证券投资组合方略中数学模型的应用研究

证券投资组合方略中数学模型的应用研究

陆可嘉

浙江省萧山中学　浙江杭州　310000

摘要:在金融市场上，证券投资组合问题一直以来都很重要，因为它与人们的生活息息相关。投资者进行投资是为了尽可能获取最大利益，但高收益总是伴随着高风险，那如何才能减少风险、增大收益呢？这就需要投资者能够对投资的证券进行组合优化。本文通过运用数学模型来分析证券投资组合的收益和风险，以帮助投资者获得最大效用期望值的投资组合。

关键词:证券投资组合；数学模型；风险；收益

中图分类号:F830.9　　文献识别码:A　　文章编号:1673-58(2019)27-0128-03

一、研究背景与研究意义

随着中国经济高速发展，人民的生活水平大大提高，越来越多的人以投资者的身份，将更多的资金投入到证券交易市场，以期获取较大收益。然而事与愿违，由于人们对证券知识的缺乏而进行盲目跟风的投资，再加上我国证券市场的不完善，所导致股票证券的大起大落使投资者损失惨重。在这种情形下，证券投资组合问题成了当今金融市场上一个很重要的问题。证券投资组合，简单地说，就是把资金分散投资到股票、债券、基金、期货等不同的证券类别上面，以降低投资风险。而最优投资组合是指投资者在可以得到的各种可能的投资组合中，唯一可获得最大效用期望值的投资组合。

1952年，著名的美国经济学家Harry Markowitz首次提出《投资组合的选择》，并创建了选择证券组合的“均值——方差”模型。这是第一次在投资过程中将风险和收益进行数字化，并用数量化表示和描述出来。《投资组合选择》的提出也为当今证券组合这种理论奠定了基础。本文在各学者发表的证券投资组合文献的基础上总结组合最优化的数学模型来帮助投资者获取最大收益的方法。

风险度量模型。

在理论方面，不少学者从消费者的极端情绪和羊群效应进行研究。传统金融理论认为金融资产的风险——收益之间存在严格的正相关关系，即“高风险——高收益”，这也被学者称为“金融学第一基本原理”[3]。实际上，均值和方差之间也存在负向关系，这与投资者情绪有关。对投资者极端情绪对均值——方差的影响的研究，无疑也显示出加大对理性投资主体培育的必要性[4]。另外，股票市场羊群行为一直是众多学者研究的焦点。中国股票市场存有显著的羊群行为，投资者们“盲目跟风，追涨杀跌”，加剧了市场波动，破坏了市场稳定，提高了金融体系的脆弱性[5]。在家庭投资组合风险方面，也有不少国内学者进行了研究，主要集中在三个方面：配置的决定因素、配置的多元化程度、配置的有效性[6]。

总体而言，国内外学者在证券投资组合方面的研究已经累积了丰富的研究成果。本文通过选取真实的股票数据，考察股票不同相关关系的情况下对投资组合比例的影响，通过对证券投资组合模型的实证分析帮助投资者选择最优的投资组合。

三、数据与模型介绍

(一)数据介绍

据此，本文依托国信证券营业部的理财经理通过金太阳股票分析软件中的智能选股功能，并结合相关证券评级和主力资金流入方向等，从沪深300市场的众多股票中最终选定了海康威视(002415)、格力电器(000651)、三钢闽光(002110)、贵州茅台(600519)、博汇纸业(600966)、阳光城(000671)、华电国际(600027)、中信证券(600030)八只不同行业的绩优股票，作为进行投资组合实证分析的基础股票。选取的数据为2018年9月的股票数据。

二、文献综述

至今，已有大批学者对证券投资组合进行了深入研究，有些学者尝试建立满足各种投资环境约束下的证券投资组合模型，给出最优模型的求解方法；也有学者从投资者心理等角度从理论上探讨投资组合的相关问题。

在模型方面，Markowitz证券投资组合的均值——方差模型无疑占据金融市场的制高点。Markowitz的主要贡献在于发展了一个概念明确的、可操作的、在不确定条件下选择投资组合的理论，并约束涉及大量资产组合选择的复杂问题为简单的二次规划问题。虽受制于大量假设条件和局限性，其仍奠定了金融资产组合理论及后续研究的基础[1]。William Shape(19)基于Markowitz的理论提出了资本资产定价模型(CAPM)，旨在说明如何确定反映风险和潜在收益的证券价格[2]。为追求投资组合效用最大化，继Markowitz的均值——方差模型，先后有学者提出了其他128现代商业MODERN BUSINESS

(二)模型介绍

1.均值——方差模型(1)收益

两种证券组合的收益：

两种证券SA、SB，投资者将资金按照WA、WB的比例构建证券

组合，则该证券组合的收益RP可以表示为：

(1)

其中WA+WB=1，可以为负数，表示卖空该股票。三种证券组合的收益：

(2)

n种证券组合的收益：

(3)

(2)风险

两种证券组合的风险：

两种证券组合风险的计算式为：

(4)

其中σ表示风险，Cov(RA,RB)是证券SA、SB收益率 之间的协方差，计算公式为：

(5)

为更好地描述两种证券相关性及相关程度，我们引入相关系数这个概念。相关系数是投资实践中更常使用的一个指标，是协方差经标准化之后衡量两种证券收益率变动相关性及相关程度的指标，其计算公式如下：

(6)

亦即：

(7)

将(6)式代入(4)式，得：

(8)

(9)

(8)(9)式即利用了相关系数ρ反映了两种证券组合的风险。

三种证券组合的风险：

(10)

n种证券组合的风险：

(11)

(3)相关系数ρ

在两种证券组合的风险中，我们已经引出了相关系数的概念。相关系数，究其本质，是用来描述两种证券相关性及相关程度的量。它有如下性质：

1.相关系数越大，越接近1，两只证券收益率变动的正相关性越强；

2.相关系数等于1时，称两种证券收益率变动完全正相关；3.相关系数越小，越接近-1，两只证券收益率变动的负相关性越强；

4.相关系数等于-1时，称两种证券收益率变动完全负相关；5.相关系数等于0，称两种证券收益率变动完全不相关。(4)均值——方差模型的最优投资组合原理

均值——方差模型中所谓的最优投资组合，就是指使总风险

金融视线 | Financial View(即标准差)最小的投资组合。那么如何使投资组合的风险最小呢？这里采用求导，令导数等于零的方法。

对于两只证券的均值——方差模型，我们假设有A、B两只证券，投资比例分别为WA、WB，根据：

令

可获得最优投资比例为：

(12)

对于三只及多只证券的均值——方差模型，我们只需参照两只证券的均值——方差模型，利用

令

得到关于W1，W2，…，Wi-1的i-1元一次方程组，解出来即可。

2.效用最大化模型

所谓效用最大化模型，其原理就是使效用最大，即使投资者在投资活动中获得的满足感达到最大。

效用最大化模型，相比于均值——方差模型，其进步之处在于考虑到了投资者偏好，引入了风险厌恶系数A。效用U，是指投资者在投资活动中获得的满足感，是预期收益率和风险的函数。其公式为：

(13)

风险偏好程度越低，其效用无差异曲线越陡峭；风险偏好程度越高，其效用无差异曲线越平缓。投资者在选择投资组合时投资时为使效用最大，应选择其效用无差异曲线和有效集的切点组合，这是最优证券组合。由于不同投资者的风险偏好不同，不同投资者的最优投资组合也存在明显差异。

四、实证分析

(一)收益、风险、相关系数的计算

根据上述提到的选取股票的标准，本文选取了以下八支股票近30天的收盘价数据，并计算股票的标准差、方差、收益如下表所示：

表1

MODERN BUSINESS现代商业129

Financial View| 金融视线

进一步计算相关系数矩阵(如表2)：

表2

(二)均值-方差模型的应用

1.相关系数为1

现选取格力电器和中信证券这两只相关系数接近于1(0.97)的股票，用均值——方差模型计算最优投资比例。

计算得。

2.相关系数为0

再选取海康威视和贵州茅台这两只相关系数接近于0(0.03)的股票计算。

计算得

。

3.相关系数为-0.5

再选取三钢闽光和华电国际这两只相关系数接近于-0.5(-0.51)的股票计算。

计算得。

可以看到当相关系数为正时，对两支股票进行相反的操作可以对冲风险，当相关系数为负时，同时买入两支股票可以对冲风险，此时仅考虑风险对模型的影响。

(三)效用最大化

选取三钢闽光和华电国际两只相关系数为负的股票进行分析。

1.风险厌恶系数为1

计算得

。

2.风险厌恶系数为2

计算得。

可以看到风险厌恶系数越大，收益对投资组合比例的影响越小，仅考虑风险时相当于风险厌恶系数为正无穷。

130现代商业MODERN BUSINESS

效用最大化模型相比均值方差模型，进一步考虑到了期望收益的影响，并且考虑了不同风险厌恶系数的情况下，对于投资组合模型系数的影响。

五、结论与建议

(一)结论

在均值方差模型下，仅考虑风险，可以看到当相关系数为正时，对两支股票进行相反的操作可以对冲风险，当相关系数为负时，同时买入两支股票可以对冲风险。但是该模型忽略了收益对于投资组合模型的影响。而效用最大化模型进一步考虑了收益对于投资比例的影响，并且进一步考虑了不同风险厌恶系数对于投

资比例的影响。可以看到风险厌恶系数越大，收益对投资组合比例的影响越小，仅考虑风险时相当于风险厌恶系数为正无穷。

(二)建议

总之，投资者在选择证券投资组合时，要把资金分散投资到不同股票上降低投资风险。并且，投资者在构建证券投资组合的

过程中，不仅要考虑每一证券的风险——回报率特性，而且要估计到这些证券随着时间推移可能产生的相互作用。在应用效用最大化模型时，还要根据自身的风险承受能力选取合适的风险厌恶系数，做出更加恰当的投资决策。

参考文献：

[1]景乃权,陈姝.VAR模型及其在投资组合中的应用[J].财贸经济,2003(2).

[2]李湧.证券投资基金最优投资组合规模实证研究[D].华南理工大学,2012.

[3]Ghysel E., Santa-Clara P., Valkanov R. There Is a Risk-return Tradeoff after All [J].Journal of Financial Economics,2005,76.[4]董孝伍,张信东.投资者极端情绪的均值-方差效应分析[J].管理评论,2017,29(6).

[5]池国华,张向丽.基金羊群行为与投资组合崩盘风险——基于

序贯交易模型的实证研究[J].科学决策,2018(5).

[6]路晓蒙,李阳,甘犁,等.中国家庭金融投资组合的风险——过于保守还是过于冒进?[J].管理世界,2017(12).

作者简介：

陆可嘉，浙江省萧山中学学生。