函数零点的判定

考点：函数零点的判定定理． 专题：探究型．

分析：对函数f（x）=2x4-10x2+2x-1进行求导，求得函数的极值，单调性，判断零点个数，对于函数g（x）

=2xn+10x2-2x-1（n≥3，n∈N）用同样的方法可得，注意计算时整体代换．

解答：解：∵函数f（x）=2x4-10x2+2x-1，

∴f′（x）=8x3-20x+2=2（4x3-10x+1） 在f′（x）=0时， f（x）=2x4-10x2+2x-1， =2x4-5x2+ x-5x2+ x-1，

= （4x3-10x+1）-5x2+ x-1=-5x2+ x-1，

由于判别式△＜0，所以，f（x）的所有极值均是负数． 又因为当x趋向于负无穷和正无穷时均为无穷大， 所以，零点有两个．

对任意g（x）=2xn+10x2-2x-1（n≥3，n∈N） 也有，g'（x）=0时有， g（x）=（

-10）x2+（2- ）x-1

可知n＞3时，其判别式△＜0 所以，当n为偶数时，有两个零点 n为奇数时，有3个零点，

故答案为 ．

已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）．

（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y2=4（x-1）切线，求a的值； （2）若对于任意x∈R，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围； （3）当a=-1时，是否存在x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切

线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题．分析：（1）求出f（x）的导函数，把c=1代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，把x=1代入f（x）求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切线方程与抛物线联立，消去y得到关于x的一元二次方程，根据直线与抛物线相切，得到方程的根的判别式等于0，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值； （2）求出f（x）的导函数，分a大于0，a=0和a小于0三种情况考虑，当a大于0时，导函数大于0，即函数为增函数，利用极限的思想得到函数恒大于0不成立；当a=0时，得到函数恒大于0，满足题意；当a小于0时，令导函数等于0，求出x的值，由x的值分区间讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，进而得到f（x）的最小值，让最小值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意的a的取值范围；

（3）把a=-1代入到（2）中求出的f（x）的最小值中，确定出f（x）的最小值，设h（x）=g（x）-f（x），把g（x）和f（x）的解析式代入确定出h（x），求出h（x）的导函数，假如存在x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，令h（x）导函数等于f（x）的最小值，得到 ，设φ（x）等于等式的右边，求出φ（x）的导函数，利用导函数的正负确定出φ（x）的最小值为φ（1）等于0，得到方程有唯一的解，且唯一的解为f（x）的最小值．解答：解：（1）f′（x）=ex+a，把x=1代入得：f′（1）=e+a，

把x=1代入f（x）得：f（1）=e+a，所以切点坐标为（1，e+a）， 则在x=1处的切线为y-（e+a）=（e+a）（x-1）即：y=（e+a）x， 与y2=4（x-1）联立，消去得（e+a）2x2-4x+4=0， 由△=0知，a=1-e或a=-1-e；（4分） （2）f′（x）=ex+a，

①当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增，且当x→-∞时，ex→0，ax→-∞， ∴f（x）→-∞，故f（x）＞0不恒成立，所以a＞0不合题意；（6分） ②当a=0时，f（x）=ex＞0对x∈R恒成立，所以a=0符合题意； ③当a＜0时令f′（x）=ex+a=0，得x=ln（-a）， 当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）＞0， 故f（x）在（-∞，ln（-a））上是单调递减，在（ln（-a），+∞）上是单调递增， 所以[f（x）]min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）＞0， 解得a＞-e，又a＜0，∴a∈（-e，0）， 综上：a∈（-e，0]．（10分）

（3）当a=-1时，由（2）知[f（x）]min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1， 设h（x）=g（x）-f（x）=exlnx-ex+x，则 ， 假设存在实数x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，x0即为方程的解，（13分） 令h′（x）=1得： ，因为ex＞0，所以 ．

令 ，则 ，当0＜x＜1是φ′（x）＜0，当x＞1时φ′（x）＞0， 所以 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴φ（x）＞φ（1）=0，故方程 有唯一解为1， 所以存在符合条件的x0，且仅有一个x0=1．（16分）点评：此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导