二次函数表达式三种形式的联系与区别

二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同，而又相互联系。

一、一般式：yax2bxc(a0)

优点：二次项系数a，一次项系数b，常数项c，三系数一目了然。

缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴

b二、顶点式：ya(x)2a24acb4a2(a0)

优点：很容易看出顶点坐标和对称轴

缺点：不容易看出二次项系数a，一次项系数b，常数项c各是多少。

三、交点式：ya(xx)(xx)

12优点：很容易看出图像与x轴的交点坐标（

x，0）和（x，0）

12

缺点：（1）不容易看出二次项系数a，一次项系数b，常数项c各是多少。 （2）当图像不与x轴相交时，此式不成立。 四、三种表达式之间的联系 （1）一般式转化为顶点式

利用配方法转化（一提、二配、三整理）

yaxbxc（axa[x2222bx)ca2一提，提二次项系数，只对二次项、一次项提系数a 2bb]c)()2a2ab]abcba[xx()()a2a2ab4acba(x)4a4a2a4acbba(x)4a2abx(a222222二配，配一次项系数一半的平方，加上后立即减下来 三整理

（2）顶点式转化为一般式

展开整理即可

bya(x)2aa(x2224acb4a22(a0)24acbbbx)2a4a4a2axbxb4a4ac2axbx4aaxbxc24acb4a2

（3）交点式转化为一般式

展开，利用韦达定理整理可得

二次函数ya则

x2bxc(a0)与x轴有两交点（x1，0）和（x2，0）

xx和12为方程a2x2bxc0的两个根

ya(xx1)(xx2)a(xx1xx2xx1x2) a[x(x1x2)xx1x2]由韦达定理得：代入得：

2x1x2bax1x2c aya[x(x1x2)xx1x2]bc2a[x()x]aaaxbxc

三种表达式视情况而定；

（1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来表示； （2）知道顶点坐标，常用顶点式来表示；

（3）如果知道图像与x轴的交点坐标，常用交点式来表示。 上述三种情况要灵活运用才能更好地理解二次函数的解析式。

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