特殊的平行四边形专题(题型详细分类)55019精编版

特殊的平行四边形讲义

知识点归纳

矩形 菱形 正方形

边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等

角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 性

对质 互相垂直平分，且每条对角互相平分且相等 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 角线平分一组对角 线

·有三个角是直角; ·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有·是平行四边形且有一组·是矩形，且有一组邻边相等；

判定 一个角是直角; 邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 ·是平行四边形且两·是平行四边形且两条对 条对角线相等. 角线互相垂直。

对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形

矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：

2014届四边形卖萌大赛最佳表演奖：等腰梯形

1

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四边形分类专题汇总

专题一：特殊四边形的判定

【知识点】

1.平行四边形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

【练一练】

一．选择题

1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）．

A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD

2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等

C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )

A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补

D.一组对边相等，一组邻角相等

4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;

C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;

D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）

A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC

6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（ ） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO

C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD

7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C

2

． ） ） ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC 9.在下列命题中，真命题是（ ）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（ ）

A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形

C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 11.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC=900时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形

D A

Ｅ Ｂ C B Ｄ

Ａ Ｆ

Ｃ

12.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ） ．．．

A．四边形AEDF是平行四边形

B．如果BAC90，那么四边形AEDF是矩形

C．如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形

D．如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A、对角线互相垂直且相等的四边形 B、一条对角线平分一组对角的矩形 C、对角线相等的棱形 D、对角线互相垂直的矩形 14.下列命题中，假命题是（ ）。

A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形 C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 15.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。 A、ACBD，

AB//CD

B、AD//BC，AC

C、AOBOCODO，ACBD D、AOCO，BODO，ABBC 16.下列命题正确的是（ ）

A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是等腰梯形 17.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A、当AB=BC时，它是菱形 B、当AC⊥BD时，它是菱形 C、当∠ABC=90°时，它是矩形 D、当AC=BD是，它是正方形 18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 （ ） BA.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形

一．矩形

3

ADC……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60，则该矩形的面积为

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补 例3： 已知：如图， □ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，求证：•四边形EFGH是矩形．

二．菱形 例1已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

例2、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

A

B M D 0

E C

例3（中考题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

D求线段BE的长．

O

60

AEB

例4、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

例5、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

4

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（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

三．正方形 例1、（2011海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

A D （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；

P （2）设AP=x, △PBE的面积为y.

① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

C B E

专题二：矩形的有关线段计算

5

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1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AOD120，AB=2.5，则AC的长为 。

A H D

E G

B F C 题2

2. 如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.

03. 如图，矩形ABCD中，AB3，BC5．过对角线交点O作OEAC交AD于E，则AE的长是（ ） A．1.6

B．2.5 C．3

D．3.4

4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ） A．1 B．

D A′ A G B 43 C． D．2 32C 5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）． A、3 B、2 C、3 D、23

6. 黄冈)如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P

作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm.

7. 把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则

2

重叠部分△DEF的面积是 cm． A'

E A D （B'） A D

B1

B C E C F B

题11

8. 如图(十二)，长方形ABCD中，E为BC中点，作AEC的角平分线交AD于F点。若AB＝6，AD＝16，则FD的长度为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．8

9. 如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.

10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝ cm．

专题三：菱形的有关线段计算

1. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ）

6

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A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2 2. .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ） A 16 B 8 C 4 D 1

3. 如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_________cm.

A A

D B BD

EE F

CC

4. 菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ） A． 23 B．33 C． 43 D． 3

5. 已知菱形ABCD的面积是12cm，对角线AC4cm，则菱形的边长是__________cm；

6. 菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB4cm．那么，菱形ABCD的面积是 ，对角线BD的长是 ．

7. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）

8. 如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何（ ）

A、8

B、9

C、11

D、12

A、16错误!未找到引用源。

B、16

C、8错误!未找到引用源。

D、8

29. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于 cm2．

专题四：正方形的有关线段计算

1. 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ; 2. 如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．

A B E AEMA'DC 3. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段D BC边的中点F CN的长是（ ）

C5cm A．3cm B．4cm C．BNA D M

D．6cm

7

F N

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A42B1E3DFCG

4. 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、

DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

5. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，且BC3，则AM的长是B

A．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.25 Ｄ．2.5

专题五：有关特殊四边形的角度计算

1. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ． 2. 如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则 度．

D D

A

P

D

D

A

A

65°

l

A

m C

E

P

C

E B

F

P C

B

C



B

B

BD于点P， ，3. 如图，在菱形ABCD中，AD的垂直平分线交对角线垂足为E，连接CP，则CPB________ADC72度．

4. 如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ） A．35° B．45° C．50° D．55°

5. 如图19，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠

EFC′的度数为 度．

6. 如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG60，现沿直线EG将纸片折

叠，使点B落在约片上的点H处，连接AH，则与BEG相等的角的个数为（ ） A.4 B. 3 C.2 D.1

8

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四边形动点专题：

专题一：证明与计算

与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。

1.如图l，在四边形A8CD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE(不需证明)．

(温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，可证得HE=HF，从而∠HFE=∠HEF，再利用平行线的性质，可证得∠BME=∠CNE．)

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．

问题二：如图3，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延

0

长线交于点G， 若∠EFC=60，连结GD，判断△AGD的形状并证

M N A F H 1 2 B 明．

E 图1

C D 图2 A D F O M N C E B B A F E 图3

D C

G

2.在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M． （1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合， 求证：FM = MH，FM⊥MH；

（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；

9

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（3）将图2中的CE缩短到图14-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？

A

F G(N)

H

F G

N H

C B

C(M) 图1

D

E

A

B C M 图2

D E A B M 图3

D E

F G N H

3.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过

D 观察你还能得出什么结论？ A D A A D

B E F 图①

G E C F C 图②

G E F B

B 图③

C

4.已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM． （1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明； （2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，

E 请举出反例；如果成立，请给予证明． B B E 10

M D M ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

11