电磁场标量格林函数在奇异点领域内的普适特性大物DTP

0 引言：

在求解无限大的平行平板之间区域内的二维电位分布时，用到如下公式：

G(x,x)'1sin(kmx)sin(kmx')exp(kmzz') （1）

m1akmma

式子中的km解这样的问题以及其他任意形状边界的问题，也可以使用二维自由空间的格林函数

G(,')1cln() （2） 2'C为任意的常数

上面的两个函数都反映了二维点源激励的场，而两者的形式和分布特性却不同。（2）式可用于无限大的平行平板内部，（1）无限大平行平板格林函数也可用于自由空间。同样是自由空间，但是在描述时应该服从什么样的规律呢？

在使用（1）的时候可以免去平板边界的计算，但是在处理奇异点的时候就要用到（2），但是在数值计算的时候，往往需要采用（1）的函数，这样就必须研究（1）式在奇异点附近究竟具有什么样的特性。以下给出具体的例子研究无边界和有边界约束的格林函数在奇异点领域有着相同的特性。 1 无限长封闭圆柱面边界

利用Fourier级数求和法将（1）式写成另外一种形式

''1G(,)ln2'a'^^'''^'^ （3）

opxxyy是场点矢量，opxxyy是源点矢量

（4）在计算的时候无论奇异点附近与否，都可立即给出准确结果。而一式则在场点趋于源点时，计算时精确度不是很高。如果用（4）式曲面的等高线，那么在奇异点附近取一块很小的单元放大后可以看到等值线呈各向均匀性质。

如果将余弦函数很双曲余弦函数在源点处用Taylor级数展开： 在源点邻域内，将上式写成：

0(1/2)ln'1''/(a'



可见该式与二维自由空间格林函数的形式一致，有一点点差别而已。 2 物理解释

格林函数在奇异点邻域内的这一普适性质，可做这样的物理解释：在存在边界约束的条件下，场点处的场由两部分组成。一部分是点源直接产生的场，称为一次场；另一部分是由点源的在边界上激励器感应源，然后感应源又在场点处形成的位场，称为二次场。两个场都符合（2）的规律，而奇异点邻域内的场可认为是由（2）式来表达的一次场，是各向同性的。

在简单规则边界情况下，感应源与镜像源作用是等价的，两者的区别是感应源位于边界上，而镜像源位于边界之外。在边界之内的整个区域中，等位线分布相对均匀些；当源点边界很近时，镜像源必须也离源点

很近，如果源点邻域仍保持同样大小，则在此邻域内镜像源作用不能忽略，整个区域中等位线分布也不均匀。 3 结论

各种有边界约束的标量位型格林函数，在奇异点邻域内完全可代之以自由空间格林函数，这一规律并不因为边界形状的不同而有所变化，因而是一种普遍使用的性质。它对积分方程的正则化十分有用。