西经课后题(课后大题期末)

5．假定某消费者关于某种商品的消费数量Ｑ与收入M之间的函数关系为M＝100Q2。 求：当收入M＝6 400时的需求的收入点弹性。 解：由已知条件M＝100Q2，可得：于是有：

进一步，可得：

观察并分析以上计算过程及其结果可发现，当收入函数M＝aＱ2（其中a＞0且为常数）时，则无论收入M为多少，相应的需求的收入点弹性恒等于1/2。

－

6．假定需求函数为Ｑ＝MPN，其中M表示收入，P表示商品价格，N（N＞0）为常数。

求：需求的价格点弹性和需求的收入点弹性。

－

解：由已知条件Ｑ＝MPN可得：

由此可见，一般地，对于幂指数需求函数Ｑ（P）＝MPN而言，其需求的价格点弹性

－

总等于幂指数的绝对值N。而对于线性需求函数Ｑ（M）＝MPN而言，其需求的收入点弹性总是等于1。

7．假定某商品市场上有100个消费者，其中，60个消费者购买该市场个消费者的需求的价格弹性均为3；另外40个消费者购买该市场

－

1的商品，且每32的商品，且每个消费者3的需求的价格弹性均为6。

求：按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是多少？

解：令在该市场上被100个消费者购买的商品总量为Ｑ，相应的市场价格为P。

根据题意，该市场

1的商品被60个消费者购买，且每个消费者的需求的价格弹性都是33，于是，单个消费者i的需求的价格弹性可以写为：

即：且：

（1）

（2）

1

-

相类似地，再根据题意，该市场

2的商品被另外40个消费者购买，且每个消费者的需3求的价格弹性都是6，于是，单个消费者j的需求的价格弹性也可以写为：

即：且：

（3）

（4）

此外，该市场上100个消费者合计的需求的价格弹性可以写为：

将（1）式、（2）式代入上式，得：

再将（2）式、（4）式代入上式，得：

所以，按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是5。

8．假定某消费者的需求的价格弹性ed＝，需求的收入弹性eM＝。 求：（1）在其他条件不变的情况下，商品价格下降2％对需求数量的影响。

（2）在其他条件不变的情况下，消费者收入提高5％对需求数量的影响。

QdQdP解：（1）由于ed，于是将ed1.3，＝2%代入，有：

PPPQdQQd1.3d0.026；

0.02Qd所以在其他条件不变的情况下，价格降低2%使需求增加%。

（2）由于，于是有：

2

-

因此，其他条件不变收入提高5%时，需求增加11%。

9．假定在某市场上A、B两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对A厂商的需求曲线为PA＝200－QA，对B厂商的需求曲线为PB＝3 00－；两厂商目前的销售量分别为QA＝50，QB＝100。求：

（1）A、B两厂商的需求的价格弹性edA和edB各是多少？

（2）如果B厂商降价后，使得B厂商的需求量增加为QB＝160，同时使竞争对手A厂商的需求量减少为QA＝40。那么，A厂商的需求的交叉价格弹性eAB是多少？

（3）如果B厂商追求销售收入最大化，那么，你认为B厂商的降价是一个正确的行为选择吗？

解：（1）关于A厂商：

由于PA＝200－QA＝200－50＝150，且A厂商的需求函数可以写成：

QA＝200－PA

于是，A厂商的需求的价格弹性为：

；

edAdQAPA150(1)3 dPAQA50关于B厂商：

由于PB＝300－＝300－×100＝250，且B厂商的需求函数可以写成：

QB ＝600－2PB

于是，B厂商的需求的价格弹性为：

edBdQBPB250(2).5 dPBQB100（2）令B厂商降价前后的价格分别为PB和PB′，且A厂商相应的需求量分别为ＱA和

ＱA′，根据题意有：

ＱA ＝50 ＱA′＝40

因此，A厂商的需求的交叉价格弹性为：

（3）由（1）可知，B厂商在PB＝250时的需求的价格弹性为edB＝5，也就是说，对B厂商的需求是富有弹性的。对于富有弹性的商品而言，厂商的价格和销售收入成反方向的变化，所以，B厂商将商品价格由PB ＝250下降为PB´＝220，将会增加其销售收入。具体地有：

降价前，当PB＝250且QB＝100时，B厂商的销售收入为：

降价后，当PB´＝20，且Q B´＝100，B厂商的销售收入为：

3

-

显然，，即B厂商降价增加了它的销售收入，所以，对于B厂商的销售收入最大化的目标而言，它的降价行为是正确的。

12.假定某商品销售的总收益函数为TR＝120Q－3Q2。 求：当MR＝30时需求的价格弹性。 解答：由已知条件可得

dTR

MR＝＝120－6Q＝30(1)

dQ

得 Q＝15

由式(1)式中的边际收益函数MR＝120－6Q，可得反需求函数

P＝120－3Q(2)

P

将Q＝15代入式(2)，解得P＝75，并可由式(2)得需求函数Q＝40－。最后，根据需求

3

的价格点弹性公式有

1755dQP

－·＝ ed＝－·＝－3153dPQ

13.假定某商品的需求的价格弹性为，现售价格为P＝4。 求：该商品的价格下降多少，才能使得销售量增加10% ？ 解答：根据已知条件和需求的价格弹性公式，有

ΔQQ10%

ed＝－＝－＝

ΔPΔPP4

由上式解得ΔP＝－。也就是说，当该商品的价格下降，即售价为P＝时，销售量将会增加10%。

2. 假设某消费者的均衡如图3—1(即教材中第96页的图3—22)所示。其中，横轴OX1

和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线

图3—1 某消费者的均衡

U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的均衡点。已知商品1的价格P1＝2元。 (1)求消费者的收入； (2)求商品2的价格P2； (3)写出预算线方程； (4)求预算线的斜率；

(5)求E点的MRS12的值。

解答：(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知P1

＝2元，所以，消费者的收入M＝2元×30＝60元。 4

-

(2)图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由(1)已知收入

M60

M＝60元，所以，商品2的价格P2＝＝＝3元。

2020

(3)由于预算线方程的一般形式为

P1X1＋P2X2＝M

所以，由(1)、(2)可将预算线方程具体写为：2X1＋3X2＝60。

22

(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为X2＝－X1＋20。很清楚，预算线的斜率为－。

33

P1

(5)在消费者效用最大化的均衡点E上，有MRS12＝，即无差异曲线斜率的绝对值即

P2

P1P12

MRS等于预算线斜率的绝对值。因此，MRS12＝＝。

P2P23

6．假定某消费者的效用函数为U＝x13/8x25/8，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。分别求该消费者关于商品l和商品2的需求函数。

解：建立拉格朗日函数：L(x1,x2,)U(x1,x2)(Px11P2x2M)

即L(x1,x2,)xx(Px11P2x2M)令

358812LL0,0， x53x得：(2)8P10 ①

8x15x18()P20 ② 8x2P1x1P2x2M ③

由①②③联立可得：x133M5M,x2 8P8P12此即为二者的需求函数。

7．令某消费者的收入为M，两商品的价格为P１、P2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为－a。

求：该消费者的最优商品消费组合。

解：据题意，可知预算方程为：P1xP2yM，预算线斜率为P1 P2由于无差异曲线是直线，且斜率为－a，所以无差异曲线斜率的绝对值为：

MRS12dX2a。 dX1 所以，该消费者的最优商品消费组合为：

5

-

（1）当aP1时，边角解是预算线与横轴的交点，如图3-9（a）所示。 P2这时，y0 由预算方程得：xM P1M,0) P1即最优商品组合为(（2）当aP1时，边角解是预算线与纵轴的交点，如图3-9（b）所示。 P2这时，x0 由预算方程得：yM P2M) P2即最优商品组合为(0,（3）当aP1时，无差异曲线与预算线重叠，预算线上各点都是最优商品组合点。 P2

（a） （b） （c）

图3-9 最优商品组合

8．假定某消费者的效用函数为入。求：

（1）该消费者的需求函数。 （2）该消费者的反需求函数。

q＝4时的消费者剩余。

解：（1）由题意可得，商品的边际效用为：

UMU0.5q0.5

q6

（3）当

，其中，q为某商品的消费量，M为收

-

货币的边际效用为：

U3 MMU，有： p于是，根据消费者均衡条件

0.5q0.53 p整理得需求函数为q＝

1 36p2（2）由需求函数q＝

16q1可得反需求函数为： 36p2p

（3）由反需求函数p16q可得消费者剩余为：

将p＝

1,q＝4代人上式，则有消费者剩余： 12

223．已知生产函数Qf(L,K)2KL0.5L0.5K，假定厂商目前处于短期生产，且

K＝10。

（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数；

（2）分别计算当劳动的总产量TP、劳动的平均产量AP和劳动的边际产量MPL各自达到极大值时的厂商的劳动投入量；

（3）什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？

解：（1）将K＝10代入生产函数Qf(L,K)2KL0.5L20.5K2中，

2得：Q0.5L20L50

于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：

2劳动的总产量函数 TPL0.5L20L50

7

-

劳动的平均产量函数 APL0.5L20劳动的边际产量函数 MPLL20 （2）令MPL0，解得L20

即当劳动的投入量为20时，劳动的总产量TPL达到最大。 令AP'L0.5且有

500，解得L10（负值舍去） 2L50 L

所以，当劳动投入量为L10时，劳动的平均产量APL达到最大。

由劳动的边际产量函数MPLL20可知，MP'L1＜0，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。所以边际产量函数递减，因此当劳动投入量L0时劳动的边际产量MPL达到极大值。

（3）当劳动的平均产量APL达到最大时，一定有APL＝MPL，

即0.5L2050＝L20，得：L10 L此时APL＝MPL＝10。

12．令生产函数f（L，K）＝α0＋α1（LK）1/2＋α2K＋α3L，其中0≤αi≤1，i＝0，1，2，3。

（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征？ （2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。

1/2

解：（1）∵f（L，K）＝α0＋α1（LK）＋α2K＋α3L

则f(L,K)01(LK)2(K)3(L)

21201(LK)2K3L

[01(LK)2K3L](1)0

1212f(L,K)(1)0

如果该生产函数表现出规模报酬不变，则f(L,K)f(L,K),这就意味着对于任何常数＞0都必有(1)00，解得00。

可见，当00时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。

（2）在规模报酬不变的情况下，生产函数为f(L,K)1(LK)2K3L，这时有：

12MPLdf(L,K)1K13 dL2L128

-

MPKdf(L,K)1L12 dK2K121dMPL132LK2＜0 dL413dMPK122LK＜0 dK4这表明在规模报酬不变的情况下，该函数相应的边际产量是递减的。

13．已知某企业的生产函数为Ｑ＝L2/3K1/3，劳动的价格w＝2，资本的价格r＝1。求： （1）当成本C＝3 000时，企业实现最大产量时的L、K和Ｑ的均衡值。 （2）当产量Ｑ＝800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。 解：（1）根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件：

其中

w＝2，r＝1 于是有：

整理得：

即：K＝L 再将K＝L代入约束条件2×L＋1×K＝3 000，有：

2L＋L＝3 000 解得：L*＝1 000 且有：K*＝1 000

将L*＝K*＝1 000代入生产函数，求得最大的产量： Ｑ*＝（L*）2/3（K*）1/3＝1 0002/3 + 1/3＝1 000

以上结果表明，在成本为C＝3 000时，厂商以L*＝1 000，K*＝1 000进行生产所达到的最大产量为Ｑ*＝1 000

此外，本题也可以用以下拉格朗日函数法来求解。

将拉格朗日函数分别对L、K和λ求偏导，得极值的一阶条件：

① ② ③

9

-

由①式、②式可得：

，即K＝L

将K＝L代入约束条件即③式，可得：

3 000－2L－L＝0 解得L*＝1 000 且有K*＝1 000

再将L*＝K*＝1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量：

Ｑ*＝（L*）2/3（K*）1/3＝1 0002/3 + 1/3＝1 000 在此略去关于极大值得二阶条件的讨论。

（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件：

其中

w＝2，r＝1 于是有：

整理得：

即：K＝L 再将K＝L代入约束条件L2/3K1/3＝800，有：

L2/3L1/3＝800 解得L*＝800 且有K*＝800

将L*＝K*＝800代人成本方程2L＋1·K＝C，求得最小成本：

C*＝2L*＋1K*＝2×800＋1×800＝2 400

本题的计算结果表示：在Ｑ＝800时，厂商以L*＝800，K*＝800进行生产的最小成本为C*＝2 400。

此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。

将拉格朗日函数分别对L、K和µ求偏导，得极值的一阶条件：

① ② ③

由①、②两式可得： 10

-

即：K＝L

再将K＝L代入约束条件即③式，有：

L2/3K1/3－800＝0

解得L*＝800 且有K*＝800

将L*＝K*＝800代人成本方程2L＋1·K＝C，求得最小成本：

C*＝2L*＋1K*＝2×800＋1×800＝2 400

2．下面是一张某厂商的LAC曲线和LMC曲线图5-5。

请分别在Q1和Q2的产量上画出代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线。

图5-5 短期成本曲线

答：在产量Q1和Q2上，代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线是SAC1和SAC2以及SMC1和SMC2。SAC1和SAC2分别相切于LAC的A点和B点，SMC1和SMC2则分别相交于LMC的A'和B'点。见下图5-6。

图5-6 成本曲线

6．某公司用两个工厂生产一种产品，其总成本函数为C＝2Ｑ1＋Ｑ2－Ｑ1Ｑ2，其中

22Ｑ1表示第一个工厂生产的产量，Ｑ2表示第二个工厂生产的产量。

求：当公司生产的总产量为40时能够使得公司生产成本最小的两工厂的产量组合。 解:此题可以用两种方法来求解。 （1）第一种方法：

当一个厂商用两个工厂生产同一种产品时，它必须使两个工厂生产的边际成本相等，即MC1＝MC2,才能实现成本最小的产量组合。

根据题意，第一个工厂生产的边际成本函数为：

MC1

11

＝4Ｑ1－Ｑ2

-

第二个工厂的边际成本函数为：

MC2

＝2Ｑ2－Ｑ1

于是，根据MC1＝MC2原则，得：

2Ｑ2－Ｑ1＝4Ｑ1 －Ｑ2

解得：Ｑ1＝Ｑ2 （1） 又因为Ｑ＝Ｑ1＋Ｑ2＝40，于是，将（1）代入有：

Ｑ2＋Ｑ2＝Ｑ＝40 解得：Ｑ2*＝25 将其代入（1），解得：Q1*＝15

（2）第二种方法：运用拉格朗日发来求解。

C＝2Ｑ1＋Ｑ2－Ｑ1Ｑ2 . Ｑ1＋Ｑ2 ＝40

将以上拉格朗日函数分别对Ｑ1、Ｑ2和λ求导，得最小值的一阶条件为：

22

由前两个式子可得：

4Ｑ1 －Ｑ2＝2Ｑ2－Ｑ1 即：Ｑ1＝Ｑ2

将Ｑ1＝Ｑ2代入第三个式子，得：

40－Ｑ2－Ｑ2＝0 解得：Ｑ2*＝25

再由Ｑ1＝Ｑ2，得：Ｑ1*＝15

7．已知生产函数Ｑ＝A1/4L1/4K1/2；各要素价格分别为PA＝1，PL＝1，PK＝2；假定厂商处于短期生产，且K＝16。

推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变函数；边际成本函数。

解:由于是短期生产,且K＝16，PA＝1，PL＝1，PK＝2，故总成本等式C＝PA A＋PL L＋PK K可以写成：

C＝1×A＋1×L＋32C＝A＋L＋32 生产函数可以写成：

Ｑ＝A1/4L1/4（16）1/2＝4A1/4L1/4

而且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。因此，根据以上内容，相应的拉格朗日函数法表述如下：

12

-

A＋L＋32

. A1/4L1/4＝Ｑ （其中，Ｑ为常数）

将以上拉格朗日函数分别对A、L、λ求偏导，得最小值的一阶条件为：

由前两个式子可得：

即：L＝A

将L＝A代入约束条件即第三个式子，得：

Ｑ－A1/4L1/4＝0 解得：A*＝且：L*＝

于是，有短期生产的各类成本函数如下： 总成本函数TC（Ｑ）＝A + L + 32 ＝平均成本函数AC（Ｑ）＝总可变成本函数TVC（Ｑ）＝平均可变成本函数AVC（Ｑ）＝边际成本函数MC（Ｑ）＝

8．已知某厂商的生产函数为Q＝0.5L1/3K2/3；当资本投入量K＝50时资本的总价格为 500；劳动的价格PL＝5。求：

（1）劳动的投入函数L＝L（Q）。

（2）总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。

（3）当产品的价格P＝100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？

解：（1）已知K＝50时，其总价格为500，所以PK10 对于生产函数Q＝0.5L1/3K2/3

1K2/31L1/3可求出：MPL（），MPK（）

6L3KPLMPL由，可得：KL PKMPK13

-

代入生产函数，得：Q0.5L，即L2Q （2）将L＝2Q代入成本等式C＝5L＋10K 可得：总成本函数TCLPLKPK10Q500 平均成本函数AC10500/Q 边际成本函数MC10

（3）由（1）可知，生产者达到均衡时，有：KL 因为K＝50，所以：L＝50 代入生产函数有：得：Q＝25

此时利润为：PQTCPQ(PL•LPK•K)25007501750

4. 已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为STC＝－2Q2＋15Q＋10。试求： (1)当市场上产品的价格为P＝55时，厂商的短期均衡产量和利润； (2)当市场价格下降为多少时，厂商必须停产？ (3)厂商的短期供给函数。

解答：(1)因为STC＝－2Q2＋15Q＋10，所以SMC＝eq \\f(dSTC,dQ)＝－ 4Q＋15。

根据完全竞争厂商实现利润最大化的原则P＝SMC，且已知P＝55，于是有

－4Q＋15＝55

整理得－4Q－40＝0，解得利润最大化的产量Q*＝20(已舍去负值)。 将Q*＝20代入利润等式有

π＝TR－STC＝P·Q－STC ＝55×20－×203－2×202＋15×20＋10) ＝1 100－310＝790

即厂商短期均衡的产量Q*＝20，利润π＝790。

(2)当市场价格下降为P小于平均可变成本AVC即P≤AVC时，厂商必须停产。而此时的价格P必定小于最小的平均可变成本AVC。

根据题意，有

AVC＝eq \\f(TVC,Q)＝eq \\f－2Q2＋15Q,Q)＝－2Q＋15

令eq \\f(dAVC,dQ)＝0，即有 eq \\f(dAVC,dQ)＝－2＝0

解得 Q＝10 且 eq \\f(d2AVC,dQ2)＝＞0 故Q＝10时，AVC(Q)达到最小值。

将Q＝10代入AVC(Q)，得最小的平均可变成本 AVC＝×102－2×10＋15＝5

于是，当市场价格P＜5时，厂商必须停产。

(3)根据完全竞争厂商短期实现利润最大化的原则P＝SMC，有 14

-

－4Q＋15＝P

整理得 －4Q＋(15－P)＝0 解得 Q＝eq \\f(4±\\r(16－(15－P)),

根据利润最大化的二阶条件MR′＜MC′的要求，取解为

Q＝eq \\f(4＋\\r－2),

考虑到该厂商在短期只有在P≥5时才生产，而在P＜5时必定会停产，所以，该厂商的短期供给函数Q＝f(P)为

eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(Q＝\\f(4＋\\r－2),，,P≥5 Q＝0，,P＜5)))

5. 已知某完全竞争的成本不变行业中的单个厂商的长期总成本函数LTC＝Q3－12Q2＋40Q。试求：

(1)当市场商品价格为P＝100时，厂商实现MR＝LMC时的产量、平均成本和利润； (2)该行业长期均衡时的价格和单个厂商的产量；

(3)当市场的需求函数为Q＝660－15P时，行业长期均衡时的厂商数量。 解答：(1)根据题意，有

LMC＝eq \\f(dLTC,dQ)＝3Q2－24Q＋40

且完全竞争厂商的P＝MR，根据已知条件P＝100，故有MR＝100。 由利润最大化的原则MR＝LMC，得

3Q2－24Q＋40＝100

整理得 Q2－8Q－20＝0 解得 Q＝10(已舍去负值)

又因为平均成本函数SAC(Q)＝eq \\f(STC(Q),Q)＝Q2－12Q＋40，所以，将Q＝10代入上式，得平均成本值

SAC＝102－12×10＋40＝20

最后，得 利润＝TR－STC＝PQ－STC ＝100×10－(103－12×102＋40×10) ＝1 000－200＝800

因此，当市场价格P＝100时，厂商实现MR＝LMC时的产量Q＝10，平均成本SAC＝20，利润π＝800。

(2)由已知的LTC函数，可得

LAC(Q)＝eq \\f(LTC(Q),Q)＝eq \\f(Q3－12Q2＋40Q,Q)＝Q2－12Q＋40

令eq \\f(dLAC(Q),dQ)＝0，即有 eq \\f(dLAC(Q),dQ)＝2Q－12＝0

解得 Q＝6 且 eq \\f(d2LAC(Q),dQ2)＝2＞0 故Q＝6是长期平均成本最小化的解。 15

-

将Q＝6代入LAC(Q)， 得平均成本的最小值为

LAC＝62－12×6＋40＝4

由于完全竞争行业长期均衡时的价格等于厂商的最小的长期平均成本，所以，该行业长期均衡时的价格P＝4，单个厂商的产量Q＝6。

(3)由于完全竞争的成本不变行业的长期供给曲线是一条水平线，且相应的市场长期均衡价格是固定的，它等于单个厂商的最低的长期平均成本，所以，本题的市场的长期均衡价格固定为P＝4。将P＝4代入市场需求函数Q＝660－15P，便可以得到市场的长期均衡数量为Q＝660－15×4＝600。

现已求得在市场实现长期均衡时，市场的均衡数量Q＝600，单个厂商的均衡产量Q＝6，于是，行业长期均衡时的厂商数量＝600÷6＝100(家)。

16