排列组合常见解题错误剖析
排列组合是高中数学中较难学的内容之一.它与其他知识联系较少，内容比较抽象.解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高.通过多年的教学我们会发现，学生解决排列组合问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析学生解题中的这些常犯错误，充分暴露其错误的思维过程，使学生认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率。学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：
1、“加法”、“乘法”原理混淆；2、“排列”、“组合”概念混淆；3、重复计数；4、漏解.
本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：
1.“加法”、“乘法”原理混淆
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类方法，这n类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.
【例1】50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.（注：所选高考题为理科题，以下同）
【错解】有
3241(C4+C46)(C4+C46)＝46575种.
【错因】分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.
【正解】分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法原理）
32C4C46种；第二类，有4件次品的抽法同理有
41C4C46种，最后由加法原理，不同的抽法共有
32C4C46+
41C4C46＝4186种.
【例2】从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（ ）
（A）140种 （B）84种 （C）70种 （D）35种
【错解】有
1221C4C5C4C5＝300种选法.
【错因】同例1.
【正解】（合理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有
1221C4C5+C4C5＝70种选法.所以选C .
2．“排列”、“组合”概念混淆
界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.
【例3】（题目见上例）
【错解】有
1221A4A5+A4A5＝140种选法，答A .
【错因】元素与顺序无关，应是组合问题.
【例4】有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4
人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.
(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040
【错解一】分三步完成：首先从10人中选出4人，有
4C10种方法；再从这4人中选出二人承担任
42222C10A4AAA422务甲，有种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有种方法，由乘法原理，不同的选法共有
＝5040种，选D.
【错因】“排列” 、“组合”概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，
22AC44即应为.
422C10CC42【错解二】分三步完成，不同的选法共有＝1260种，选A.
【错因】剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即C2应为A2.
22422C10CA42【正解一】不同的选法有＝2520种.
【正解二】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有
211C10C8C7＝2520种.
【正解三】从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有
2C10A82＝2520种，选C.
【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.
【错解】有C4=4 种.
3【错因】3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题.
【分析】对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”.
【正解】有
33C4A33A4＝24（或=24）种植方法.
3、重复计数出增解
【例6】（题目同例2）
【错解】从甲、乙型机中各取1台，再由余下的7台机子中取1台，有选A.
111C5C4C7=140种选法.所以
【错因】若从甲型机中选出的是a机和b机，依错解会出现先取a机后取b机和先取b机后a取机两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计数，即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式，产生了相同的结果.
111C5C4C7=1402【正解一】（注意到错解正好多算一倍）.
【正解二】有
1221A4A5+A4A5=70种选法,所以选C.
【例7】四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有________种.
【错解一】从4只盒子中取出三只，有C4种方法，从4个球中取出3个放入取出的三只盒子内，
11333CCACA33有4种方法，再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内，有种放法，所以共有44＝288
3种放法.
213CC44【错解二】分三步完成.首先取出3个盒子，有种方法；再把球分为三组，有C2种方法；最
后把三组球排列后放入盒子，有
A333213ACCC3种方法.由乘法原理，共有442＝288种方法.
【错因】同上题.
31 C34A4C3 2【正解一】在错解中消除重复，有＝144种放法.
23C4【正解二】从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有A4＝
144种放法.
42AC44【正解三】将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒（自然出现一空盒），有
＝144种放法.
【例8】（课本变式题）7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？
【错解一】排在排头的有除甲之外的余下的排中间有
A551A6种情形，排在尾的也有除乙之外的
115A6A6A51A6种情形，两端排好后
种情形，所以不同的排法有=4320种.
【错因】排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了5
A55种情形.
【正解一】减去重复数，应为
115A6A6A5-5
A55＝3720种.
【错解二】头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有
A55A52种排法，余下的人排中间有
A66种方法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有
A52A55A52A55种；又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有种，
因此不同的排法共有+2
A66＝3840种.
【错因】甲排尾且乙排头已包含在甲排尾或乙排头的情形中，因此重复计算了
A55种排法.
【正解二】减去重复数，应为
A52A55+2
A66A55-＝3720种排法.
重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错.
4、思维不严密而漏解（遗漏有关情形）
【例9】（题目同例8）
【例10】A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的站法有（ ）种.
(A) 24 (B) 60 (C) 90 (D) 120
4A【错解】把A、B“捆绑”为一个元素（B在A的右边），与C、D、E一起全排列，有4＝24种
站法，答A.
【错因】审题不严，未注意到“A、B可以不相邻”而漏解.
4A4【正解一】按B的位置分为四类：B排第一、二、三、四位时的排法数分别是、3A3、2A3、A3，
333
4A4所以共有+3A3+2A3+A3 =60种排法，选B.
333【正解二】利用对称关系（注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的），有
A552=60(种)，选B .
【例11】四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.
(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141
【分析】考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式150而错选A；若只考虑到情形①、②，就会由算式①、③，就会由算式4
C644C104C10－4
C64＝
4C10－4
C64－3＝147而错选B；若只考虑到情形
4C10－4
C64－6＝144而错选C；只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果－
－6－3＝141，选D.（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）
5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面
【例12】同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）
(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种
【正解一】A的卡分给B、C、D三人，有
1C3种方法；设B拿到A的卡，则B的卡可分给A、C、
111C3C3C11C1D三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有种方法，所以共有＝9种不
同的分法.
【正解二】设A先拿卡有
1C3种方法；然后由A拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种方法；余
11C3C3C11下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有＝9种不同的分法.
或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.
错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.
6、应用对称关系不当
一些排列组合问题，可应用对称关系简便地解决，但首先应判断清楚该问题是否具有对称性.
【例13】由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数.
53A5【错解】（应用对称关系）有4=90个.
【错因】1与2在这个五位数中的位置有12、1╳2、1╳╳2、1╳╳╳2四种情形，故误以为1、2不
3相邻的情形有占总数的4，而实际上，这四种情形下的五位数的个数是不同的，不具有对称性.
【正解】：有
A33A4224A55A2（或-A4）＝72个.
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