挑战中考

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

① 求S与t的函数关系式；

② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

图1

思路点拨

1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．

2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．

3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．

4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．

满分解答

（1）直线y4x4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，3OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．

sinB（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，

如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时

44，所以NHt． 5511424SOMNH(2t)tt2t．

22555定义域为0＜t≤2．

如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时

S定义域为2＜t≤5．

11424OMNH(t2)tt2t． 22555

1

图2 图3

②把S＝4代入S22424tt，得t2t4．解得t1211，t2211（舍去负值）．因5555此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时t211．

③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM 5t，cosB得t35t3．解，所以

5t525． 825或者t5时，△MON为直角三角形． 8如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t5．不存在∠ONM＝90°的可能． 所以，当t

图4 图5

设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．

1（1）已知直线①yx2；②yx2；③y2x2；④y2x42和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．

图1

答案

（1）直线①和③是点C的直角线．

（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么如图2，当OP＝6时，l1：yBCPO2PO，即．解得OP＝6或OP＝1． CPOA7PO31x6， l2：y＝－2x＋6． 2 2

1如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1， l2：yx1．

3

图2 图3

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 图3

满分解答

（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G． 在Rt△BEG中，BE1AB2，∠B＝60°， 2所以BGBEcos601，EGBEsin603．

所以点E到BC的距离为3．

（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点． 因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．

3

①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变． 过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q． 在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝3．

在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x． 所以BG＝PQ＝1．

因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2． 在Rt△PNH中，NH＝3，PH＝2，所以PN＝7． 在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4． 因此△PMN的周长为3＋7＋4．

图4 图5

②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．

如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上．在Rt△PCM中，PM＝3，∠PCM＝30°，所以MC＝3． 此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．

如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝3，x＝GM＝GC－MC＝5－3． 如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°． 又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合． 此时x＝4．

综上所述，当x＝2或4或5－3时，△PMN为等腰三角形．

图6 图7 图8

4

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图1 图2

思路点拨

1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．

满分解答

4（1）QB＝8－2t，PD＝t．

3（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．

过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．

AE2310在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． 在Rt△APE中，cosA ，所以t．

APt53当PQ//AB时，

CQCPCQ，即CBCA86103．解得CQ32．

96321016． 9315（3）以C为原点建立直角坐标系．

如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)． 如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)． 直线EF的解析式是y＝－2x＋6．

6t6t如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．

22所以点Q的运动速度为

所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．

5

图4 图5 图6

在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．

（1）求点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2

思路点拨

1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础． 2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．

满分解答

(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3． 在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝35，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)． (2) 因为OE＝2EB，所以xE22xB2，yEyB4，E(2,4)． 336

b5,1设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得k，b5．所以

22kb4.直线DE的解析式为y(3) 由y1x5． 21x5，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝55． 2①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,

55)，点N的坐标为(－5,)． 22②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)． ③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P． 由△NPO∽△DOF，得

NPPONONPPO5，即．解得NP5，PO25．此DOOFDF51055时点N的坐标为(25,5)．

图3 图4

如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y1xb交折线OAB于点E． 2（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

7

思路点拨

1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．

2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．

3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．

4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．

满分解答

(1)①如图2，当E在OA上时，由y＝

1xb可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE211OEOC2b1b． 22②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入y1xb可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，23513BD＝5－2b．把x＝3代入yxb可知，点E的坐标为(3,b)，AE＝b，BE＝b．此时

2222S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD ＝3131513(b)(b)(52b)1(2b2) 222225b2b．

2(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．

作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．

设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得m

55．所以重叠部分菱形DMEN的面积为． 44

图2 图3 图4

8

如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； ②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

图1 备用图

思路点拨

1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点． 2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．

3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．

满分解答

(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，ADACcosA3(2) ①如图2，当F在AC上时，0x39． 5594x．所以．在Rt△AEF中，EFAEtanA53y12AEEFx2． 23如图3，当F在BC上时，

93≤x5．在Rt△BEF中，EFBEtanB(5x)．所以y1315AEEF2xx ．2822②当0x时，yx的最大值为；

532593215357575x(x)2当≤x5时，yx的最大值为．

588823232575因此，当x时，y的最大值为．

232

9

图2 图3 图4

(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．

先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此

SAEF2111426． AEAFsinAx(6x)xx(6)．解方程x(x6)3，得x352225516在3≤x≤5范围内（如图4）因为x3，因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分． 2

如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．

（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

图1 图2

思路点拨

1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．

2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备． 3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．

4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．

10

满分解答

（1）Q(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．

（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．

在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．

（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N．因为PM//BE，所以3434此AMt,PMt．于是PNOM10t,ONPMt．

5555APAMMPtAMMP，即ABAFBF0168．因

113347设△OPQ的面积为S(平方单位)，那么SOQPN(1t)(10t)t2t5，定义域为0

2251010≤t≤10．

因为抛物线开口向下，对称轴为直线t(

9453，)． 15105295（4）当t或t时, OP与PQ相等．

3134747，所以当t时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为66

图3 图4

如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行； （2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？

（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

答案

（1）当M、N都在O右侧时，所以

OM24tON64t2 12t，1t，

OA2OB63OMON．因此MN与AB不平行． OAOB11

（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．

②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．

ONOA③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么． OMOB所以

4t62．解得t＝2． 4t26

图2 图3 图4

（3）①如图2，OM24t，OH12t，MH3(12t)．

NHONOH(64t)(12t)52t．

②如图3，OM4t2，OH2t1，MH3(2t1)．

NHONOH(64t)(2t1)52t．

③如图4，OM4t2，OH2t1，MH3(2t1)．

NHOHON(2t1)(4t6)52t．

综合①、②、③，sMN2MH2NH2

(52t)216t232t2816(t1)212． 3(2t1)所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．

2

如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． （3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？

图1

12

思路点拨

1．用含有t的式子表示线段的长，是解题的关键．

2．第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况．

3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．

满分解答

（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为y43x． （2）①当M在OC上，Q在AB上时，0＜t≤52．

在Rt△OPM中，OP＝t，tanOMP43，所以PM43t． 在Rt△AQE中，AQ＝2t，cosQAE35，所以AE65t．

于是PE865tt815t．因此S12PEPM215t2163t．

②当M在OC上，Q在BC上时，52＜t≤3．

因为BQ2t5，所以PF11t(2t5)163t．

因此S12PFPM2t2323t． ③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和t2t115，解得t163． 因此当M、Q都在BC上，相遇前，3＜t≤163，PM＝4，MQ16t2t163t． 所以S12MQPM6t32．

图2 图3 图4

（3）①当0＜t≤521622时，S15t21603t15(t20)23．

因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，

所以当t52时，S最大，最大值为856．

②当5＜t≤3时，S2t232t2(t8)21282339．

因为抛物线开口向下，所以当t83时，S最大，最大值为12． ③当3＜t≤163时，S12MQPM6t32．

13

因为S随t的增大而减小，所以当t3时，S最大，最大值为14． 综上所述，当t8128时，S最大，最大值为． 39

如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；

另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 图1

思路点拨

1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．

2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况． 3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．

4．本题运算量很大，多用到1∶2∶3，注意对应关系不要错乱．

满分解答

（1）在Rt△ABC中，tanBAC所以∠BAC＝30°．

如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时， 在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC=23，

所以BF＝2．因此PF＝3－2＝1，运1． 图2

动

时

间

t＝

BC233， AB63（2）①如图3，当0≤t＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE，S23t43． ②如图4，当1≤t＜3时，重叠部分为五边形BQMNE，S3t43t33． ③如图5，当3≤t＜4时，重叠部分为梯形FMNE，S43t203．

14

2④如图6，当4≤t＜6时，重叠部分为等边三角形EFG，S3(t6)2．

图3 图4 图5

（3）等腰△AOH分三种情况：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝HO． 在△AOH中，∠A＝30°为定值，AO＝3为定值，AH是变化的．

△AEH的形状保持不变，AH＝3AE．当E由O向A运动时，AE＝3－t；当E经A折返后，AE＝t－3．

图6 图7 图8

①当AO＝AH时，解3(3t)3，得t33（如图7）； 解3(t3)3，得t33（如图8）．

②当OA＝OH时，∠AOH＝120°，点O与点E重合，t＝0（如图9）． ③当HA＝HO时，H在AE的垂直平分线上，AO＝3AH＝3AE． 解3(3t)3，得t＝2（如图10）；解3(t3)3，得t＝4（如图11）．

图9 图10 图11

15

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）操作发现：

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．

①AF＝AG＝

1AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME． 2（2）数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；

（3）类比探究：

在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．

请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．

思路点拨

1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．

2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线． 3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？

满分解答

（1）填写序号①②③④．

（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．

因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高， 所以F、G分别是AB、AC的中点．

又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．

所以MF11AC，MGAB，MF//AC，MG//AB． 22所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．

所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．

因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，

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所以EG11AC，DFAB． 22所以MF＝EG，DF＝NG．

所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME． （3）△MDE是等腰直角三角形．

图4 图5

如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y4x 的图象交于点A，且与x轴交于点B． 3（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况． 满分解答

yx7,x3, 所以点A的坐标是(3，4)．

（1）解方程组 得4yx,y4.3令yx70，得x7．所以点B的坐标是(7，0)．

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（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APRS梯形CORAS△ACPS△POR8，得

111．如图3，t28t120．解得t＝2或t＝6（舍去）（3+7t)44(4t)t(7t)．整理，得8222当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．

因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．

如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．

35520在△APQ中， cosA为定值，AP7t，AQOAOQOAORt．

533341520如图5，当AP＝AQ时，解方程7tt，得t．

833如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程7t2[(7t)(t4)]，

得t5．

1AQ5203如7，当PA＝PQ时，那么cosA2．因此AQ2APcosA．解方程t2(7t)，得

335APt226． 43综上所述，t＝1或

221或5或时，△APQ是等腰三角形．

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图5 图6 图7

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例3 2010年上海市闸北区中考模拟第25题

如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．

(1)求证：MN∶NP为定值；

(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

思路点拨

1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便． 2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．

3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．

4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算． 满分解答

(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒． 在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．

在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3． 在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．

(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．

如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，

3060AN35t3，所以．解得t．此时CM．

3131AM5102t5

图2 图3 图4

(3)如图5，图6，图7中，

OP28OPMP．所以OPt． ，即

4t55QNMN85①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，BP8t，BN105t． (Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程8t105t，得t(Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，BE

851020．此时CM． 17175184BN．解方程8t105t，得t．此时CM．

45225519

(Ⅲ)当PB＝PN时，

14148BNBP．解方程105t8t，得t的值为负数，因此不存在25255PB＝PN的情况．

②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时BN5t10．解方程8t5t10，得t

853060．此时CM． 1111

图5 图6 图7

例6 2009年上海市中考第24题

在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM//x轴（如图1所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．

（1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09上海24”，拖动点P在x轴正半轴上运动，可以体验到，△POD的形状可以成为等腰三角形，分别双击按钮“PD＝PO”、“OD＝OP”和“DO＝DP”可以显示三个等腰三角形．在点

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P运动的过程中，两个圆保持相切，可以体验到，当PD＝PO时，圆O不存在．

思路点拨

1．第（1）题情景简单，内容丰富，考查了对称点的坐标特征、待定系数法、代入求值、数形结合． 2．分三种情况讨论等腰三角形POD的存在性，三个等腰三角形的求解各具特殊性．

3．圆O与圆P的半径、圆心距都是随点P而改变，但是两圆外切，圆心距等于半径和的性质不变． 满分解答

（1）因为点A的坐标为（1，0），点B与点A关于原点对称，所以点B的坐标为（－1，0）．将B（－1，0）代入y＝x＋b，得b＝1．将y＝4代入y＝x＋1，得x＝3．所以点D的坐标为（3，4）．

（2）因为D（3，4），所以OD＝5，cosDOP3． 5OE35，OE，所以OP52①如图2，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，cosDOPOO2525．此时点P的坐标为(,0)．

66②如图3，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5,0)．

③如图4，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6,0)．

图2 图3 图4

（3）圆P的半径rPPD，两圆的圆心距为OP．当两圆外切时，圆O的半径rOOPPD． ①如图2，当PD＝PO时，rO0，此时圆O不存在．

②如图3，当OP＝OD＝5时，作DH⊥OP于H．在Rt△DHP中，DH＝4，HP＝2，所以DP25．此时rOOPPD525．

③如图4，当DO＝DP时，rOOPPD651．

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