谈谈矩阵条件数及其几种计算方法

谈谈矩阵条件数及其几种计算方法

摘要：矩阵条件数在数值分析领域中有重要作用，特别是在线郑治波性方程组和矩阵特征值扰动分析中有广泛的应用，条件数的大小就决定了方程组解的相对误差的大小，用条件数来判断方程组的解对于误差的敏感度是很有用的，它反映了方程组的状态。

关键词：矩阵 条件数 估计

在生产实践和企业管理等实际问题中，经常会碰到许多大型线性方程组 的求解问题，其系数阵a总是以抽样统计数据或以实验数据为基础。统计技术的高低，实验仪器分辨率的高低等等都将给数据带来误差，而这种不可避免的误差，有时甚至是微小的变动也会引起解的极大波动，这时就称系数阵为“病态矩阵”。对于这种“病态矩阵”一般的算法很难得出理想的结果。我们知道，算法对误差的传播和积累有很大影响，为了减少这种影响，算法的选取是很重要的，这就是通常所说的算法的稳定性问题。另一方面，方程组本身对计算中误差的积累也起着极其重要的作用，系数阵a的条件的好坏至关重要，如果问题是病态的，那么即使选择良好的计算方法，也不能指望有好的结果出现，因此判别原始方程组是否病态是十分重要的。怎样有效地判别矩阵是否为病态矩阵？近几十年国内外许多从事计算数学的学者都在进行摸索研究，得知“条件数”与矩阵病态有密切关系。

“条件数”这一名词在上世纪五十年代初出现，主要用来衡量矩阵的病态程度，条件数越小，则矩阵的非奇异程度越高，称矩阵是良态的；条件数越大，则矩阵的非奇异程度越差，称矩阵为病态的。另外，在数值分析中，常常要讨论矩阵扰动对一个给定矩阵的特征值的影响，条件数可以衡量矩阵 的特征值经过扰动的偏离度，也是衡量矩阵a关于特征值问题是否良态的重要标志。然而由于矩阵的阶数较大时， 的计算量大导致应用定义 计

算矩阵条件数十分困难，因此，矩阵条件数的估计对研究各种矩阵问题有着重要意义。

1.条件数的提出

（1） 线性方程组 的条件数

考虑线性方程组 的求解，其中

用精确的计算求解得：

若对常数列加入 的摄动量，即考虑 ， 所得解 与 之差是 .显然，对方程组的右端向量只不过改变了 ，而解却相差1806 .又如，设 ， ， ，由计算可知方程组 和方程组 的解分别为 和 .由此可见，系数矩阵 只产生 的误差而解却产生300000 的误差。

从上面的例子看出，虽然 和b经过很小的扰动，但方程组的解却发生了很大的偏差。造成这种结果的原因是什么呢？ 解变化的大小是由方程组本身的固有属性所决定，这种属性称为方程组的条件数问题。可见，条件数的大小在一定程度上表征了求解该方程组过程中舍入误差影响的大小。为此，就有必要弄清楚当系数矩阵和右端向量有一个微小的变化时，方程组的解是如何变化的。用 ， ， 分别表示系数矩阵 ，右端向量b及解 的微小变化，则解的相对误差可以有如下估计，分两种情况来考虑：

（1）考虑右端项的扰动 ，而 未受扰动，则 ，从而

所以解的相对误差可作如下估计：

（2）考虑系数矩阵a的影响，解的相对误差可作如下估计：

从上面的讨论看到，解的误差不仅与扰动有关，而且和矩阵本身的性质即量 有关。

（2） 特征值问题的条件数。

在矩阵分析中，常常要讨论矩阵扰动对一个给定的矩阵特征值的影响，一般情况下，用矩阵表示某一问题时，不可避免的存在误差，从而形成某种扰动。设 是计算误差所引起的矩阵 的扰动矩阵，则 的特征值和 的特征值有如下关系：

定理1[1]：设 为可对角化矩阵，则存在非奇异矩阵 ，使

那么 的特征值 位于 个圆盘：

的合集内，其中 是 的特征值。

这个定理说明，扰动后的矩阵 的特征值 与 的特征值 的偏离度不超过 ，其中 是扰动矩阵 的度量。这说明矩阵 的特征值经过扰动后，偏离量不超过 的 倍。因此， 可以衡量矩阵 的特征值的敏感性。因为使（2）式成立的变换矩阵不是唯一的，令 则 唯一，称其为矩阵 的特征值条件数。

2、条件数的相关概念及性质

（1） 条件数的相关概念

定义1 [2]：设 是复数域 上的线性空间，如果函数 满足下列三个条件：（1）正定性： ，当且仅当 时， ；

（2）齐次性： ；

（3）三角不等式： ，

则称 为 上的范数。

定义2 [3] 如果函数 满足下列四个条件：（1）正定性：（2）齐次性： ；

（3）三角不等式： ；

（4）相容性： ，

则称 为复线性空间 上的矩阵范数，也记为 .

定义3[4]：设a=（ ） ，定义

， （ 的1-范数或列范数）

， （ 的无穷范数或行范数）

当且仅当 时，

；

， （ 的2-范数或谱范数）

则可证它们均为 上的矩阵范数。

定义4[5]：对于非奇异矩阵 ，称 为矩阵 的条件数。（其中 表示定义在 上的某种矩阵范数， 有时也详记为 ）。

（2）、条件数的性质

定理2 [6]：设 非奇异，则

3.矩阵条件数的几种估计（计算）方法

（1）按定义计算矩阵条件数

2中给出了矩阵条件数的定义 ，对有些矩阵我们可以直接根据定义来计算它的条件数。

上面的两个例题中给出的矩阵 是2阶的或3阶的，可以应用定义计算其条件数，但是当矩阵的阶数较大时， 的计算量大，导致应用定义计算矩阵条件数十分困难，而且对病态矩阵而言求 本身就包含着极大误差，因此应用定义计算矩阵的条件数是不现实的。所以近似地估计矩阵的条件数是十分必要的。

（2）实对称矩阵条件数的计算（估计）方法

对于有些特殊的矩阵，可以根据它们的特点给出相应的条件数的估计方法。

定理3 [7]：若矩阵 是实对称矩阵，即 ，其中c= （ ），则

即实对称矩阵的条件数不小于列向量系的最长与最短模之比的平方。

例 设矩阵 ，

显然 ， 其中 . 由定理3.2.1的估计方法得： .

定理4[8]： 设 非奇异，且 是实对称正定矩阵，则矩阵 的条

件数 . （其中 是实对称正定矩阵a的最大和最小特征值）。

例 设矩阵 ，计算得出 的最大特征值 的最小特征值 则由定理3.2.2知矩阵 的谱条件数为 。

利用定理3的方法计算矩阵条件数，需要求出矩阵的最大和最小特征值，对于阶数不高的情况下，可以用雅可比法求出矩阵的所有特征值来求此比值，对于高阶矩阵，可以用幂法和反幂法分别求得矩阵的最大和最小特征值，取比值而得之。

参考文献：

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[8] 王永茂. 矩阵分析[m]. 北京：机械工业出版社， 2005.8.

作者简介：张红梅（1981—），女，云南保山人，保山学院数学学院，讲师，研究方向：高等数学教育与应用数学。