高中三角函数专题练习题附答案

一、填空题

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，

222若4bSabca，则sinA+sinC的最大值是____________．

2．已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E是AB中点，点F为CC1的中点，点P为棱DD1上一点，且满足AP//平面D1EF，则直线AP与EF所成角的余弦值为_______． 3．在ABC中，AB7，BC23，cosBACBDC1，动点D在ABC所在平面内且72π．给出下列三个结论：①△BCD的面积有最大值，且最大值为3；②线段38π．其中正3AD的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D的轨迹的长度为确结论的序号为______．

4．三棱锥PABC中，PA平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30，

AB23，ACB60，则三棱锥PABC的外接球的表面积为________．

5．已知函数f(x)2sin(x)(0，||)的部分图象如图所示，f(x)的图象与y轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(大值是___________.

14)上单调，则的最,0)对称，若f(x)在区间(,3336

43C,226．在直角坐标系中，ABC的顶点Acos,sin，Bcos,sin，3，且23,2GABC的重心的坐标为3，cos__________. 7．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了

exex这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为coshx，并称其为双曲余弦函

2数．若coshsincoscoshmsincos对0,恒成立，则实数m的取值范

2围为______．

8．已知函数fxsinx3cosx0，若函数fx的图象在区间0,2上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①fx在0,2上有且仅有5个零点； ②fx在0,2上有且仅有3个极大值点； 3137③的取值范围是,；

1212④fx在0,上为单递增函数.

69．已知f(sinx)2x1x,，那么f(cos1)________.

2210．在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2，B2C，则ac的取值范围为________．

二、单选题

ππ11．已知函数f(x)sinx(0)在,π上恰有3个零点，则的取值范围是

33（ ）

81114A．,4,

333111417C．,5,

333111417B．,4, 333141720D．,5,

33312．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD是矩形，AB4，BC3，EF2，EF//底面ABCD且EF到底面ABCD的距离为1.若DEAEBFCF，则该刍甍中点F到平面

EBC的距离为（ ）

1A．

53B．

5C．10 5D．255

13．在ABC中，E,F分别是AC,AB的中点，且3AB2AC，若小值为（ ） 3A．

47B．

8BEt恒成立，则t的最CF5D．

4C．1

14．在三棱锥ABCD中，ABADBC2，CD13，AC22，BD3，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A．

92 7B．9 C．

184 7D．18

x2y215．已知双曲线221(a,b0)的两条渐近线分别与抛物线y2＝4x交于第一、四象限的

ab7A，B两点，设抛物线焦点为F，若cosAFB＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）

9A．2 B．3或3 C．5 D．22 16．如图，将矩形纸片ABCD折起一角落△EAF得到△EAF，记二面角AEFD的大

π小为0，直线AE，AF与平面BCD所成角分别为，，则（ ）．

4

A． C．B． D．2

π 2x217．已知F是椭圆2y21(a1)的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不

a与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记MAN，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（ ）

A．当0e1时，2 B．当0eD．当

2时，

22212C．当e 时，32232 e1时，4218．在三棱锥ABCD中，ACAD5,ABCD2,BCBD2，则这个三棱锥的外接球的半径为（ ） A．210 5B．210 3C．25 3D．25 19．已知函数f(x)x2sinx各项均不相等的数列{xn}满足|xi|F(n)(x1x2xn)[f(x1)f(x2)2(i1,2,3,,n).令

f(xn)](nN*).给出下列三个命题：（1）存在

不少于3项的数列{xn},使得F(n)0；（2）若数列{xn}的通项公式为

1xn()n(nN*)，则F(2k)0对kN恒成立；（3）若数列{xn}是等差数列，则

2F(n)0对nN恒成立，其中真命题的序号是（ ）

A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（2）（3）

D．（1）（2）（3）

x11,x020．若函数fxsinx,0x1，满足fafbfcfdfe且a、

3x3,x1b、c、d、e互不相等，则abcde的取值范围是（ ）

4A．0,log3

99B．0,log3

44C．0,log3

33D．0,log3

4三、解答题

21．已知函数f(x)cosx. （1）若,为锐角，f()45， tan，求cos2及tan()的值；

35（2）函数g(x)f(2x)3，若对任意x都有g2(x)(2a)g(x)2a恒成立，求实数a的最大值；

3（3）已知f()f()f()=，,(0,)，求及的值.

222．已知l1，l2，l3是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.

（1）如图1，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC

的三顶点分别放在l1，l2，l3上，求这个正三角形ABC的边长.

（2）如图2，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，如果能放，求BC和l3夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.

（3）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，设l1与l2间的距离为d1，l2与l3间的距离为d2，求d1d2的取值范围.

23．已知a在x3,sinx，b1,2cosx，其中0，fxab，且函数fx312处取得最大值.

（1）求的最小值，并求出此时函数fx的解析式和最小正周期； （2）在(1)的条件下，先将yfx的图像上的所有点向右平移

个单位，再把所得图像4上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移53个单位，得到函数ygx的图像.若在区间,上，方程gx2a10有两个

332不相等的实数根，求实数a的取值范围；

（3）在(1)的条件下，已知点P是函数yhx图像上的任意一点，点Q为函数311,yfx图像上的一点，点AOPOQOAhx0的解集. ，且满足，求642424．已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2c2ac， （1）求证：B2C；

a（2）若ABC是锐角三角形，求的取值范围.

c25．已知函数fxtsinxt0,，fx的部分图像如图所示，点

2N0,3，M,0，P,t都在fx的图象上.

42

（1）求fx的解析式；

（2）当x,时，3fxm3恒成立，求m的取值范围.

23x3xxx26．已知向量acos,sin，bcos,sin，x0,.

22222（1）用含x的式子表示ab及ab； （2）求函数的fxabab值域.

27．已知函数f(x)Asin(x)bA0,04,||图象的一个最高点和最低点

2511,23． 的坐标分别为,23和1212（1）求fx的解析式；

（2）若存在x0,，满足3f(x)m2，求m的取值范围．

228．已知a(1,sinx)，b(1,cosx)，e(0,1)，且(cosxsinx)[1,2]. （1）若(ae)//b，求sinxcosx的值；

1（2）设f(x)abme(ab)，mR，若f(x)的最大值为，求实数m的值.

229．已知函数fxsinxcosx2sin2x (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调增区间； (3)若x0,求函数的值域．

2x230．已知函数fx4sinsinxcosxsinxcosxsinx1.

422（1）求函数fx的最小正周期； （2）若函数gxa的值.

1,的最大值为2，求实数f2xafxafxa1在4222

【参考答案】

一、填空题

1． 2．116 30983．①③

4．20 5．11 6．3

7．12,1

28．②③ 9．1##1

10．22,23 二、单选题 11．C 12．C 13．B 14．A 15．B 16．A 17．A 18．A 19．D 20．C 三、解答题

21．（1）cos2【解析】 【分析】

（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()的值；

（2）由余弦函数的有界性求得g(x)的值域，再将不等式分离参数，并令tg(x)1，可得

7226,tan()；（2）；（3） 25115311at对t[5,3]恒成立.易知函数yt在t[5,3]单调递增，求出其最小值，则

tt可得a26，从而求得a的最大值； 5（3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成(2cos2cos2)2sin220，再结合,(0,)，即可求出及的值.

【详解】 解：（1）tan4，且为锐角， 3sin432tan24，cos，tan2

551tan27722则cos2cossin，

25又f()cos()5,，为锐角， 5sin()25tan()2，， 5tan()tan[()2]

24)tan()tan227； 1tan()tan21(2)(24)1172(（2）g(x)f(2x)3cos2x3[4,2]， g2(x)(2a)g(x)2a对任意x恒成立，

即g2(x)2g(x)2(g(x)1)a对任意x恒成立， 令tg(x)1[5,3]，

t211at对t[5,3]恒成立，

tt1又函数yt在t[5,3]单调递增，

t126当t5时，(t)min，

t5a2626，则a的最大值为； 553， 2（3）f()f()f()即coscoscos()coscos(cos3 ， 2222sin)

sin2cos22，

coscos(cos22)

2cos2+sin2cossin2，

coscos2cos22，

2又cos()2cos21，

2cos22cos22cos2213， 2则4cos(2cos2224cos2cos210， 0， 0，

cos2)21cos2)2sin222即(2coscos22coscos022 ，

sin02又0，0， 3.

【点睛】

本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）2 ；（2）能放，tan【解析】 【分析】

（1）根据A,C到直线l2的距离相等，可得l2过AC的中点M，l2AC，从而求得边长AC2AM的值.

3221；（3）0,1 ,边长为32（2）假设能放，设边长为a，BC与l3的夹角，不妨设060，可得asin2，

asin601，两式相比化简可得sin3，由此能求出a的值，从而得出结论. 7 （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简d1d24sin60sin为2sin2301，再根据正弦函数的定义和值域求出d1d2的取值范围. 【详解】 （1）

A,C到直线l2的距离相等，

l2过AC的中点M， l2AC， 边长AC2AM2

（2）假设能放，设边长为a，BC与l3的夹角， 由对称性，不妨设060， asin2，asin601，

两式相比可得：sin2sin60， 即sin3cossin， 2sin3cos，tan33，sin，

72故边长

a22213， 37综上可得，能放.

31dd4sin60sin4cossin3（）122sin 231cos22sin2222sin2301. 1sin2301， 2060，30230150，

所以02sin23011， 又d10，d20，所以d1d20,1. 【点睛】

本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.

1323．（1）的最小值为1，f(x)sin2x，T，（2）0a（3）原不等

432k3kx,kZ 式的解集为x28224【解析】 【分析】

（1）先将f(x)化成正弦型，然后利用fx在xf(x)的解析式和周期

12处取得最大值求出，然后即可得到

5（2）先根据图象的变换得到ygxsinx，然后画出gx在区间,上的图

633象，条件转化为g(x)的图象与直线y12a有两个交点即可

（3）利用坐标的对应关系式，求出h(x)的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果． 【详解】 （1）因为a3,sinx，b1,2cosx

3所以fxab32sinxcosx

313232sinxcosxsinxsinxcosx3sinx3 2211cos2x133 sin2x33sin2xcos2x222223sin2x 32因为fx在x所以212处取得最大值.

1232当k0时的最小值为1

2k,kZ，即12k1,kZ

3此时f(x)sin2x，T

32（2）将yfx的图像上的所有的点向右平移

个单位得到的函数为433ysin2xsin2x，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为

432623原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为ysinx，然后将所得图像上所有的点向

62下平移3个单位，得到函数ygxsinx

625gxsinx在区间,上的图象为：

633

方程gx2a10有两个不相等的实数根等价于g(x)的图象 与直线y12a有两个交点 11所以12a1，解得0a

24（3）设Px,y，Qx0,y0

31A,OPOQOA 因为点，且满足6421xxx2x00263所以，所以 133yyy2y00242因为点Qx0,y0为函数yfx图像上的一点 所以2y33sin22x 23321即yh(x)sin4x

23因为hx所以2k所以

110，所以sin4x

32464x32k7,kZ 6kk3x,kZ 22428k3kx,kZ 所以原不等式的解集为x28224【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．

24．（1）证明见解析；（2）(1,2) 【解析】 【分析】

（1）由b2c2ac，联立b2a2c22accosB，得ac2ccosB，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和B2C，得【详解】

解：（1）锐角ABC中，b2c2ac，故由余弦定理可得：b2a2c22accosB，

a2cos2C1，再确定角C的范围，即可得到本题答案. cc2aca2c22accosB，

a2ac2accosB，即ac2ccosB，

∴利用正弦定理可得：sinAsinC2sinCcosB， 即sin(BC)sinBcosCsinCcosBsinC2sinCcosB，

sinBcosCsinCsinCcosB，

可得：sin(BC)sinC，

∴可得：BCC，或BCC（舍去），

B2C.

（2）

asinAsin(BC)sin(2CC)2cos2Ccos2C2cos2C1csinCsinCsinCABC，

A,B,C均为锐角，由于：3CA，

02C2，0C4.

再根据23C，可得

6C，

6C4，

a(1,2) c【点睛】

本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.

225．（1）fx2sinx；（2）1,0

33【解析】 【分析】

（1）由三角函数图像，求出t,,即可；

m32（2）求出函数fxm的值域，再列不等式组求解即可.

m33【详解】

解：（1）由fx的图象可知

T3，则T3， 4424222因为T3，0，所以，故fxtsinx.

33因为M,0在函数fx的图象上，所以

2ftsin0， 23所以3kkZ，即k3kZ，因为2，所以3.

因为点N0,3在函数fx的图象上，所以f0tsin解得t2，

33，

2故fx2sinx.

3322（2）因为x,，所以x,，

2333332,1，则3fx2. 所以sinx323因为3fxm3，所以m3fxm3， m32所以，解得1m0.

m33故m的取值范围为1,0. 【点睛】

本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题. 326．（1）abcos2x；ab2cosx，x0,（2）fx,1

22【解析】

（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得ab，根据ab=|ab|2可求得结果；

（2）利用二倍角的余弦公式化为关于cosx的二次函数可求得结果. 【详解】

3x3xxx（1）因为向量acos,sin，bcos,sin，x0,， 22222所以|a|cos2所以abcos23x3xxxsin21，|b|cos2sin21， 22223xx3xx3xxcossinsincos()cos2x， 222222aba22abb212cos2x121cos2x4cos2x，

ab2cosx，x0,；

22（2）fxcos2x2cosx2cosx2cosx1，

3又x0,，∴cosx0,1，fx,1.

22【点睛】

本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题.

2] 27．(1) f(x)2sin(2x)3,(2) [2，3【解析】 【分析】

（1）根据题意得到T2k1(kZ)，4k2所以2，再代入数据计算得到，

A2b3，得到答案.

32（2）因为x0,，所以2x,得到0f(x)23，得到

3332m20计算得到答案. m323【详解】

（1）由题意得又TA21151(k)T，则T(kZ)． 121222k1，则4k2，因为04，所以2．

(23)(23)(23)(23)2,b3，

2255,23)，所以2sin(2)323, 1212，所以．

32因为fx的图象经过点(所以32k，kZ，因为||故f(x)2sin(2x)3．

32（2）因为x0,，所以2x,从而,0f(x)23，

3332因为3f(x)m2，所以m3f(x)m2． 要使得存在x0,满足3f(x)m2，

2m20则， m3232]． 解得2m2．故m的取值范围为[2，【点睛】

本题考查了三角函数的解析式，存在问题，计算函数的值域是解题的关键. 328．(1)0 (2)

2【解析】 【分析】

（1）通过(ae)//b可以算出(1,sinx1)//1,cosxcosxsinx1，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出f(x)abme(ab)，再通过最大值根的分布，求出m的值. 【详解】

（1）通过(ae)//b可以算出(1,sinx1)//1,cosxcosxsinx1， 即cosxsinx1(cosxsinx)2112sinxcosx1sinxcosx0 故答案为0.

（2）f(x)1sinxcosxm(sinxcosx)，设cosxsinxtt1,2，

1t21t21312sinxcosxtsinxcosxmtt2mt， ，g(t)f(x)122222123的最大值为1； 1,2即g(t)tmt,t2221313①当m1m1时，g(x)maxg(1)mm（满足条件）；

2222②当1m22m1时，

1311g(x)maxg(m)m2m2m22（舍）；

22221312③当m2m2时，g(x)maxg(2)2m2m（舍）

2222故答案为m【点睛】

3 2当式子中同时出现sinxcosx,sinxcosx,sinxcosx时，常常可以利用换元法，把

sinxcosx用sinxcosx,sinxcosx进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；

二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果. 329．（1）；（2）[k，k],kZ；（3）[1,2].

88【解析】 【分析】

（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式2k22x42k2,kZ，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数

的值域. 【详解】

（1）由题得f(x)1sin2x2所以函数的最小正周期为（2）令2k1cos2xsin2xcos2x2sin(2x)， 242=. 222x42k2,kZ,

3所以kxk,kZ,

883所以函数的单调增区间为[k，k],kZ.

88（3）0x2,02x,42x45, 42sin(2x)1,12sin(2x)2， 244所以函数的值域为[1,2]. 【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 30．(1) T2；(2)a2或a6 【解析】 【分析】

（1）根据二倍角公式进行整理化简可得fx2sinx，从而可得最小正周期；（2）将

1gx通过换元的方式变为y1t2ata1，2t1；讨论对称轴的具体位置，分

2别求解最大值，从而建立方程求得a的值. 【详解】

22（1）fx21cosxsinxcosxsinx1

222sinxsinx12sin2x12sinx 最小正周期T2

1（2）gxsin2xasinxacosxa1

2令sinxcosxt，则sin2x1sinxcosx1t2

211aa12y1tata1tatata

22422222tsinxcosx2sinx

4由4x2得2x44 2t1

①当

a2，即a22时 21当t2时，ymax2a2

288122122（舍去) 由2a22，解得a72221②当2a1，即22a2时 2aa21a 当t时，ymax242a21由a2得a22a80，解得a2或a4（舍去） 42③当

a1，即a2时 2当t1时，ymaxaa1，由12，解得a6 22综上，a2或a6 【点睛】

本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.