＝90°，则∠ABC＝45°. 二、填空题

6．一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm，这条线段与平面α所成的角是________．

解析：如图：作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.

答案：30°

7.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．

解析：∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB. ∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a. 又a⊥AB，EB∩AB＝B， ∴a⊥平面EAB，∴a∥l. 答案：平行

8．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.

解析：取AB的中点E，连接PE.

∵PA＝PB， ∴PE⊥AB.

又平面PAB⊥平面ABC，

∴PE⊥平面ABC.连接CE，所以PE⊥CE. ∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝27，PE＝PA2－AE2＝6， CE＝BE2＋BC2＝43， PC＝PE2＋CE2＝7. 答案：7 三、解答题

9. 如图：三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.

证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC， ∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC.

又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB， PA⊂平面PAB，

∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC， ∴平面PAB⊥平面PBC.

10.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

2

AD. 2

(1)求证：EF∥平面PAD； (2)求三棱锥C—PBD的体积． 解：(1)证明：连接AC，如图所示，

则F是AC的中点，又E为PC的中点，∴EF∥PA. 又∵PA⊂平面PAD， EF⊄平面PAD，

∴EF∥平面PAD.

(2)取AD的中点N，连接PN，如图所示． ∵PA＝PD，∴PN⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊂平面PAD， ∴PN⊥平面ABCD，即PN是三棱锥P－BCD的高． 又∵PA＝PD＝

2211AD＝a，∴PN＝AD＝a， 2222

1

∴VC—PBD＝VP—BCD＝S△BCD·PN

3111a3＝·(a·a)·a＝. 32212