第１朗 刘英，等：双线性函数 ２ｌ Ｂｉｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｏｔｉｏｎｓ ＬＩＵ Ｙｉｎｇ，ＷＡＮＧ Ｌｕ—ｑｕｎ，ＬＩ Ｆｅｎｇ—ｘｉａ，ＬＩＵ Ｄｏｎｇ—ｌｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｔａｒ Ｃｏｌｌｅｇｅ，ｔｌａｒｂｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｖ ，ｌ－ｔａｒｂｉｎ １５００２５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｆｕｒｔｈｅｒ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｅｎｔ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ａｌｇｅｂｒａ，ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｂｉｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｙ ａ ｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｏｌｕｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｂｉｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｎｓｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｓｏｍｅ ｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ，ｔｈｅ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｕａｌ ｂａｓｉｓ ｒｅｖｅａｌｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｈｅ ｔｄｕａｌ ｓｐａｃｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ａ ｄｕａｌ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｓｏｍｅｏｎｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｐａｃｅ Ｖ．Ｔｈｅ ｅｏｎｃｏｌｕｔｉｏｎ ｇｒｅａｔｌｙ ｅｎｒｉｃｈｅｄ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ．＿ｂｉｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ；ｄｕａｌ ｓｐａｃｅ ’ 矩阵结合律的一个应用 王明军 矩阵是高等代数的主要内容之一，也是许多科学领域中的重要工具，具有广泛的应用．在矩阵的运算中，矩阵乘法适合 结合律，若能充分利用这条运算规律，则可以解决一些计算起来比较困难的题目． 在求方阵的幂时，按照矩阵的不同特征可以选用不同的方法．例如：可以利用数学归纳法、二项展开公式、化为分块对 角矩阵、相似对角化的方法，还可以用Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｃａｙｌｅｙ￣Ｎ先降低幂的次数然后再计算．若矩阵Ａ可以分解为Ａ＝口 ， ， 均是ＨＸ１矩阵，可以利用下面的方法来计算Ａ ． 、 设Ａ为 阶矩阵，若ｒａｎｋ（Ａ）≤１，容易证明Ａ＝Ｉ； ，…，Ｊ ）＝ ．利用矩阵乘法的结合律，就可以求出Ａ 事实上，由Ａ：ａ，ａ ，注意到 是一个数，则 （１） Ｉ ｌｊ、 Ａ ＝（ｃ ）（ｃ ）…（ａｐ ）＝口（ ｔｒ）（ｐ 口）…（ ）＝（ 口） （ ）＝（ ） Ａ １ １／２ １／３、 例１ 已知Ａ：Ｉ ２ １ ２１３ ｌ，求Ａ ． １３ ３／２ ｌ Ｊ 解易知ｒａｎｋ（Ａ）＝１，且Ａ＝ａ ＝ｌ ２ ｌ（１’１１２，１１３），利用式（１），有Ａ ：（ 口） Ａ＝３ ｌ ２ ｌ ２１３ Ｉ． Ｌ３） １．３ ３／２ ｌ 在例２ｅｅ，不仅要利用矩阵乘法的结合律，同时要注意，口， 均是ｎ×１矩阵矩阵时，口 ＝ 口． ｒ１、 ｒ１ １／２ １１３、 例２设 ， 都是非零列向量，Ａ＝Ｅ—ａ ，已知Ａ ＝３Ｅ一２Ａ，求 解 由于Ａ＝Ｅ一 且 ＝ ，故Ａ ＝（曰一 ） ＝Ｅ一２ ＋ ‘ 又Ａ ＝３Ｅ一２Ａ＝３Ｅ一２（Ｅ～ 参考文献： …１北京大学数学系．高等代数［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版社，１９８８． 【２Ｊ徐仲，陆全．高等代数考研教案［Ｍ】．西安：西北工业大学出版社，２００６． ． ＝Ｅ一２ ＋ｃｒ（ ＝Ｅ＋（ａ／ 一２） ， ）＝Ｅ＋２ａ．ａ ，因此Ｅ＋（ 一２）ａｆｔ ＝Ｅ＋２ａｐ ，解得口 ＝４． （作者单位：渭南师范学院数学与信息科学系，陕西渭南７１４０００） 基金项目：陕西省精品课程“高等代数”建设项目基金资助
