2019-2020年九年级数学下册一轮复习 第20课时 等腰三角形

2019-2020年九年级数学下册一轮复习 第20课时 等腰三角形

【基础知识梳理】 一、等腰三角形

1．性质：（1）等腰____ ____。

（2）角：两个底角 。

（3）重要线段：顶角的 底边的 、底边上

的高互相重合（三线合一）。 （4）对称性:是轴对称图形，对称轴为顶角平分线或底边的 或底边上的高所在的直线。

2. 判定方法：（1）利用定义。（2）等角对________；（3）“二线合一”。 二、等边三角形：

1.性质：（1）边：三边都 。

（2）角：三个角都 ，都等于 。 （3）重要线段：与等腰三角形的相同。

（4）对称性:是 图形，对称轴有 条。

2. 判定方法：（1）利用定义。

（2）三个内角都________的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是________的等腰三角形是等边三角形.

三、 角平分线上的点是到这个角两边的________相等，角的内部到________________，

在这个角的平分线上.

四、线段垂直平分线上的点到____________相等，到一条线段两个端点距离相等的点，在____________.

五、含300角的直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的 。 【基础诊断】

1. （xx•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A． 12 B． 15 C． 12或15 D． 18 2．（xx•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．

3.（xx•新疆，第12题5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是 ．

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【精典例题】

考点1 ．（xx江苏无锡）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在

平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 （ ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条

【点拨】 本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意能不能构造出三角形。

例2：. （xx年山东泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M． （1）求证：∠FMC=∠FCM；

（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；

（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．

（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，

∴DF⊥AE，DF=AF=EF，又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余， ∴∠DCF=∠AMF， 在△DFC和△AFM中，，∴△DFC≌△AFM（AAS）， ∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM； （2）AD⊥MC，

理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°， ∴DE∥CM，∴AD⊥MC． 点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键．

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【自测训练】 A—基础训练

一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.） 1．（xx• 德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（ ）

68° A． 32° B． 22° C． 16° D． 2．（xx•呼和浩特，第13题3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为 ．

3. （xx哈尔滨）如图，在ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E， 且

AE=3，则AB的长为( )．

(A)4 (B)3 (C) (D)2

4. （xx•扬州，第10题，3分）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm．

5.（xx•攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ a ）

30° A．

二、填空题

35° B．

40° C．

50° D．

6．（ xx•广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（ ） A．1cm＜AB＜4cm

B． 5cm＜AB＜10cm

C． 4cm＜AB＜8cm

D． 4cm＜AB＜10cm

7、（xx哈尔滨）如图，在ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E， 且

AE=3，则AB的长为

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8.（xx•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．

9. （ xx•广西贺州，第17题3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 ．

10．如图，P是边长为2的正方形ABCD的边CD上任意一点，且PE⊥DB，垂足为E，PF⊥CA，垂足为F，则PE+PF的长是 .

D E O A P C F AEBOPFDB

第10题图

C11、如图3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为 （ ） A. B. C.2 D.

三、解答题

12. （xx•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE=CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

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B提升训练

一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）

1. （xx泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ）

A．2 B．4 C．4 D．8

2. (xx年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A1 ， A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以A1A2B1B2其中的任意两点与点为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ d） ．．O．（A）

3 1 1

. (B) . (C) . (D) . 432

3. （xx•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M

为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ c ） A． 4 B． 5 C． 6 D． 8

二、填空题

4. （xx•雅安）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．

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第5题图 第6题图

第7题图 5.（xx•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．

6. （xx•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，

P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，写出其中一个点P的坐标是 ．

7. （xx菏泽）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 ． 三、解答题

11. （xx•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

12. （xx•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下： 过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E

∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE． ∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°． ∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．

又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．

又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．

（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．

（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= ，CB=

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课后反馈---对于考察多各知识点的综合题，以重点考察（核心考察）为依据分类选取。

1.已知：如图，直线y=－x＋4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P. （1）求点P的坐标.

（2）请判断△OPA的形状并说明理由.

（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作 EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠 部分的面积为S.

求：①S与t之间的函数关系式.

②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值.

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2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形． B M

3.如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点

E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 A E P

4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是

∠ABC的平分线.

求∠BDC的度数.

B A

A D N C D C D B

C

5.如图1，在菱形ABCD中，AC=2 ，BD=2，AC，BD相交于点O.

（1）求边AB的长；

（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G.

①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；

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②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE>CE），求CG的长.

A B O D B C 图1

A 60° O G F E C 图2

D