轴对称与辅助线

学过轴对称后，同学们可能会感觉这部分内容好象没有什么用处，这种感觉是不对的。下面尝试从轴对称的角度来探索同学较为头疼的几何证题中辅助线的作法。 例1、如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC 的角平分线，求证：AC＝AB＋BD

分析：要证AC＝AB＋BD，则需把AC分成两条线段，然后分别证它样与AB、BD相等，所以可在AC上截取AE＝AB，再证BD＝CE。

证明：在AC上截取AE＝AB, 连DE，

∵AD是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD＝∠D A E ∵AE＝AB，AD＝AD ， ∴△ABD≌△AED

∴BD＝DE，∠B＝∠AED ， ∵∠AED=∠C＋∠CDE ，∠B＝2∠C ∴∠C＋∠CDE＝2∠C， ∴∠CDE＝∠C ∴ED＝CE ， ∴BD＝CE，∵AE＝AB ∴AC＝AB＋BD.

小结：本题在角平分线的两侧构造了两个轴对称的两个三角形。通常称之为截长，本题也可在AB延长线截取构造与△ACD对称的三角形，我们通常把这种方法称之为补短。所以有角平分线问题的常用辅助线是在角的边上截长或补短，构造对称三角形来解决。

例2、如图2，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高线，求证：CD＝AB＋BD

分析：本题与上题结论类似，换成在DC上截DE＝BD，证AB＝CE

证明：在DC上截DE＝BD，连AE，

B⊥

D图2EC⊥

AB⊥

D图1 ⊥A⊥E C⊥

∵AD是BC边上的高线， ∴∠BDA＝∠CDA 又∵AD＝AD ， ∴△ABD≌△AED

∴AB＝AE，∠B＝∠AED ， ∵∠AED=∠C＋∠CAE ，∠B＝2∠C ∴∠C＋∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠C ∴AE＝CE ， ∴AB＝CE，∵DE＝BD ∴CD＝AB＋BD.

小结：本题实质上是将高线左边的三角形沿高线翻折到高线的另一边，也是构造成轴对称来解题，与高线有关的问题常借助上述方法来作辅助线。

例3、如图3，在△ABC中，∠ACB＝45°，∠A=90°， BD是∠ABC的角平分线，CH⊥BD，交BD的延长线于H，求证：BD＝2CH

分析：由CH⊥BD ，BD是∠ABC的角平分线可以看到左下的三角形呼之欲出，只要将CH、BA延长即可构造出两个关于BH成轴对称的两个三角形。

证明：延长CH、BA交于点E。 ∵CH⊥BD ，BD是∠ABC的角平分线 ∴∠CHB＝∠EHB，∠CBH＝∠EBH， ∵BH=BH ，∴△CBH≌△EBH

∴CE＝2CH，∵∠ACB＝45°，∠CAB=90°∴AC＝BC

∠CAB=∠CAB ＝90°，∴∠E+∠ECA =90°，∵CH⊥BD， ∴∠E+∠EBH =90°

∴∠ECA=∠EBH，∴△ECA ≌△DBH，∴CE＝BD，∴BD＝2CH

小结：当条件中同时出现垂线、角平分线或中线中的两个条件常补全图形，成一个等腰三角形。

E H D A 图3 B C