第５０卷第５期 吉林大学学报（理学版） Ｖｏｌ＿５０ Ｎｏ．５ ２０１２年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｓｅｐ ２０１２ 一类最优投资理论的数学模型 任长宇 ，袁芳 （１．吉林大学数学学院，长春１３００１２；２．浸会大学数学系，） 摘要：考虑一类最优投资理论的数学模型，该类数学模型可以 －３结为一个抛物型Ｍｏｎｇｅ－ Ａｍｐｅｒｅ方程的混合定解问题．将连续性方法与解的先验估计相结合，建立了相关方程混合初 边值问题古典解的存在唯一性． 关键词：最优投资理论；抛物型Ｍｏｎｇｅ—Ａｍｐｅｒｅ方程；混合初边值问题 中图分类号：Ｏ１７５．２６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－５４８９（２０１２）０５－０８２９－０６ Ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｏｐｔｉｍａｌ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ Ｔｈｅｏｒｙ ＲＥＮ Ｃｈａｎｇ．ｙｕ ，ＹＵＡＮ Ｆａｎｇ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００１２，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｏｎｇｋｏｎｇ Ｂａｐｔｉｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｏｎｇｋｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｔｈｅｏｒｙ．Ｓｕｃｈ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ ｃａｎ ｂｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅｄ ｔｏ ａ ｍｉｘｅｄ ｉｎｉｔｉａｌ—ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ａ ｐａｒａｂｏｌｉｃ Ｍｏｎｇｅ—Ａｍｐｅｒｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｗｅ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｉｘｅｄ ｉｎｉｔｉａｌ—ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｐｒｉｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｔｈｅｏｒｙ；ｐａｒａｂｏｌｉｃ Ｍｏｎｇｅ—Ａｍｐｅｒｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｍｉｘｅｄ ｉｎｉｔｉａｌ—ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ０ 引 言 雍炯敏¨ｌ 研究了金融数学中的一类最优投资问题，目标是寻找最优投资组合，以最优化该投资者 的收益，他把这类问题归结为如下抛物型Ｍｏｎｇｅ．Ａｍｐｅｒｅ方程： 十ｒｙ 一 ＝０， （１） ｋ ， 其中：Ｖ＝Ｖ（ｓ，ｙ）是未知函数；０＝ ；ｒ，ｂ， 为给定常数，用于刻画金融市场的参数，’满足条件ｒ≥０， ｏｒ Ｏ－＞０，ｂ—ｒ＞０．投资者对待终端时刻Ｔ的风险与利润的态度由效益函数ｇ（Ｙ）描述．对于函数 ｇ（Ｙ）＝１一ｅ （Ａ＞０）的情况，文献［２．４］得到了模型（１）相应初值问题解的存在性． 注意到方程（１）中自变量Ｙ的意义是“该投资者用于投资的初始资本”，则显然当Ｙ＜０时该投资者 无法进行投资．同时，作为“初始资本”，必然是有限的．因此，为了与这种投资问题的实际更接近，应 该代替纯粹的初值问题（１）而考虑区域Ｑ＝［０，Ｔ）×（０， ）上的初边值问题．文献［５］对该问题的第一 初边值问题进行了一些基础性研究，在给定的结构条件下，建立了相关问题古典解的存在唯一性． 本文进一步研究由模型（１）导出的如下抛物型Ｍｏｎｇｅ．Ａｍｐｅｒｅ方程的混合初边值问题： 收稿日期：２０１２－０１－０９． 作者简介：任长宇（１９７８一），男，汉族，博士，讲师，从事偏微分方程的研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｒｅｎｃｙ＠ｊｌｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 基金项目：国家自然科学基金（批准号：１１０２６０４５）． ８３０ 吉林大学学报（理学版） 第５０卷 一（“ 一 Ｍ ）ＩＬ ＝厂（ ，ｔ）， ｕ（ｘ，０）＝ （ ，０）， ｕ（ｏ，ｔ）一ａｌｌ （０，ｔ）＝Ａ（ｔ）， ｕ（ｘ，ｔ）＋ｂｕ （Ｘ，ｔ）＝Ｂ（ｔ）， 这里：Ｍ（ ，ｔ）是未知函数； ，ｔ）和 （ ，０）分别是Ｑ和［０， ］上的适当光滑函数；Ａ（ｔ），Ｂ（ｔ）为［０，Ｔ］ 上的函数；ａ，ｂ为非负常数．此外，还需下列基本假设： （Ｈ ）存在常数Ｏｔ∈（０，１）， ＞０，使得 ，ｔ）∈Ｃ ’ ＋ｏ／２（ ）， ，ｔ）＞／ｘ于Ｑ； （Ｈ：） （ ，０）∈Ｃ ”（［０，Ｘ］）满足 （ ，０）≥ 于［０，Ｘ］，Ａ（ｔ），Ｂ（ｔ）∈Ｃ （［０，Ｔ］），满足 一Ａ （￡）＋ｒＡ（ ）一 （０，０）≥ ，一 （ ）＋÷（ｂ＋Ｘ）（Ｂ（ ）一 （ ，０））≥ 于［０，Ｔ］； （Ｈ ）问题（２）满足直到二阶为止的衔接条件． 在问题（２）中，为方便，用 （ ，０）表示ｇ（ ）．由于本文考虑混合初边值问题，因此条件（Ｈ ）与 文献［５］中的条件有不同之处． 记 ＝｛ （ ，ｔ）： （ ，ｔ）∈Ｃ２＋３，１＋３／２（ ）， ＞０， ∈≥ ≥ 一）［０ ０ （ （ ，ｔ）一ＴＸＵ （ ，ｔ））＞０，Ｖ（ ，ｔ）∈Ｑ｝，卢∈（０，１）． ， ， 函数 （∈ ，ｔ）∈ 称为可容许函数．显然，对任意的可容许函数ｕ（ ，ｔ）∈ 问题（２）为抛物型方程． 本文将在５ｚＱ列 ， ＃中寻找问题（２）的可容许解．主要结果如下：＝ ∈ ∈ 定理１若条件（Ｈ ）～（Ｈ ）成立，则问题（２）有唯一解Ｕ（ ，ｔ）∈Ｃ４ （ ）满足 ０ ０ ０ ．： 一（Ｕ 一ｒｘｕ ）＞０，Ｍ ＞０于Ｑ． ） ， ● 注１文献［５］中保留了问题（１）的条件ｇ （ ）≤０，本文可以去掉． × ０ 注２当ｒ＝０时，问题（２）中的方程恰好是文献［６．７］中所讨论方程的一维情形．因此本文只考虑 ｒ＞０的情况．一 一 注３当ａ＝ｂ＝０时，问题（２）恰好与献［５］中所研究的问题相同．因此本文也可视为文献［５］中 所述问题的进一步研究． 为简便，本文不妨假设函数 （ ，ｔ）已经光滑延拓到整个Ｑ，并且 一［ （ ，ｔ）一 （ ，ｔ）］ （ ，ｔ）＝，（ ，ｔ）， Ｖ（ ，ｔ）∈［０，Ｘ］×｛ｔ＝０｝． （３） １解的存在性 ２ 对 ∈［０，１］，考虑如下单参数问题族： 一（Ｍ 一 ｕ：）ｕ ＝（１一ｒ）ｆ。（ ，ｔ）＋ ＿厂（ ，ｔ），（ ， ）∈Ｑ， ： ，（００ｔ）一ａＵｘ、） ，ｏ ， ，、 ∈［０， ］， （４） ，（０，ｔ）＝Ａ （ｔ）， Ｍ （Ｘ，ｔ）＋ｂｕ：（Ｘ，ｔ）＝Ｂ （ｔ）， 其中： Ａ （ｔ）＝（１一ｒ）Ａ。（ｔ）＋ｒＡ（ｔ）； Ｂ （ｔ）＝（１— ）Ｂ。（ｔ）＋ｒＢ（ｔ）； ４。（ｔ）＝Ｕ。（０，ｔ）一ａ／ｚ （０，ｔ）； Ｂ。（ｔ）＝Ｕ。（Ｘ，ｔ）＋６Ｍ：（Ｘ，ｔ）． 显然，当 ＝１时，问题（４） 即为问题（２）． 命题１存在“。∈ ｎ ｃ４ ｏ／ （ ），使得 ｆ。（ ，ｔ）＝一（ｕ 一Ｔ：￣／Ｌ：）ｕ ， 从而问题（４）。在 中有解． 证明：令 ｕ。（ ，ｔ）＝ （ ，０）＋（ｅ 一１）（ 一Ｘｘ）一ｋｔ， （５） 第５期 任长宇，等：一类最优投资理论的数学模型 ８３１ ａｘ｛＿肛 （ ，０），０｝＋１．显然 。∈Ｃ 其中 ＝ｍ（ ）．容易验证 一（ｕ？一 ：）＝一｛一 ＋ｉｒｅ“（ 一 ）一 ［ （ ，０）＋（ｅ 一１）（２ — ）］｝＝ （ｅ 一１）＋ＦＸ，（Ｘ一 ）＋ ＋ ０（ ，０）≥１， ＝ｇ （ ）＋２（ｅ 一１）≥ＩＸ， ｆ。（ ，ｔ）＝一（ 一 “ ） ０ ≥ＩＸ． 命题１确保了单参数问题族（４） 的解集合不空．如果能事先得到问题族（４），的所有可能解的 Ｃ ，¨ 估计： ｌｌ“Ｉｌ ｃ２ ＋ （ ）≤Ｃ，’ 这里：ＯＬ∈（０，１）；Ｃ＞０为可控常数．则问题（２）解的存在性可以通过经典的连续性方法得到 （６） ］．不 难验证，从“问题数据”的角度看，问题（４） 和问题（２）具有相同的性质，因此只需对问题（２）的所有 可能解ｕ＝ （ ，ｔ）做出与式（６）相同的先验估计即可． ２ 先验估计 为了证明解的唯一性及做先验估计，先证明一个比较原理． 引理１设 （ ，ｔ）， （ ，ｔ）∈ 满足如下不等式： 一（ 一 ） ≥一（ 一 ） ， （ ，ｔ）∈Ｑ， （７） ｖ（ｏ，ｔ）一口 （０， ）≤ｗ（ｏ， ）一口 （０，ｔ）， ０≥０，ｔ∈［０，Ｔ］， （ ，ｔ）＋ｂｙ （ ，ｔ）≤ （ ，ｔ）＋ｂｗ （Ｘ，ｔ）， ｂ≥０，ｔ∈［０，Ｔ］，≤ ． （８） （９） （１０） （ ，ｔ）∈［０， ］×｛ｔ＝０｝ 则 ≤ ，Ｖ（ ，ｔ）∈ｐ． 证明：先证明式（７）．（１０）中不等号均为严格不等号的情况． 若 一Ｗ的最大值在［０，Ｘ］Ｘ｛ｔ＝０｝上达到，则显然 ＜ 于 ．若 一 的最大值在｛ ＝０｝× ［０，Ｔ］或｛ ：Ｘ｝Ｘ［０，Ｔ］上达到，则有（ 一 ）ｌ ：。≤０或（ 一 ）Ｉ ： Ｉ＞０，由式（８）或（９）知 一 ≤（ 一 ）Ｉ ：ｏ． ＜０， 从而 ＜Ｗ于 ．若 一Ｗ的最大值在Ｑ内部某点（ 。，ｔ。）处达到，则在该点（ 一Ｗ） ≤０，（ 一Ｗ） ＝０， （ 一Ｗ） Ｉ＞０．于是 一（ ｆ一 ） ≤一（ 一 ）Ｗ 于（ ０，ｔｏ）， 与式（７）矛盾．综上可知 ＜ ，Ｖ（ ， ）∈Ｑ． 对于式（７）．（１０）中不等式的情形，可取 ＞０充分小，令 （ ，ｔ）＝ （ ，ｔ）一ｓ（ｔ＋１），则容易验证 一（ 一ｒｘｕ ） ＞一（Ｗｆ一 ）Ｗ ， （ ，ｔ）∈Ｑ， ｖ（ｏ，ｔ）一口 （０，ｔ）＜ｗ（ｏ，ｔ）一０ （０，ｔ）， ≥０，ｔ∈［０，Ｔ］， （ ，ｔ）＋ｂｙ （ ，ｔ）＜Ｗ（ ，ｔ）＋ｂｗ （Ｘ， ）， ｂ≥０，ｔ∈［０，Ｔ］， ＜Ｗ． （ ，ｔ）∈［０，Ｘ］Ｘ｛ｔ＝０｝． 利用上面已经证明的结果，可得 ＜Ｗ于 ，再令 一０，即得所证结果． 由命题１直接可得： 定理２问题（７）一（１０）在 中至多有一个解． 下面做ｓｕｐ』ｕ｝的估计，取Ｍ＝ （ ，０）一 （ｔ＋１），瓦＝ （ ，０）＋ （ｔ＋１）为“的闸函数，．ｊ｝。＞０为 Ｑ 待定常数．容易验证：对于充分大的常数 ，有 Ｍ（ ，０）＝ （ ，０）一 １＜ｕ（ ，０）， Ｍ（０，ｔ）一ｏＭ （０，ｔ）＝ｇ（０）一 １（ｔ＋１）一ｏｇ （０）＜Ａ（ｔ）， （Ｘ，ｔ）＋ｂ （ ，ｔ）＝ｇ（ ）一 ｌ（ｔ＋１）＋６ｇ （ ）＜Ｂ（ｔ）， 一（“ 一 “ ）“ ＝［ １＋ｒｘｇ （ ）］ｇ”（ ）＞厂（ ，ｔ）， ８３２ 吉林大学学报（理学版） 第５０卷 由弓Ｉ理１司知ｕ≥兰于Ｑ． 同理，对于充分大的常数 ，容易证明瓦≥ｕ于 ．从而得到了ｓｕｐ ｌｕ Ｊ的估计． Ｑ 此外，对于问题（２）的可容许解ｎ，由于“ ＞０于Ｑ，所以／／， 在Ｑ上的最大值一定在｛ ＝Ｘ｝× ［０，Ｔ］上达到， 在Ｑ上的最／Ｊ，值一定在｛ ＝０｝×［０，Ｔ］上达到．结合问题（２）中的第三、四式，即可 得到ｓ ｐ Ｉ／Ｚｘ ｌ的估计・ 综上，有： 命题２设“∈ 为问题（２）的可容许解，则存在一个仅依赖于问题数据的常数Ｃ ，使得 ｓｕｐ Ｉ ｕ Ｉ≤ｃ ， ｓｕｐ Ｉ“ Ｉ≤ｃ－・ 下面估计 ，考虑问题（２）中方程的线性化算子： （ ）击＋［ 一 ）］蠹＋（ ） ． 关于ｕ 的先验估计，有： 命题３设“∈ 为问题（２）的解，则存在仅依赖于问题数据的常数Ｃ：，ｃ。＞０，使得 ｐ ｆ一“ ｆ≤ ， ｉ （一“ｔ＋ ）≥ｃ。＞０・ 证明：先做一 的上方估计．考虑辅助函数 ＝一ｕ ＋ ｕ，则 ）＝ （ ＋告 ）＋［一（ ～ （一 ＋－－￣Ｕ－ｘｘ）＋（ｒｘ“ （一ｕ ＋ ）＝ ＋“ ｕ 一， “ 觚一， 衄“ 一 （ ｌ一， ） ＝ 一 （ ，ｔ）＋句＾（ ，ｔ）＝ｆ（ｘ，ｔ）｛ 一［Ｉｎｆ（ｘ，ｔ）］ ｝． 当 ≥ 。 ｓｕｐ ｌ Ｅ￣ｎｆ（ ， ）］ｔ ｌ时，有Ｌ （ ）≥０，Ｖ（ ， ）Ｅ ・由抛物算子的极值原理知 （一ｕ ＋ ｋｏ“）＝ｓ ｐ（一“ ＋ ｕ）≥ｓ ｐ（一“ ）＋ｉ （ ｋｏ ｕ）．（１１） 下面分３种情形讨论： １） ｓｕ“Ｑｐ（一 ＋警“）在底边 ×｛ ＝ｏ ｌ上某点达到，则利用式（３）知，存在常数ｃ＞０，使得 。ｕｐ（一“ｔ）≤ｃ； ２） ｓｕ ｐ（一“ 十譬“）在侧边｛ ＝０｝×Ｅｏ， ］上某点（０， ）达到，则在该点 （０， 。）＋ ｋｏ 一 Ｍ ≤０； 由式（１１）和（２）中第三式，有 ｓ ｐ（ ）≤ （ 。）＋ ｋｏ“（ ）一ｉ ≤ （ｔｏ）一 ａｋｏ ）＋ ｋｏ （。。，ｆ０）一ｉ （争 ）； ３） ｓ ｕｐ（一 ＋≥“）在侧边｛ ＝ ｝×［０， ］上某点（ ， 达到，则在该点 （ ，ｆ。）＋ ｋｏ ≥０一 ； 由式（１１）和（２）中第四式，有 ｓｕｐ（ ）≤ （ 。）＋ “（ 。）一ｉ 譬 ）≤ 第５期 任长宇，等：一类最优投资理论的数学模型 ８３３ ｂｋｏｕ （Ｘ，ｔｏ）＋ ｋｏ一 ＋ ｕ（Ｘ，ｔｏ）一ｉ （ ｕ）． 综上，结合命题２即可得一“ 的上方估计． 下面做一 的下方估计．对相同的抛物算子Ｌ ，考虑如下两个辅助函数： ｋｌｔ １＝ｅ” Ｗ２＝ ｅ ． 直接计算得 ￡ （们１） ＝一ｕ ｕ麒ｋｌｅ —ｕ“ｕ托ｅ ＋ｅｋｌｔ［一（ｕｆ—ｒｘｌＬ ）］ ｔ ＋ｅｈ ｒｘｕ端“船＝ 一ｋ１ｅｈ ￡ ＋ｅｈ （ ，ｔ）， ｗ２）＝一Ｕｘｘ ｒｘｅｋｌｔｋ１“ ＋ｒｘｅ ｔ）＋ｒＸｌＬ （ｅｋｌｔｒ ＋ｅｋｌｔｒｘｕ艇）＋ “［一（ｕ 一ｒｘｕ ）］（２ｅ ｒＭ ＋ｅｋｌｔｒＸＵｘｘｘ）＝ ｒｘｅ １‘（一Ｕｔ 船＋ｒｘｕ 蚍 一Ｕｘｔ 埘＋ｒｘｕ ｕ ＋ｒＭ ｕ ）一 ２ｅｋ￣ｔｒ ￡ 一ｒｘｕ ｅ ｋｌｕ ＋２ｅ ｕ ｕ蚍＝ ． ｅ ｒ ＋２ｅｋｌｔｒｆ一 １ｒｘｅｋｉｔｕ Ｍ Ｌ （一 ｌ＋Ｗ２） ＝ｋｌｅｋｌｔ“￡ 螂一ｅ ＋ｅ ， ＋２ｅ ｐｒｙ—ｋｌｒｘｅ ｕ ｕ搬＝ 一ｅ ‘（ 。ｆ＋ 一 一２ ． 当 。＝ｓ ｐ｛左 ５时，有Ｌ （一 ＋ ）≤ｏ＿由抛物算子的极值原理有 ｉｎ ｆ（一 ｌ＋Ｗ２）＝ｉｎＱｆ（一Ｗ１＋ ２）・ ・ ｄＱ下面分３种情形讨论： １）若ｉ （一Ｗ。＋Ｗ：）在底边力×｛ ＝０｝上某点达到，则有 ｉｎ¨ ｆ（一Ｕｔ＋ｒｘｕ ）≥ｅ ｎｘｊ ｘｉ１ 。 Ｌ＝ｕＩ ｌ（一Ｍ ＋ ）； 在 ×｛ ＝ｏ ｔ￣，由式（３）知－－／／＇ｔ＋ ｕ ＝ ，故存在常数ｃ。＞０，ｃ＞０，使得 ｉｎ ｆ（一“ ＋ｒｘｕ ）≥ｃ。， ｉ ｆ（一Ｕｔ）≥一ｃ； ｆ， Ｖ ２）若ｉ （一Ｗ ＋Ｗ：）在侧边｛ ＝０｝×［０， ］上某点（０，ｔｏ）达到，则在该点 ｅ ｌ幻（一Ｕ ＋ｒ／ｔ ）≥０； 由式（１１）和（２）中第三式，有 ｉｎｆ（一１１，ｔ＋ｒ ｕ ）≥ｅ一 ‘ 一 。 （一ｕ ）≥ｅ－ｋｚＴ（一Ａ （ｔ）一ａｌ￣ ）≥ｅ－ｋｉｔ（一Ａ （ ）一ｒａ ）＝ ｅ－ｋｌＴ（一Ａ （ｔ）＋ｒＡ（ｔ）一ｒｕ）≥ｅ一 （一Ａ （￡）＋ｒＡ（ｔ）一ｒｕ（Ｏ，０））； 由条件（Ｈ ）知，存在常数ｃ。＞０，使得ｉｎ ｆ（一 ＋ ）≥ｃ。，进而结合命题２可得到一 的下界估计； ３）若ｉｎｆ（一Ｗ ＋Ｗ ）在侧边｛ ＝Ｘ｝×［０，Ｔ］上某点（ ， 。）达到，则在该点 ｅ （一１１， ￡＋ｒｌＪ， ＋ｒＸｕ ）≤０； 由式（１１）和（２）中第四式，有 ｉｎｆ（一 ＋ＴＸｌＬ ）≥ｅ一 １‘ 一 。 （一 ＋ｒＸｕ ）≥ｅ－ｋｉＴ（一 （￡）＋ｂｕ ＋ｒＸｕ ）≥ ｅ一 － （一Ｂ （ｔ）＋６ｒｕ ＋ｒＸｕｘ）＝ｅ－ｋ￣Ｔ（一Ｂ （￡）＋鱼＿ｒ （Ｂ（ｔ）一ｕ（ ，ｔｏ）））≥ ｅ一 （一Ｂ （ ）＋垒＿ｒ （Ｂ（ｆ）一ｕ（ ，０）））； 再由条件（Ｈ ）知，存在常数ｃ。＞０，使得ｉｎｆ（一ｕ ＋ｒｘｕ ）≥ｃ。，结合命题２可得一ｕ 的下界．证毕・ 最后，估计 ．由于已经得出了一（ 一ｒｘｕ ）≥ｃ。＞Ｏ，因此直接利用方程（２），可得： ８３４ 吉林大学学报（理学版） 第５０卷 命题４设“∈ 为问题（２）的解，则存在仅依赖于问题数据的常数 。，Ｃ。，使得 ０＜／／＇０＜ｓｕｐ ｌ Ｉ≤Ｃ３． 将式（２）中的方程两边对 求导，得 一 ］茜（ ｔ）＋Ｉ＿ ］嘉（１Ｚｔ）＋Ｅ ｒｘｔｔｘｘ］ （ｕ ）一．（ｘ，ｔ）・ 式（１２）可视为关于 的线性方程，利用关于有界系数一致抛物方程解的Ｈ￣ｌｄｅｒ估计可得 ［／／，ｆ］ ∥２（ ）≤Ｃ４． 由命题４知［ｕ 一Ｔ￣．ＩＬ ］ （ ）≤Ｃ ，其中ｃ ，ｃ 为仅依赖于问题数据的常数，再次利用方程可得 ［ ］ ， （ ）≤Ｃ６． 综上，可得： 定理３设 ∈ 为问题（２）的解，则存在可控常数卢∈（０，１）和Ｃ＞０，使得 Ｉ ＩＭ ｌ １ｃ２幅１ （ ）≤Ｃ． 利用连续性方法，综合上述结果即可完成定理１的证明． 参考文献 ［１］ 雍炯敏．数学金融学：理论与实践［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００． ［２］ＷＡＮＧ Ｇｕａｎｇ—ｌｉｅ，ＬＩＡＮ Ｓｏｎｇ—ｚｈｅ．Ａｎ Ｉｎｉｔｉａｌ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ Ｐａｒａｂｏｌｉｃ Ｍｏｎｇｅ—Ａｍｐ＆ｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｊ Ｐａｒｔｉａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００３，１６（４）：３８１—３８３． ［３］ ＷＡＮＧ Ｇｕａｎｇ．１ｉｅ．ＬＩＡＮ Ｓｏｎｇ．ｚｈｅ．Ｏｎ ｔｈｅ Ｉｎｉｔｉａｌ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆｒ ａ Ｐａｒａｂｏｌｉｃ Ｍｏｎｇｅ－Ａｍｐｅｒｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ Ｍａｔｈ Ｊ，２００３，１９（２）：１０３—１０６． ［４］ ＬＩＡＮ Ｓｏｎｇ—ｚｈｅ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｉｎｉｔｉａｌ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ａ Ｐａｒａｂｏｌｉｃ Ｍｏｎｇｅ—ＡｍｐＳｒｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ，２００６，６５（１）：５９－７８． ［５］ ＲＥＮ Ｃｈａｎｇ．ｙｕ，ＣＨＥＮ Ｍｏ．Ｔｈｅ Ｆｉｒｓｔ Ｉｎｉｔｉａｌ—Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ Ｐａｒａｂｏｌｉｃ Ｍｏｎｇｅ－Ａｍｐｅｒｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｃｏｍｅ ｆｒｏｍ Ｏｐｔｉｍａｌ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００９，４７（５）：８６６－８７０．（任长宇，陈默．一个 源于最优投资理论的抛物型Ｍｏｎｇｅ—Ａｍｐｅｒｅ方程的第一初边值问题［Ｊ］．吉林大学学报：理学版，２００９，４７（５）： ８６６—８７０．） ［６］ ＷＡＮＧ Ｇｕａｎｇ—ｌｉｅ．Ｔｈｅ Ｆｉｒｓｔ Ｂｏｕｎｄａｙｒ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ Ｐａｒｂａｏｌｉｃ Ｍｏｎｇｅ—Ａｍｐｂｒｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ Ｍａｔｈ Ｊ， １９８７，３：４６３－４７８． ［７］ ＲＥＮ Ｃｈａｎｇ．ｙｕ．ＣＨＥＮ Ｍｏ，ＬＩ Ｚｈｉ－ｊｕｎ．Ｔｈｅ Ｔｈｉｒｄ Ｉｎｉｔｉａｌ—Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ Ｐａｒａｂｏｌｉｃ Ｍｏｎｇｅ・Ａｍｐｅｒｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗ．ｔｈ ａ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｆｏｒｍ『Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ，２０１１，４９（４）：５８７—５９３．（任长宇，陈默， 李志军．一类一般形式抛物型Ｍｏｎｇｅ．Ａｍｐｅｒｅ方程的第三初边值问题［Ｊ］．吉林大学学报：理学版，２０１１， ４９（４）：５８７—５９３．） ［８］ Ｉｖｏｃｈｋｉｎａ Ｎ Ｍ，Ｌａｄｙｚｈｅｎｓｋａｙａ Ｏ Ａ．Ｐａｒａｂｏｌｉｃ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｈｅｓｓｉａｎ ｏｒ ｂｙ ｔｈｅ Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ Ｃｕｒｖａｔｕｒｅｓ ｏｆ ａ Ｓｕｒｆａｃｅ．Ｉ．Ｐａｒａｂｏｌｉｃ Ｍｏｎｇｅ－Ａｍｐｅｒｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｌｇｅｂｒａｉ Ａｎａｌｉｚ，１９９４， ６（３）：１４１・１６０． ［９］ ＲＥＮ Ｃｈａｎｇ．ｙｕ．ＷＡＮＧ Ｇｕａｎｇ—ｌｉｅ．Ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｐａｒａｂｏｌｉｃ Ｍｏｎｇｅ—Ａｍｐｅｒｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａ Ｍｏｒｅ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｆｏｒｍ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ０ｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００６，４４（１）：３０—３８．（任长宇，王光烈．某种更一般形式的抛物型 Ｍｏｎｇｅ—Ａｍｐｅｒｅ方程［Ｊ］．吉林大学学报：理学版，２００６，４４（１）：３０・３８．． （责任编辑：赵立芹）
