维普资讯 http://www.cqvip.com 第４６卷第４期 吉林大学学报（理学版） ＶｏＩ．４６ Ｎｏ．４ ２００８年７月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＪＩＬＩＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＳＣＩＥＮＣＥ ＥＤＩＴＩＯＮ） Ｊｕｌｙ ２００８ 研究快报 真实经济周期内投资与消费的最优化方法 李伟 ，吕显瑞 （１．吉林大学数学学院，长春１３００１２；２．吉林大学商学院，长春１３００１２） 摘要：在经济周期波动由技术冲击引发和期末资本存量不小于期初资本存量的条件下，基于 离散时间系统的最大值原理给出了真实经济周期内最优投资与最优消费的求解方法． 关键词：真实经济周期理论；哈密顿函数；最大值原理 中图分类号：Ｏ１５３．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１．５４８９（２００８）０４－０６４９－０２ Ｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ａｎｄ Ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ｗｉｔｈｉｎ ａ Ｒｅａｌ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｃｙｃｌｅ ＬＩ Ｗｅｉ ，ＬＯ Ｘｉａｎ．ｒｕｌ‘ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００１２，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｂ￣ｉｎｅｓｓ，Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００１２，Ｃｈｉａｎ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｃｏｎｏｍｉｃ ｃｙｃｌｅ ｂｅｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｈｏｃｋ ｏｆ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｉｆｎａｌ ｃａｐｉｔａｌ ｓｔｏｃｋ ｂｅｉｎｇ ｎｏ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｉｎｉｔｉａｌ ｃａｐｉｔａｌ ｓｔｏｃｋ ａｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ａｎｄ ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｒｅａｌ ｅｃｏｎｏｍｉｃ ｃｙｃｌｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｅａｌ ｂｕｓｉｎｅｓｓ ｃｙｃｌｅ ｔｈｅｏｒｙ；Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ 在真实经济周期理论［１ｌ２］背景下，研究当经济周期波动为由技术冲击引起及期末资本存量不小于 期初资本存量的条件下，周期内最优人均资本投入与最优人均消费问题，目的在于寻找一条最优投资 Ⅳ 与消费的路径，使得在满足约束的条件下周期内的总效用达到最大．即ｍａｘ∑Ｕ（：ｌ ｃ ），受约束于： ＋Ｃ ≤ 一ｌ（ １）＋（１—８）ｘ ．１＝Ｆ ．１（ ．１）， ，Ｃ ≥０， Ｖ ｋ＝１，…，，ｖ， 且 Ⅳ≥ ０， 其中 （戈）为生产函数，６表示资本折旧率．同时还假设 （ ）满足稻田条件：ｌｉ （ ）：∞， ｌｉｍｆ （ ）＝０．稻田条件消除了实际资本投入持续性增长的可能性，保证经济路径不发散．在本文的 模型中，经济的周期性变化表现在生产力水平随时间发生变化．此外，还做如下假设： （Ｈ１）设０＜６＜１； （Ｈ：）效用函数Ｕ（Ｃ）是二阶连续可微的、严格递增的凹函数； （Ｈ３）生产函数 （ ）（ｋ＝０，１，…，Ｎ一１）是二阶连续可微的、严格递增的凹函数． 为寻求满足上述约束的最优解，可把此问题建模为如下最优控制问题： 状态方程： ＝Ｆ （ ）×／Ｚ ＝Ｆ （ ，／Ｚ ）， 其中 表示ｋ时刻投入生产的总资本数量，／Ｚ 表示ｋ＋１时刻用于投入生产的资本占总资本的比例． 收稿日期：２００８－０５－０８． 作者简介：李伟（１９７７～），女，汉族，硕士，从事最优化理论的研究，Ｅ—ｍａｌｌ：ｗ＿ｌｉ＠ｊｌｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．联系人：吕显瑞（１９６０～），男， 汉族，博士，教授，从事运筹学及其应用的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｖｘｒ＠ｊｌｕ．ｅｄｕ．Ｃｌ１． 基金项目：国家自然科学基金青年基金（批准号：６０５０３０１６）． 维普资讯 http://www.cqvip.com 吉林大学学报（理学版） 第４６卷、 控制约束：“ ∈ ：［０，１］；边界条件： ＝‰≤ ；指标函数：∑Ｕ（ｘ ，Ｕｋ）． 记Ⅳ期复合生产函数为 Ｇ （ ｏ，ｌＺｏ，ｌＺ１，…，ｌＺ 一１）＝Ｆ 一１（Ｆ 一２（…（Ｆ１（Ｆｏ（ ｏ）×１１，ｏ）×ｌＺ１）…）ｌＺ 一２）ｌＺ 一１． （１） 定理１考虑模型 『 ＋１＝Ｆ （ ，ｌＺ ），ｌＺ ∈Ｕ， Ｉ‰： ． （２） 给定初始值 。，若Ｇ （ ，１，…，１）≥ｘ。，则必存在某一决策序列（一ｌＺ。，一ｌＺ。，…， 一。），使得 ＝Ｇ （ ， ，一ｌＺ 一，瓦 一。）：ｘ。；若Ｇ （ ，１，…，１）＜ 。，则任何决策序列都无法使模型（２）经Ⅳ步回 到初始点 ． 定理１保证了当初始值满足某些条件时，其决策空间非空．即保证了最优控制问题的容许控制集 非空．为了寻找使指标函数达到极值的最优决策序列，可使用最大值原理解决该问题 ］． ｋ一１ 首先，引入记号Ｔｋ＝∑Ｕ（ｘ ，ｌＺｉ）， ＝０．定义２维的状态向量Ｙ＝（ ， ）：Ｙｏ：（‰，０）， Ｙ ＝（ 一１（ ，ｌＺ ），Ｔｋ），Ｙ…＝Ｔｋ（Ｙ ，ｌＺ ）＝（ ，Ｔｋ＋１）． 记Ｇ （ ，ｌＺ ，ｌＺ…，…，ｌＺⅣ一１）＝ 一。（ 一：（… ＋。（ （ ，ｌＺ ），ｌＺ…）…），ｌＺ 一 ），对任意的 ∈Ｘ ，有 Ｕ （ ☆） ＝｛ Ｊ ｌＺ｝∈［０，１］， ］ｌＺ ＋１，ｌＺ ＋２，…，ｌＺ 一１∈［０，１］，ｓ．ｔ．，Ｇ 一 （ ，ｌＺ ，ｌＺ ＋ｌ，…，ｌＺⅣ一１） ＝ ｏ｝， Ｘｋ（ ）＝｛ ｌ ＝＿Ｆ （ ¨，ｕ¨），ｕ¨∈Ｕ （ ）｝， 对于任意给定的Ｙ ∈ 一。，有 （Ｙ ）＝｛Ｙ Ｊ Ｙ＝ 一，（Ｙ¨，“¨），“ ∈ 一。（ ）｝， ｍｐ （ ｌ Ｙ 一１）＝ｍａｘ｛Ｔｋ（“ 一１）ｌ“ 一１∈Ｕ 一１（ 一１），Ｔｋ＝ 一１＋Ｕ（ｘｋ～１，Ｕｋ一１）， ＋１＝Ｆｋ（ ，Ｕｋ）｝， ＭＰ （ ） ＝ｍａｘ｛Ｔｋ（・）ｌ“ｏ∈ ，Ｆｏ（ ｏ，“ｏ） ＝ １，“１∈Ｕ１（ １），Ｆ１（ １，“１） ＝ ２，…， ｌＺ １∈Ｕｋ１（ 一１），Ｆ 一１（ 一１，ｌＺ 一１）＝ ｝． 定义１设 ∈Ｒ ，若Ｖ 。， ：∈Ｘ和Ｖ Ａ∈［０，１］，存在 ≥０，使得Ａ ＋（１～Ａ） 一 ∈Ｘ，则集 ＸＣＲ 称为 方向凸的． 定理２设｛“ ｝，｛ ｝为模型的最优控制序列及相应的最优轨迹，若下述假设成立： （１）ｕ（ｘ ，ｌＺ ）和Ｆ （ ，ｌＺ ）在其定义域内对 的导数存在； （２）ＭＰ （ ）在点 的某一邻域Ｂ（Ｘｋ ， ）内可微； （３）ｍｐ （ Ｊ Ｙｋ 一 ）在Ｂ（Ｘｋ ， ）内可微； （４） 为 （ 一 ）的内点，Ｖ 一 ∈ 一 ， （Ｙ 一。）是 ＝（０，１） 方向凸的；则存在 （ｋ＝０，１，…，Ｎ一１）和线性哈密顿函数 Ｈｋ（ ，“ ， ＋１） ＝Ｕ（ ，“ ）＋ ＋１Ｆ （ ，“ ）， 使得下述结论成立： （１） ：盟 ； ｏ （２）Ｈ （ ，Ｕｋ ， 。）＝ｍａｘ Ｈ （ ，“ ， ■。）． ｕｋ∈ｂｋｌ ｅ ｉ 参考文 献 ［１］ Ｒｅｂｅｌｏ Ｓ．Ｒｅａｌ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｃｙｃｌｅ Ｍｏｄｅｌｓ：Ｐａｓｔ，Ｐｒｅｓｅｎｔ，ａｎｄ Ｆｕｔｕｒｅ［Ｊ］．Ｓｃａｎｄｉｎａｖｉａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，２００５： １０７（２）：２０３－２１６． ［２］戴维・罗默．高级宏观经济学［Ｍ］．苏剑，罗涛，译．北京：商务印书馆，２００１． ［３］ 吴沧浦．最优控制的理论与方法［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０００． ［４］龚六堂．动态经济学方法［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００２．
