应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇第三章部分习题解答

ArrnABOBOn×nX′AXX′BXrArn.AnΓ8 λiAi…r r 由ABO可得DrH11O DrH12O . 因Dr为满秩阵故有H11Or×rH12Or×n-r . 由于H为对称阵所以H21On-r×r .于是 9 Y1…Yr Yr1 …YnX′AXX′BX 令YΓ′X则Y nΓ′μσ2In 且

riiiYAΓΓΓYAΓΓΓYAXX12nrnrYYHYYHYYBΓΓΓYBXX1221BΓΓH10 设XNpμ∑∑0A和B为p阶对称阵试证明 X-μ′AX-μ与X-μ′BX-μ相互独立 ∑A∑B∑0p×p. 3-3 记1212111 ”ξη OBAOBAOCD2121212112 性质4 分块Wishart矩阵的分布:设Xα Np0∑ α1…n相互独立其中 又已知随机矩阵 rpr22211211W222112111nrprWWWWXXWpn试证明Wishart分布的性质4和T2分布的性质5. 3-4 13 证明: 设 21rpnrnijpnXXxX00则22211121rprNXNXrprXXX记 则 2212211122211211WWWWXXXXXXXXXXW22112211XXWXXW即 14 .221222222nrpnWXXXXW∑12 O α12…n 相互 独立.故有W11与W22相互独立. 21与

XX111111111nrnWXXXXW由定义3.1.4可知 15 性质5 在

非退化的线性变换下T2统计量保持不变. 证明:设Xα α1…n 是来自p元总体Npμ∑的随机样本 X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵则由性质1

有 .11212npTXAXnnTxx 1...iiYCXdin其中C是pp非退化常数矩阵d是p1常向量。则 ...21niCCdCNYpi16

22xyTT21112111xxxyyyyTXAXnnXCCCACXnnYAYnnTdXCYCCACXXXXCYYYYAxiniiiniiy11所以 dCy记17 3-5 对单个p维正态总体Npμ∑均值向量的检验问题试用似然比原理导出检验H0:μμ0∑∑0已知的似然比统计量及分布. 解:总体XNpμ∑0∑00设Xαα1…n np为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为 maxmax0000LLnnXX101002/021exp21分子nnXX100102/0tr21exp21P66当∑∑0已知μ的检验 18 tr21exp21分子0102/0Anmax分母

00LXLnnXXXX1102/021exp21nnXXXX1102/0tr21exp21tr21exp21102/0An19

maxmax0000LL21tr21trexp01010AA21tr21trexp001010XXnAAtr2exp0100XXn2exp0100XXn20 2ln0100XXndef0100ln2XXn010下000下

00pHpHNXnnNX.ln22p因 32.1 21 3-6 均值向量各分量间结构关系的检验 设总体XNpμ∑∑0Xαα1…nnp为来自p维正态总体X的样本记μμ1…μp′.C为k×p常数k0.05. H0. 45 3.2.1n ξ-2lnλχ2f fppp1/2-pp3 V0.7253 λ 0.1240 ξ-2lnλ -n×lnV4.1750

p0.24320.05. H0. 46 3-13 对表3.3给出的三组观测数据分别检验是否来自4维正态分布. 1 对每个分量检验是否一维正态 2 利用χ2图检验法对三组观测数据分别检验是否来自4维正态分布.