三角形综合
中考要求
内容 基本要求 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形略高要求 会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题 较高要求 三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心 多边形 了解多边形与正多边形的概念；会用多边形的内角和和外角和公式解决计算了解多边形的内角和及外角和问题；能用正三角形、正方形、正六边形进公式；知道用任意一个三角形、行镶嵌设计；依据图形条件分解与拼接简单四边形或正六边形可以进行镶嵌；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系 图形．
例题精讲
三角形
１ 三角形的基本概念：
⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．
三角形具有稳定性．
⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．
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在同一个三角形内，大边对大角．
⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类：
直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形(按角分)锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形(按边分)底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形(正三角形):有三边相等的三角形
注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．
三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．
２ 与三角形相关的边 ⑴三角形中的三种重要线段
①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形
的角平分线．
注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部． ②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；
钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．
画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系
①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．
②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a、b、c三条线段可组成三角形
bcabc两条较小的线段之和大于最大的线段．
注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．
板块一 三角形的边
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【例1】 已知三角形中两条边的长分别为a、b，且ab，求这个三角形的周长l的取值范围( )
A．3al3b B．2(ab)l2a C．2abl2ba D．3abla2b
【例2】 已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值
为( )．
A．8 B．7 C．6 D．4
【例3】 将长为15dm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有多少种．
【例4】 如图，四边形ABCD中，AB3，BC4，CD9，ADa，则a的取值范围
A3B4C9aD
【例5】 (祖冲之杯数学邀请赛试题)如图所示，在ABC中，ADBC，D在BC上，ABCACB，P是AD上
的任意一点，求证ACBPABPC．
APBDC
【例6】 点C1、A1、B1分别在ABC的边AB、BC和CA上，且满足
【例7】 AC1:C1BBA1:AC=CB1:B1A1:3，求证：ABC的周长p与A1B1C1的周长p'之间有不等式11 pp'．
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C
板块二 三角形的角
【例8】 如图，△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶点画三角形，如果每个
三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为 ．
CAB【例9】 如图，ABCDEFGA．100 B．120 C．150 D．180
GFE
DCAB
【例10】 如下图，CGE，则ABCDEF ．
AECGBDF
11【例11】 如图，△ABC中，C90，BADBAE，ABDABF，则D ．
33EADCBF
【例12】 如图，在△ABC中，A，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC的平分线与
的平分线相交于点A2，得A2；……A2008BC的平分线与A2008CD的平分线相交于点A2009，得ACD1A2009，得A2009= ．
AA1A2BC
【例13】 在ABC中，三个内角的度数均为整数，且ABC，4C7A，则B的度数为 ．
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【例14】 如图，△ABC中，BAC90，ADBC，ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分DAC．给出
下列结论：①BADC②AEFAFE③EBCC④AGEF，其中正确的结论 是 ．
AEFBDGC
【例15】 已知三角形的三个内角分别为、、，且≥≥，2，则的取值范围是 ．
ABC中，A是最小角，B是最大角，且2B5A，若B的最大值是m，最小值是n．则【例16】
mn ．
【例17】 （1）如图a，ADBC于D，AE平分BAC，试探寻DAE与C、B的关系．
（2）如图b，若将点A在AE上移动到F，FDBC于D，其他条件不变，那么EFD与C、B是否还有（1）中的关系？说明理由．
AFBBAE图aDCED图bC
【例18】 小明在学习三角形的知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，A90，BD平分ABC，M为直线AC上一点，MEBC，E为垂足，AME的平分线交直线AB于点F．
MAFAMFBEDCAFBDCBDECME
（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 ．
（2）如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ．
（3）如图③，M为边AC延长线上一点，则点BD、、（2）、MF的位置关系是 ．请你完成（1）（3）三个命题，并证明这三个结论．
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【例19】 把一副学生用的三角板，如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重
合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于F，斜边AB交x轴于G,O是AC中点，AC8． （1）把图1中的Rt△AED绕A点顺时针旋转度得图2，此时△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F、H、B三点的坐标．
（2）如图3，设AHF的平分线和AGH的平分线交于点M，EFH的平分线和FOC的平分线交与点N，当△AED绕A点转动时，NM的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值． F E 30°45°GOCD图1BD图2xE30°45°FHOCBND图3GxEFHOCByAyAMyA30°45°Gx
【例20】 如图，在△BCD中，BE平分DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分DCG，且EC、DB的延长线
交于A点，若A30，DFE75． （1）求证：DFEADE． （2）求E的度数．
（3）若在上图中作CBE与GCE的平分线交于E1， 作CBE1与GCE1的平分线交于E2，作CBE2，与GCE2 的平分线交于E3，以此类推，CBEn与GCEn的平分线交于En1， 请用含有n的式子表示En1的度数．
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ABFDCGE
【例21】 （1）如图①，ADC40，ABC30，BAD的平分线AE与BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，
求AEC的大小；
（2）如图②，BAD的平分线AE与BCD的平分线EC交于点E，ADCm，ABCn， 求AEC的大小；
（3）如图③，BAD的平分线AE与BCD的平分线CE交于点E，则AEC与ADC、ABC之间是否任存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．
DCEBA图①MSDC模块化分级讲义体系 DEDECCBAB图②图③A
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