公司不续签第三次劳动合同的情况是存在的。根据《中华人民共和国劳动合同法》（以下简称《劳动合同法》）的相关规定，劳动合同分为固定期限劳动合同、无固定期限劳动合同和以完成一定工作任务为期限的劳动合同。
1. 固定期限劳动合同：劳动合同可以约定一个明确的终止期限。当劳动合同到期时，公司和员工之间的劳动关系将自动解除。
2. 无固定期限劳动合同：劳动合同没有明确的终止期限。公司和员工之间的劳动关系在合同期满后仍然持续。在无固定期限劳动合同中，员工在没有严重违反公司规章制度或劳动纪律的情况下，通常被认为是公司的长期员工。
3. 以完成一定工作任务为期限的劳动合同：以完成某项特定工作任务为目的的劳动合同。当该工作任务完成时，劳动关系也将自动解除。
关于公司不续签第三次劳动合同的情况，主要涉及固定期限劳动合同。在这种情况下，合同到期时，公司和员工之间的劳动关系将自动解除。然而，根据《劳动合同法》的规定，在以下情况下，公司应当与员工签订无固定期限劳动合同：
1. 员工在公司连续工作满10年。
2. 员工已经与公司签订两次固定期限劳动合同，且第二次固定期限劳动合同即将到期。
如果公司在与员工签订第二次固定期限劳动合同后，没有与员工续签合同，而员工仍在公司工作，那么根据上述规定，公司应当与员工签订无固定期限劳动合同。请注意，这些规定可能会因实际情况而有所不同，因此在处理此类问题时，请参考当地法律法规。 该内容由 陈德文律师 和 微办案 共创回答
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