1. 若集合
为( )
，
，则
的元素个数
A. 22. A. 3. 设C. 充要条件
B. 3
的虚部为( )
C. 4D. 5
B.
，则“
”是“
C. D.
为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4. 积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动.现将包含甲、乙两人的5位
同学分成2个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法的总数为( )
A. 125. 如图，在
三等分点，则
B. 14
( )
C. 15D. 16
中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的
A. B. C.
，
D.
两点间的折线距离
，
，若
6. 在平面直角坐标系xOy中，定义
，该距离也称曼哈顿距离.已知点
，则
的最小值与最大值之和为( )
A. 0
7. 已知函数
实数
B. C.
在
D.
上恰有4个不同的零点，则
的取值范围是( )
A. 8. 设
B. C.
，则( )
D.
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A. B. C. D.
9. 大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁
接长筵”这样的诗句.为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 可以估计，该地区年夜饭消费金额在
家庭数量超过总数的三分之一
B. 若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个C. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元10. 若圆A.
C. AB中点的轨迹方程为
动点，F为线段AB上的动点，则( )
：
与圆
：
的公共弦AB的长为
，
则下列结论正确的有( )
B. 直线AB的方程为D. 四边形
的面积为
，B为圆周上不与A重合的
11. 已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径A. 圆锥的侧面积为B.
面积的最大值为
C. 直线SB与平面SAC所成角的最大值为D. 若B是
的中点，则
的最小值为
的焦点F到准线的距离为4，直线l与C交于P，Q
，若过点P，Q分别作C的两条切线交于点A，则( )
12. 已知抛物线C：
两点，且
，
A. C. 13. 已知
B.
D. 以PQ为直径的圆过点A
展开式中所有项的系数之和为128，则展开式中
的系数为______ .
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14. 中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三
数之剩二除以3余
，五五数之剩三除以5余
，问物几何？”现将1到200共200
个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
，则该数列最大项和最小项之和为______ .
的左、右焦点分别为，
，
，点A在C的左支上，
15. 已知双曲线C：
交C的右支于点B，
的面积为______ .
，则C的焦距为______ ，
16. 若不等式
17. 已知首项为3的数列
求证：数列求数列
的前n项和中，
，判断的最大值.
对的前n项和为
恒成立，则实数a的取值范围为______ .，且
为等比数列；
18. 在
若求
的形状；
19. 近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销.短视频营销以短视频平台为载
体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程.企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间.某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货.
已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为物的概率；
三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为p，2p，
，三人是否抢购成功互不影响.若X为三人下单成功的总人数，且
，
，且小李如
；如果第一天选择“快
求3月8日小李选择“抖音”平台购
，求p的值及X的分布列.
20. 如图，在四棱锥
和
求证：
平面ABCD；
中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥
均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点
求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值.
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21. 已知椭圆C：
点C上的点P满足直线
求C的方程；若过点
，
的左、右顶点分别为
的斜率之积为
，，短轴长为，
B两点，且不与y轴垂直的直线l与C交于A，记直线，交于点
探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.
22. 已知函数
讨论若
在，且
上的单调性；，
，求证：
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合集合则故选：
分别化简两个集合，可得
的元素个数．
，即元素个数为
，
，
本题考查集合的交集运算，考查集合的表示方法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：则虚部为故选：
化简复数，可得其虚部．
本题考查复数的运算，考查复数的虚部，属于基础题．
，
3.【答案】A
【解析】解：①若函数
时，
，
的定义域为R，关于原点对称，
，
即函数②若则
，
是奇函数，即充分性成立，
为奇函数，
，
，
，
，即必要性不成立，
此式对于定义域内的任意x皆成立，必有则故选：
是
为奇函数的充分不必要条件．
根据函数奇偶性的定义和性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义和性质结合对数的运算是解决
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本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：若按1：4分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有若按2：3分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有故甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有故选：
将5位同学分成1：4，2：3两种情况，结合排列与组合求得结果．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
种．
种；种，
5.【答案】C
【解析】解：根据题意知：
故选：
根据条件可知，
，
，
，
然后进行向量的数乘运算即可得出正确的选项．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相反向量的定义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：点可得
，，
，若
，
，
，当且仅当
所以
，
的最小值为0，最大值为1，的最小值为
，最大值为0，
时，取等号．
的最小值与最大值之和为
故选：
利用新定义，求解a，b的关系，然后转化求解不等式的最大值即可．
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本题考查新定义的应用，基本不等式求解表达式的最值的方法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：
，
函数则
在，即，
，
由正弦函数图象可知，故实数故选：
根据已知条件，先对
进行恒等变换，再结合正弦函数的图象，即可求解．
的取值范围是
，解得
，
上恰有4个不同的零点，
在
上恰有4个不同的解，
本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设当当
时，时，
，
，当且仅当当
，
，，
设当当
时，时，，
，
，，
，则单调递减；单调递增，
，
，等号成立，
，，
，
，则单调递减；单调递增，
，
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，当且仅当当
，
，，又
，
，等号成立，
故选：构造函数构造
，从而得解．
本题考查构造函数证明不等式，利用不等式比较大小，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题．
，利用导数证明，
，从而可得
，从而可得
，可得
，再，从而得
，利用导数可证明
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由题意得该地区年夜饭消费金额在可以估计，该地区年夜饭消费金额在
的频率为
，
家庭数量超过总数的三分之一，故A正确；
对于B，若该地区有2000个家族，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为
，故B正确；
平均数为
元，
故C错误；中位数为故选：
利用频率、频数、平均数、中位数的定义直接求解．
本题考查频率、频数、平均数、中位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
元，故D正确．
10.【答案】AB
【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，圆
：
与圆
：
，，
，半径
，
，
两圆的方程相减可得：即两圆公共弦的方程为圆
：
的圆心为
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圆心到直线
，
的距离，
而两个圆的公共弦AB的长为则有
，变形可得，A正确，
，且
，；B正确；
对于B，由于两圆公共弦的方程为故两圆公共弦的方程为对于C，设AB的中点坐标为由于
垂直平分AB，则
，
到AB中点的距离就是
，C错误；
，变形可得
到直线AB的距离，则有，
即AB中点的轨迹方程为
对于D，两圆的半径相等，则四边形正确．故选：
为菱形，其面积，D
根据题意，结合直线与圆的位置关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：圆锥的底面圆的半径圆锥的母线长为
，
，故A正确；，
，
，则圆锥的侧面积为
如图，平面SAC为圆锥的轴截面，O为底面圆心，则
，
设则
，
，，，
，故B不正确；
根据圆锥的结构特征可知，点B在平面SAC上的投影在AC上，
又SB为定值，则当点B到直线AC的距离最大时，直线SB与平面SAC所成角最大，所以当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角最大，
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由知，此时B到平面SAC距离为，
，故C正确；
又因为高为1，所以直线SB与平面SAC所成角的最大值为当B是弧AC的中点时，此时将
、
为等腰三角形，
，
为等腰直角三角形，
沿AB展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，
取AB的中点D，连接SC，SD，则
，
，
，，
，
当且仅当S，F，C三点共线时等号成立，故D错误．故选：
根据圆锥的侧面积公式即可判断A；先求出
的范围，再根据三角形的面积公式即可判断
B；易得当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角最大，由此即可判断C；将
、
沿AB展开至同一个平面，结合图形即可判断
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为抛物线C的焦点F到准线得距离为4，所以
，
，，
可知R为PQ的中点，且
，
，
所以抛物线的方程为设由所以
，
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由，可得，
所以直线l的斜率为所以直线l的方程为联立所以对函数
，可得，求导可得
，
，，即
，
，
所以切线AP的方程为即
同理可知，切线BP的方程为联立①②，解得所以
，
，
，
，，①
，②
，
抛物线C的焦点对于A：
，故A正确；
过点F，
，故B错误；，
，，故C正确；
，且R为PQ的中点，，
，
对于B：直线PQ的方程为所以对于C：所以所以
对于D：因为所以
所以以PQ为直径的圆过点A，故D正确，故选：
由抛物线的几何性质求出p的值，可得出抛物线C的方程，设
，
，分析可知R
为PQ的中点，利用点差法可求出直线PQ的方程，将直线PQ的方程与抛物线的方程联立，写出两切线的方程，求出点A的坐标，逐项判定可得答案．
本题考查直线与抛物线的相交，解题中需要理清思路，属于中档题．
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13.【答案】945
【解析】解：已知则即
，
的展开式的通项公式为
，
，
的系数为
，
，
展开式中所有项的系数之和为128，
则二项式令则
即展开式中故答案为：
由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解即可．
本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．
14.【答案】196
【解析】解：三三数之剩二的数为：2，5，8，11，五五数之剩三的数为：3，8，13，
，188，191，194，197，200；
，188，193，198，
同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数最小是8，最大为188，数列故答案为：
可分别列出“三三数之剩二”和“五五数之剩三”的前几项和后几项，从而可找出同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的最小和最大值．
本题考查了等差数量的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．
最大项和最小项之和为
15.【答案】
，，
【解析】解：取AB的中点M，则因为所以所以
，
，设
，由双曲线的定义得，所以
在所以在
中，
，中，
，
，所以
，
，，
，所以
，
，，
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解得，
，
，
的面积为
；
，利用双曲线的定义，结合余弦定理，即可求解c的值，从
则双曲线C的焦距为因为所以故答案为：
通过向量的数量积推出
而可得焦距，再由三角形面积公式求解即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设若
时，在
，
，
上单调递增，且
不恒成立，
时，
，
，则
，
，
，令当当
时，时，
，得
，，，又，，
，，，
，
，
单调递增；单调递减，
恒成立，
设，在时，可得
单调递增，又，
，
实数a的取值范围为故答案为：设
，
，利用导数研究函数的单调性，从而求出
的最大值，从而建立a
的不等式，再构造函数，解不等式，即可得解．
本题考查恒成立问题，构造函数并利用导数研究函数的最值，构造函数解不等式，化归转化思想，属中档题．
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17.【答案】解：
可得即有则数列
由即为则
可得
证明：由首项为3的数列
，，
的前n项和为，且，
是首项为，公比为，
的等比数列；
，
【解析】
由数列的递推式和等比数列的定义，可得证明；
，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．
由等比数列的通项公式求得
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：
所以所以所以所以所以所以所以故所以
由所以所以
知
，
，
因为，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形；
，
，
，
当且仅当故
，即
的最大值为
时取等号，
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【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，即可判断；
及，进而可求
结合及两角差的正切公式可求，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
解：19.【答案】
设“第一天选择'抖音'平台”，“第一天选择‘快手'平台”，
“第二天选择‘抖音'平台”，则则
，
由题意得，X的取值为0，1，2，3，且
，
，
，
，
所以
故X的分布列为：XP
0
1
2
3
，解得
，
，
，
【解析】
利用全概率公式即可求解；
先求出X的可能取值，然后求出每一值对应的概率，根据均值求出概率p，再列出分布列即可求解．
本题主要考查全概率公式，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】
四面体，
证明：如图，连接OE，OF，三棱锥和均是棱长为2的正
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故所以因为所以又
，所以，AC，
，
≌
，所以
，且ABCD为菱形，O为AC、BD中点，，所以，故
≌
，
平面ABCD，所以平面
解：四边形ABCD是菱形，则，所以OQ，AC，BD两两垂直，
以O为原点，OB，OC，OQ为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图：
中，，，
故，故，故，
则故
设平面AQD的法向量为令
，则面AQD的法向量
，则
，
，则
，
，即，
设平面BCF的法向量为令
，则平面BCF的法向量
，即，
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所以
所以平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值为【解析】
根据三角形全等得到
，
，
，得到
平面ABCD；
建立空间直角坐标系，计算，得到各点坐标，计算平面AQD的法向量为
，再根据向量的夹角公式计算得到答
，平面BCF的法向量为
案．
本题主要考查直线与平面垂直的证明，平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：
设
由短轴长，可知，，，
，
，即，
，由题意可知
因为P在椭圆上，所以即
因为，
由题意可得可得
，
，即，，
即椭圆的方程为：
由
可知
，
；
，右焦点
，
，与椭圆的方程联立，可得
，即
当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为
，
设
，
，
可得直线的方程为，
直线的方程为，
第17页，共19页
联立，解得，，
即两条直线的交点；
，设，
，
，
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为联立
，整理可得
显然直线
，的方程为
，，直线
，的方程为：
，
联立，解得，而，
，
因为整理可得所以
，显然
点也在直线
上．
上，
，所以
，，
所以可得Q点在直线【解析】
b的关系，由短轴长可知b的值，再由两条直线的斜率之积可得a，进而求出a的值，
可得椭圆的方程；
分直线l的斜率存在且不为0和不存在两种情况讨论，设直线l的方程与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线4，即求出Q在定直线
上．
，
的方程，两条直线联立，可得Q的横坐标为定值
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，点在定直线的求法，属于中档题．
22.【答案】解：
若若函数若
，则
，则当在，则
，
函数时，
上单调递减，在，
，则函数，则函数
在函数在
在在
，则上单调递增，，当上单调递增，上单调递减，
时，
，
，
综上，若若
上单调递增，上单调递减，在
上单调递增，
第18页，共19页
若，则函数证明：令
在，则，则
上单调递减．
，即，
上单调递增，，
，
令
在
又要证明即证明
，即证
令则
在
上单调递减，，则
，只要证明
，
，又，
，
，
，
，
上单调递减，
，则
，
，，
，
，
，，
，
，
令
，
在
，
上单调递增，在
，
上单调递减，
综上，【解析】
令
求出，则，由
又
，即证明
，利用导数性质结合分类讨论思想，能求出结果；，即，得
，令
，由导数性质得
，
，令
，
，
，要证明
，令
，只要证明，
，则，
，
，则
，
利用导数性质能证明
本题考查函数的单调性、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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