高三数学基础类大题专练

（1）求证数列an2n是等比数列；

1113…． a1a2an2（2）证明：对一切正整数n，有

2.一个盒子里装有大小均匀的8个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2,3,4，白色球4个，编号为2,3,4,5．从盒子中任取4个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）． （1）求取出的4个小球中，含有编号为4的小球的概率；

（2）在取出的4个小球中，小球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．

3.边长为4的菱形ABCD中，满足DCB60，点E，F分别是边CD和CB的中点，AC交BD于点H，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABD，连接PA，PB，PD，得到如图所示的五棱锥PABFED． （1）求证：BD⊥PA；

（2）求二面角BAPO的正切值．

2x2t,2

4.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标（与直

y12t,2

角坐标系xOy

取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为4cos．

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为2,1，求|PA||PB|．

5.设函数f(x)cos(π1x)cosxsin2(πx)． 22（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（II）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，aA2,且f()21,则当10△ABC的周长取最大值时，求b的值.

6.在2015年普法考试中，被测考生成绩全部介于50分到100分之间（满分100分）.某地区的考试部门从参加考试的考生成绩中随机抽取n名考生的考试成绩，将统计结果按如下方式分成5组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，…，第五组：[90,100]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，其中成绩在[50,60)的学生人数为6．

（I）求n的值，并估计该地区考生考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留到0.1）； （II）设考试成绩在80分（包括80分）以上者为优秀，考官从这个地区的考生考试成绩中随机地选取4个成绩，若以上述频率作为概率，用X表示所选取的考试成绩中优秀成绩的个数，求X的分布列和数学期望．

ABCB7.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是等腰直三角形，且AA1=3，

D为A1C1的中点，F在线段AA1上,设A1FtAA1（0t（Ⅰ）当t取何值时，CF平面B1DF；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值．

A1FB2，C11）． 2B1DCA8.在直角坐标系xOy中，直线l的方程是x2y10，圆C的参数方程是（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；

x33cosy3sinππP两点，）与圆C交于O，射线OQ:22与直线l交于Q点，若OPOQ6，求的值．

（Ⅱ）已知射线OM:（其中0

9.如图,D是直角ABC斜边BC上一点,AC3DC． （1）若DAC30,求角B的大小；

（2）若BD2DC,且AD22,求DC的长．

10.某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品,产品出厂前需要对产品进行性能检测.检测得分低于80的为不合格品,只能报废回收；得分不低于80的为合格品,可以出厂.现随机抽取这两种产品各60件进行检测,检测结果统计如下： 得分 甲 乙 [60,70) 5 8 [70,80) 10 12 [80,90) 34 31 [90,100] 11 9 （1）试分别估计产品甲,乙下生产线时为合格品的概率； （2）生产一件产品甲,若是合格品可盈利100元,若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙,若是合格品可盈利90元,若是不合格品则亏损15元.在（Ⅰ）的前提下：

①记为生产1件甲和1件乙所得的总利润,求随机变量的分布列和数学期望； ②求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率.

11.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD为边长为2对的菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点． （1）判定AE与PD是否垂直,并说明理由； （2）若PA=2,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

x310cos12.已知曲线C的参数方程为 (为参数),以直角坐标系原点为极点,xy110sin轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹. （2）若直线的极坐标方程为sincos

1 ,求直线被曲线C截得的弦长.

2Sn13.已知数列an中，a11，其前n项的和为Sn，且满足an(n2)

2Sn121是等差数列; Sn11111 （Ⅱ）证明：S1S2S3Sn.

3572n12 （Ⅰ）求证：数列

DAB60，PD平面ABCD，14.如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，

PDAD1，点E,F分别为AB和PD的中点.

（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC;

（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值.

P

F D E A B

15.已知A类产品共两件A1,A2，B类产品共三件B1,B2,B3，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时，检测结束.

（Ⅰ）求第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品的概率;

（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用50元，设X表示直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值.

C

16.在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标

系相同的 长度单位建立极坐标系.曲线C1的参数方程为方程为

xacos为参数，曲线C2的极坐标ysin=40，且C1与C2交点的横坐标为

25. 5（Ⅰ）求曲线C1的普通方程;

（Ⅱ）设A,B为曲线C1与y轴的两个交点，M为曲线C1上不同于A,B的任意一点，若直线AM与MB分别与x轴交于P,Q两点，求证：OPOQ为定值.