考研数学一(线性代数)模拟试卷82(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷82 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． AB=0，A，B是两个非零矩阵，则

A．A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关． B．A的列向量组线性相关．B的列向量组线性相关． C．A的行向量组线性相关．B的行向量组线性相关． D．A的行向量组线性相关．B的列向量组线性相关．

正确答案：A 涉及知识点：线性代数

2． 设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是( )．

A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关． B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关． C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关． D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．

正确答案：A 涉及知识点：线性代数

3． α1，α2，α3，β线性无关，而α1，α2，α3，γ线性相关，则 A．α1，α2，α3，cβ+γ线性相关． B．α1，α2，α3，cβ+γ线性无关． C．α1，α2，α3，β+cγ线性相关． D．α1，α2，α3，β+cγ线性无关．

正确答案：D 涉及知识点：线性代数

4． 设α1，α2，α3线性无关，则( )线性无关： A．α1+α2，α2+α3，α3一α1． B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3． C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．

D．α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2—5α3．

正确答案：C 涉及知识点：线性代数

5． 设α1，α2，α3是3维向量空间R3的基，则从基α1，α2/2，α3／3到α1+α2，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵为( )．

A．

B． C． D．

正确答案：A

解析：基α1，α2／2，α3／3到α1+α2，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵，也就是α1+α2，α2+α3，α3+α1对于α1，α2／2，α3／3的表示矩阵．α1+α2=α1+2(α2／2)，α2+α3=2(α2／2)+3(α3／3)，α3+α1=α1+3(α3／3)．于是α1+α2，α2+α3，α3+α1对于α1，α2／2，α3／3的表示矩阵为 知识模块：线性代数

填空题

6． 已知α1，α2，α3线性无关．α1+tα2，α2+2α3，α3+4tα1线性相关．则实数t等于________．

正确答案：t=一1／2． 涉及知识点：线性代数

7． 设A为3阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是1，又设β=(1，0，0)T，则方程组AX=β的解为_______．

正确答案： (1，0，0)T．

解析： 设A=(α1，α2，α3)．A为正交矩阵，列向量是单位向量．于是α1是(1，0，0)T．则 β=α1=A(1，0，0)T，解为(1，0，0)T 知识模块：线性代数

8． α1=(1，2，一1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，a)T，α1，α2，α3生成的向量空间为2维空间，则，a=______．

正确答案：6

解析：α1，α2，α3生成的向量空间的维数即r(α1，α2，α3)，因此条件说明r(α1，α2，α3)=2．得a=6． 知识模块：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9． 已知求r(AB—A)．

正确答案：如果先求出AB—A，再求它的秩，计算量比较大．注意到AB—A=A(B一E)，而B一E是可逆矩阵，则根据矩阵秩的性质⑤，r(AB—A)=r(A)，直接计算r(A)就简单多了．得r(AB—A)=r(A)=2． 涉及知识点：线性代数

10． 3阶矩阵已知r(AB)小于r(A)和r(B)，求a，b和r(AB)．

正确答案：条件r(AB)小于r(A)，说明B不可逆(这是用了矩阵秩的性质⑤的逆否命题)．类似地r(AB)小于r(B)，说明A不可逆．于是|A|=|B|=0．求出|A|=一4a+8b一12，|B|=a+b一3，则a，b满足解得a=1．b=2． r(AB)＜r(A)＜3，则r(AB)≤1．再由AB不是零矩阵(如它的(2，3)位元素为4)，得r(AB)=1． 涉及知识点：线性代数

11． 设α，β都是3维列向量，A=ααT+ββT．证明(1)r(A)≤2．(2)如果α，β线性相关，则r(A)＜2．

正确答案：(1)r(A)≤r(ααT)+r(ββT)，而r(ααT)≤r(α)≤1，同理r(ββT)≤1．(2)不妨假设β=cα，则A=ααT+cα(cαT)=(1+c2)ααT，于是 r(A)≤r(ααT)≤1＜2． 涉及知识点：线性代数

12． 给定向量组(I)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，一1，a+2)T和(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．当a为何值时(I)和(Ⅱ)等价?a为何值时(I)和(Ⅱ)不等价?

正确答案：思路(I)和(Ⅱ)等价用秩来刻画，即 r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=r(β1，β2，β3)．当a+1=0时，r(α1，α2，α3)=2，而r(α1，α2，α3，β1，β2，β3=3，因此(I)与(Ⅱ)不等价．当a+1≠0时，r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=3．再来计算r(β1，β2，β3)．则r(β1，β2，β3)=3(与a无关)．于是a+1≠0时(I)与(Ⅱ)等价． 涉及知识点：线性代数

13． 求常数a，使得向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但是β1，β2，β3不可用α1，α2，α3线性表示．

正确答案：用秩来表达就是r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)＞r(α1，α2，α3)． 当a≠1和一2时，r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1,β2，β3)=3，不符合要求． 当a=一2时，r(α1，α2，α3)=2，r(β1，β2，β3)=2，不符合要求． 当a=1时，r(α1，α2，α3)=1，r(β1，β2，β3)=3，必有r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3，符合要求，得a=1． 涉及知识点：线性代数

14． 已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs-1线性表示．证明(1)αs不可用α1，α2，…，αs-1线性表示；(2)αs可用α1，α2，…，αs-1，β线性表示．

正确答案：由于β可用α1，α2，…，αs线性表示，可设有表示式 β=k1α1+k2α2+…+kmαm， (I) (1)用反证法 如果αs可用α1，α2，…，αs-1线性表示；设αs=t1α1+t2α2+…+tm-1αm-1，代入(I)式得β用α1，α2，…，

αs-1线性表示式： β=(k1+t1)α1+(k2+t2)α2+…+(km-1+tm-1)αm-1，与条件矛盾． (2)(I)中的km≠0(否则β可用α1，α2，…，αs-1线性表示)．于是有 涉及知识点：线性代数

15． 已知(2，1，1，1)T，(2，1，a，a)T，(3，2，1，a)T，(4，3，2，1)T线性相关，并且a≠1，求a．

正确答案：因为这4个向量线性相关，所以以它们为列向量的4阶行列式为0．求出此行列式的值：得a=1／2． 涉及知识点：线性代数

16． 设α1=(1，1，1，3)T，α2=(一1，一3，5，1)T，α3=(3，2，一1，p+2)T，α4=(一2，一6，10，p)T．p为什么数时，α1，α2，α3，α4线性相关?此时求r(α1，α2，α3，α4)和写出一个最大线性无关组．

正确答案：计算r(α1，α2，α3，α4)则当p=2时，r(α1，α2，α3，α4)=3，α1，α2，α3，4线性相关，α1，α2，α3是一个最大线性无关组． 当p≠2时，r(α1，α2，α3，α4)=4，α1，α2，α3，α4线性无关． 涉及知识点：线性代数

17． 已知αα1，αα2都是3阶矩阵A的特征向量，特征值分别为一1和1，又3维向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关．

正确答案：根据特征向量的性质，α1，α2都是A的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的．证明α3不可用α1，α2线性表示． 用反证法．如果α3可用α1，α2表示，设α3=c1α1+c2α2，用A左乘等式两边，得 α2+α3=一c1α1+c2α2，减去原式得 α2=一2c1α1， 与α1，α2线性无关矛盾，说明α3不可用α1，α2线性表示． 涉及知识点：线性代数

18． 设n维向量组α1，α2，…，αs线性相关，并且α1≠0，证明存在1＜k≤s，使得αk可用α1，…，αk-1线性表示．

正确答案：因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs，使得 c1α1+c2α2+…+csαs=0．设ck是c1，c2，…，cs中最后一个不为0的数，即ck≠0，但i＞k时，ci=0．则k≠1(否则α1=0，与条件矛盾)，并且有c1α1+c2α2+…+ckαk=0．则于 涉及知识点：线性代数

19． 设A为n阶矩阵，α0≠0，满足Aα0=0，向量组α1，α2满足Aα1=α0，A2α2=α0．证明α0，α1，α2线性无关．

正确答案：用定义证明．即要说明当c1，c2，c3满足c1α0+c2α1+c3α2=0时它们一定都是0． 记此式为(1)式，用A乘之，得 c2α0+c3Aα2=0(2) 再用A乘(2)得c3α0=0．由α0≠0，得c3=0．代入(2)得c2=0．再代入(1)得c1=0． 涉及知识点：线性代数

20． 设A为n阶矩阵，α1为AX=0的一个非零解，向量组α2，…，αs满足Ai-1αi=α1(i=2，3，…，s)．证明α1，α2，…，αs线性无关．

正确答案：设c1α1+c2α2+…+csαs=0(1)，要推出系数ci都为0．条件说明Aiαi=Aα1=0(i=1，2，3，…，s)．用As-1乘(1)的两边，得csα1=0，则cs=0．再用As-2乘(1)的两边，得cs-1α1=0，则cs-1=0．这样可逐个得到每个系数都为0． 涉及知识点：线性代数

21． 设α1，α2，…，αs线性无关，βi=αi+αi+1，i=1，…，s一1，βs=αs+α1．判断β1，β2，…，βs线性相关还是线性无关?

正确答案：β1，β2，…，βs对α1，α2，…，αs的表示矩阵为 |C|=1+(一1)s+1．于是当s为偶数时，|C|=0，r(C)＜s，从而r(β1，β2，…，βs)＜s，β1，β2，…，βs线性相关．当s为奇数时，|C|=2，r(C)=s，从而r(β1，β2，…，βs)=s，β1，β2，…，βs线性无关． 涉及知识点：线性代数

22． 已知α1，α2，α3，α4是齐次方程组AX=0的基础解系，记β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα3，β4=α4+tα1．实数t满足什么条件时，β1，β2，β3，β4也是AX=0的基础解系?

正确答案：t≠±1． 涉及知识点：线性代数

23． 设α1，α2，α3，α4线性无关，β1=2α1+α3+α4，β2=2α1+α2+α3，β3=α2一α4，β4=α3+α4，β5=α2+α3． (1)求r(β1，β2，β3，β4，β5)； (2)求β1，β2，β3，β4，β5的一个最大无关组．

正确答案：(1)β1，β2，β3，β4，β5对α1，α2，α3，α4的表示矩阵为用初等行变换化阶梯形矩阵：则r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3． (2)记C的列向量组为γ1，γ2，γ3，γ4，γ5．则由(1)的计算结果知γ1，γ2，γ4是线性无关的．又(β1，β2，β4)=(α1，α2，α3，α4)(γ1，γ2，γ4)得到r(β1，β2，β4)=r(γ1，γ2，γ4)=3，β1，β2，β4线性无关，是β1，β2，β3，β4，β5的一个最大线性无关组． 涉及知识点：线性代数

24． 证明r(A+B)≤r(A)+r(B)．

正确答案： r(A+B)≤r(A+B|B)．对矩阵(A+B|B)进行初等列变换：左边A+B各列都减去右边B的对应列，化为(A|B)．于是 r(A+B)≤r(A+B|B)=r(A|B)≤r(A)+r(B)． 涉及知识点：线性代数

25． 设A是n阶矩阵，证明

正确答案：当r(A)=n时，A可逆，从而A*也可逆，秩为n． 当r(A)＜n一1时，它的每个余子式Mij(是n一1阶子式)都为0，从而代数余子式Aij也都

为0．于是A*=0，r(A*)=0． 当r(A)=n—1时，|A|=0，所以AA*=0．于是r(A)+r(A*)≤n．由于r(A)=n—1，得到r(A*)≤1． 又由r(A)=n一1知道A有n一1阶非0子式，从而存在代数余子式Ahk不为0，于是A*≠0，r(A*)＞0．于是r(A*)=1． 涉及知识点：线性代数

26． 设α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关存在非零向量r，它既可用α1，α2，…，αr线性表示，又可用β1，β2，…，βs线性表示．

正确答案：“”因为{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关，所以存在c1，c2，…，cr，cr+1，…，cr+s不全为0，使得 c1α1+c2α2+…+crαr+cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs=0 记γ=c1α1+c2α2+…+crαr=一(cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs)，则γ≠0(否则由α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs都线性无关，推出c1，c2，…，cr，cr+1，…，cr+s全为0)，并且它既可用α1，α2，…，αr表示，又可用β1，β2，…，βs表示． “”设γ≠0，它既可用α1，…，αr表示，又可用β1，…，βs表示． 记γ=c1α1+c2α2+…+crαs=t1β1+t2β2+…+tsβs，则c1，c2，…，cr和t1，t2，…，ts都不全为0，而 c1α1+c2α2+…+crαs—t1β1一t2β2一…一tsβs=0．根据定义，{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关． 涉及知识点：线性代数

27． 设A=(α1，α2，…，αn)是实矩阵，证明ATA是对角矩阵,α1，α2，…，αn两两正交．

正确答案：ATA的(i，j)位元素为(αi，αj)．于是ATA是对角矩阵,当i≠j时，ATA的(i，j)位元素为0.当i≠j时，αi，αj正交．α1，α2，…，αn两两正交． 涉及知识点：线性代数

28． 设α1，α2，…，αs是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关．

正确答案：以α1，α2，…，αs为列向量组构造矩阵A=(α1，α2，…，αs)，则ATA是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为||α1||2，||α2||2，…，||αs||2，它们都不为0．于是 r(α1，α2，…，αs)=r(A)=r(ATA)=S，从而α1，α2，…，αs线性无关． 涉及知识点：线性代数

29． 设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维实向量组，并且每个αi和βj都正交，证明α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．

正确答案：用定义证明．设c1α1+c2α2+…+csαs+k1β1+k2β2+…+ktβt=0，记η=c1α1+c2α2+…+csαs=一(k1β1+k2β2+…+ktβt)，则(η，η)=一(c1α1+c2α2+…+csαs，k1β1+k2β2+…+ktβt)=0即η=0，于是c1，c2，…，cs，

k1，k2，…，kt全都为0． 涉及知识点：线性代数

30． 设A是n阶非零实矩阵(n＞2)，并且AT=A*，证明A是正交矩阵．

正确答案：AAT=AA*=|A|E，因此只用证明|A|=1，就可由定义得出A是正交矩阵． 由于A≠0，有非零元素，设aij≠0．则AAT的(i，i)位元素|A|=ai12+ai22+…+aij2+…+ain2＞0，从而AAT≠0． 对等式AAT=|A|E，两边取行列式，得|A|2=|A|n，即|A|n-2=1．又由|A|＞0，得出|A|=1． 涉及知识点：线性代数

31． 设η1，η1，…，ηk是向量子空间V的一个规范正交基，α1，α2∈V，它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ1，γ2．证明： (1)内积(α1，α2)=(γ1，γ2)． (2)||αi|| =||γi||，i=1，2．

正确答案：(1)设γi=(ci1,ci2…，cik)T，则αi=ci1η1+ci2η2+…+cikηk，i=1，2．于是 (α1，α2) =(c11η1+c12η2+…+c1kηk，c21η1+c22η2+…+c2kηk) =c11c21+c12c22+…+c1kc2k=(γ1，γ2)．(2)当α1=α2时，用(1)得||αi||2=||γi||2，从而||αi||=||γi||,i=1，2． 涉及知识点：线性代数