人教版九年级数学上册综合卷：第21章 一元二次方程

一、填空题（本大题共2小题，每小题3分，共12分）

1．若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为__________． 2．已知方程2x25x30的两根为m、n，则m2n2________．

3．方程2x–4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为__________．

4．“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且

自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有_____人． 5．已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________． 6．如图是一个邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m.若

矩形的面积为4 m2，则AB的长度是__________m．(可利用的围墙长度超过6 m)

二、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

7．下列方程中，一定是一元二次方程的是 A．2x2﹣

3+1=0 x

2

B．（x+2）（2x﹣1）=2x2 D．ax2+bx+c=0

C．5x2﹣1=0

8．一元二次方程x40的解是 A．2 C．2

B．2

D．2

9．方程2xx330的二次项系数、一次项系数及常数项的和是 A．3

B．2

C．1

D．3

10．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为 A．k=﹣4 C．k≥﹣4

B．k=4 D．k≥4

11．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是 A．x2﹣2x＝5 C．2x2﹣4x＝5

B．x2+4x＝5 D．4x2+4x＝5

12．若一元二次方程x24x30的两个实数根分别是a、b，则一次函数yabxab的图象一定不经过 A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

13．定义运算：a⋆b=a（1-b），若a，b是方程x2-x+ m=0（m＜0）的两根，则b⋆b-a⋆a的值为 A．0 C．2

B．1 D．与m有关

14．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是 A．90（1+x）2=144 C．90（1+2x）=144

2

B．90（1-x）2=144

D．90（1+x）+90（1+x）2=144-90

15．已知：2是关于x的方程xm1xm0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰

△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为

A．6 C．5

B．4 D．4或5

16．如图，在△ABC中，AC＝50 cm，BC＝40 cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 cm/s的速度匀速运动，同时另一点Q由点C开始以3 cm/s的速度沿着CB向点B匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当△PCQ的面积等于300 cm2时，运动时间为

A．5 s

B．20 s

D．不确定

C．5 s或20 s

三、解答题（本大题共9小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：

（1）(x-5)2=16；（直接开平方法） （2）x2+5x=0；（因式分解法） （3）x2-4x+1=0；（配方法） （4）x2+3x-4=0.（公式法）

218．（6分）如果关于x的方程mx2m2没有实数根，试判断关于x的方程xm50m5x2

. 2m1xm的根的情况0

19．（6分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：

（1）求4△3的值；

（2）求（x+2）△5=0中x的值．

220．（6分）已知关于x的一元二次方程x+x+m﹣1＝0．

（1）当m＝0时，求方程的实数根．

（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

21．（8分）列一元二次方程解应用题

某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万

元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同． （1）求每个月增长的利润率；

（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？

22．（8分）如图，在宽为40 m，长为64 m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一

条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418 m2，则道路的宽应为多少？

23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2x（1）若m为正整数，求此方程的根．

（2）设此方程的两个实数根为a、b，若yab2b2b1，求y的取值范围．

21m0有两个实数根． 4

24．（8分）某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏

围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB＝x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？

25．（10分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，

点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动． （1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33 cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10 cm．

参考答案

1．【答案】2

|a|

【解析】∵方程（a+2）x﹣3x+2=0是一元二次方程，

∴a+2 0,且|a|=2, 解得：a=2.

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键. 2．【答案】

37 45，mn=﹣3，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=（5）2﹣2×（﹣3）=37． 22224【解析】根据题意得：m+n=

故答案为：3．【答案】–3

37． 4【解析】2x−4=0， 解得：x=2，

把x=2代入方程x2+mx+2=0得： 4+2m+2=0， 解得：m=−3. 故答案为：−3. 4．【答案】13

【解析】设该群共有x人，依题意有： x（x﹣1）=156，

解得：x=﹣12（舍去）或x=13． 故答案为：13．

【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确找准等量关系列方程即可，比较简单． 5．【答案】k＜2且k≠1

【解析】∵关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k-1≠0且=（-2）2-4（k-1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 6．【答案】1

【解析】设AB长为x米，则BC长为（6-2x）米． 依题意，得x（6-2x）=4． 整理，得x2-3x+2=0． 解方程，得x1=1，x2=2． 所以当x=1时，6-2x=4；

当x=2时，6-2x=2（不符合题意，舍去）． 答：AB的长为1米； 7．【答案】C

2

【解析】A. 2x﹣

3+1=0,分母含有未知数,是分式方程, x2

B. （x+2）（2x﹣1）=2x,化简之后消掉二次项,是一次方程,

C. 5x2﹣1=0,是一元二次方程，正确,

D. ax2+bx+c=0,对系数a没有限制,只有当a0时,方程才是一元二次方程, 故选C.

【名师点睛】本题考查了一元二次方程定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键. 8．【答案】D

2

【解析】移项得，x=4，

开方得，x=±2， 故选D．

22

【名师点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x=a（a≥0）；ax=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2

2=b（b≥0）；a（x+b）=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平

方取正负，分开求得方程解”．

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 9．【答案】C

2

【解析】原方程去括号整理得：2x﹣6x+3=0，

则二次项系数、一次项系数及常数项的和是2+（﹣6）+3=﹣1. 故选C. 10．【答案】B

【解析】根据题意得=42﹣4k≥0，解得k≤4．故选C． 11．【答案】B

【解析】A、因为本方程的一次项系数是−2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误； B、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确； C、将该方程的二次项系数化为x 2 −2x= 一半的平方1；故本选项错误； D、将该方程的二次项系数化为x 2 +x= 一半的平方故选B．

【名师点睛】本题考查的知识点是配方法解一元二次方程，解题关键是注意选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 12．【答案】D

2

【解析】∵一元二次方程x−4x+3=0的两个实数根分别是a、b，

5，所以本方程的一次项系数是−2，所以等式两边同时加上一次项系数25，所以本方程的一次项系数是1，所以等式两边同时加上一次项系数41；故本选项错误； 4∴a+b=4，ab=3，

∴一次函数的解析式为y=3x+4．

∵3＞0，4＞0，

∴一次函数y=abx+a+b的图象经过第一、二、三象限． 故选：D．

【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键． 13．【答案】A

【解析】∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根， ∴a+b=1，ab=m．

∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0． 故选A．

【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab= m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 14．【答案】D

【解析】设平均每月营业额的增长率为x， 则第二个月的营业额为：90×(1+x)， 第三个月的营业额为：90×(1+x)2，

则由题意列方程为：90(1+x)+90(1+x)2=144−90. 故选D． 15．【答案】C

【解析】将x=2代入方程得：4﹣2（m+1）+m=0，解得：m=2，则方程为x﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2．

当三角形的三边为1、1、2时，1+1=2，不能构成三角形，舍去； 当三角形的三边为1、2、2时，三角形的周长为1+2+2=5． 故选C．

【名师点睛】本题主要考查方程的解的定义、解方程的能力、等腰三角形的性质及三角形三边间的关系，熟练掌握方程的解的定义及解方程的能力是解题的关键． 16．【答案】A

【解析】设x秒后，△PCQ的面积等于300 cm2，有： （50-2x）×3x=300， ∴x2-25x+100=0，∴x1=5，x2=20．

当x=20 s时，CQ=3x=3×20=60＞BC=40，即x=20 s不合题意，舍去． 答：5秒后，△PCQ的面积等于300 cm2． 故选：A．

【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程求出是解题关键． 17．【解析】（1）(x-5)2=16，

2

（ 分） （2）x2+5x=0，

（ 分）（3）x2-4x+1=0，

得： 或 ， 即：x1=2+ , x2=2 .（6分） （4）x2+3x-4=0，

a=1,b=3,c=-4,则 所以方程的根为：

，

即：x1=-4 ,x2=1.（8分）

【方法点睛】本题目是一道考查求一元二次方程的根的问题，四道题利用四种不同的方法求解，在于全面考查一元二次方程的解法，难度不大.

18．【解析】关于x的方程mx2m2xm50没有实数根,

2当m=0时,方程为4x50，方程有一个实数根,不符合题意,（1分） 当m≠0时,因为方程mx2m2xm50没有实数根,

2所以, b4ac0,即2m24mm50解得: m4,（2分）

22对于方程m5x22m1xm0,

当m5时,方程变为8x50有一个实数根,（4分）

当m5时,2m14m5m43m1,

2m4,43m10,

此时方程m5x22m1xm0有两个不相等的实数根,

综上所述,当m5时,方程有一个实数根,当m5时,方程有两个不相等的实数根.（6分）

19．【解析】（1）4△3＝42－32 ＝16－9＝7.（3分）

（2）（x+2）△5=0，(x+2)2－52=0，(x+2)2=52，x+2=±5，x1=3，x2=－7 .（6分）

220．【解析】（1）当m=0时，方程为x+x﹣1=0．

=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴x151515，∴x1，x2．（3分） 21222

（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴＞0，即1﹣4×1×（m﹣1）=1﹣4m+4=5﹣4m＞0，∴m＜．（6

54分）

2

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式=b﹣4ac．

21．【解析】（1）设每个月增长的利润率为x，

2

根据题意得：20×（1+x）=22.05，

解得：x1=0.05=5%，x2=﹣2.05（不合题意，舍去）． 答：每个月增长的利润率为5%．（4分） （2）22.05×（1+5%）=23.1525（万元）．

答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．（8分）

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键. 22．【解析】设道路的宽应为x m，则(64－2x)(40－x)＝2418，（2分）

整理，得x2－72x＋71＝0，

解得x1＝1，x2＝71(不合题意，舍去)． 答：道路的宽应为1 m.（8分） 23．【解析】（1）∵一元二次方程x2x∵m为正整数，∴m=1．（2分） 当m=1时，此方程为x2x11m0有两个实数根，∴=14m1m≥0，∴m≤1． 4411（4分） 0，∴此方程的根为x1x2．

42（2）∵此方程的两个实数根为a、b，∴ab+1=

11m，b2bm0，∴y=ab﹣2b2+2b+1=ab﹣2（b2﹣b）44113（6分） m（2m）1=m1．

4444（y﹣1）． 347（y﹣1）≤1，∴y的取值范围为y≤．（8分） 34解法一：∵m=

又∵m≤1，∴m=解法二： ∵m≤1，∴

33377（8分） m≤，∴m1≤，∴y的取值范围为y≤．

44444【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．

24．【解析】（1）设AB＝x米，可得BC＝54﹣2x＋2＝56﹣2x.（2分）

（2）小娟的说法正确.（4分）

矩形面积S＝x（56﹣2x）＝﹣2（x﹣14）2＋392，（5分） ∵56﹣2x＞0， ∴x＜28， ∴0＜x＜28，

∴当x＝14时，S取最大值， 此时x

56﹣2x，

∴面积最大的不是正方形．（8分）

25．【解析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2，

则PB=（16﹣3x）cm，QC=2x cm，

根据梯形的面积公式得解之得x=5.（3分）

1×（16﹣3x+2x）×6=33， 2答：P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2.（4分） （2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10 cm， 作QE⊥AB，垂足为E， 则QE=AD=6，PQ=10， ∵PA=3t，CQ=BE=2t， ∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|， 由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102， 解得t1=4.8，t2=1.6．

答：从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10 cm．（10分）