函数定义域、值域经典讲义

学科培训师辅导讲义

学员编号 学员姓名 课 题 备课时间 年 级 辅导科目 高一 数学 课时数 学科培训师 2 周老师 函数定义域、值域 2014年07月25日 授课时间 2014年07月26日 教学内容 知识点三：函数的定义域 一、课前检测 1. （2008全国）函数f(x)xx1x的定义域是____________. 答案：xx1 2.函数f(x)的定义域为[1,1]，则f(x1）的定义域为____________. 答案：x0,2 3．函数f(x)lgA.(1，4) 1x的定义域为（ ） x4C.(，1)(4，) D. (，1](4，) B.[1，4) 二、知识梳理 1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案：有意义的自变量的取值 2．常见的三种题型确定定义域： （1） 已知函数的解析式，就是 . 答案：解不等式（组） 如：①yf(x)，则 ； ②y2nf(x)(nN*)，则 ； g(x)③y[f(x)]0，则 ； ④ylogf(x)g(x)，则 ； ⑤ytanx，则 ； ⑥f(x)是整式时，定义域是全体实数。 （2） 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域. （3）实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 三、典型例题分析 例1。求下列函数的定义域 (1)y1x21； 答案：xx1或x1且x2 2|x|314x2(5x4)0 答案：xx且x,x (2)ylg(4x3)425变式训练：求下列函数的定义域：

1 成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践

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（1）ylog1(3x2) 答案：(3,1] 22（2）f(x)＝12x 答案：,0 小结与拓展：根据基本初等函数的定义域构建不等式（组） 例2 （1）若f(x)的定义域为［－1，1］，求函数f(x1)的定义域 解：1x112x0 f(x1)的定义域为［－2，0］ （2）若f(x1)的定义域是［－1，1］，求函数f(x)的定义域 解：tx1x[1,1]t[0,2]， f(x)的定义域为［0，2］ ,，则函数f(2x)的定义域为 答案：变式训练1：已知函数f(x2)的定义域为11,0 变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x-a)（0＜a＜1）的定义域是（ ）

2 A.B.［a，1-a］［-a，1+a］［0，1］ 小结与拓展：求函数的定义域要注意是求x的取值范围，对同一对应法则定义域是相同的。 例3 如图，等腰梯形ABCD内接于一个半径为r的圆，且下底AD＝2r，如图，记腰AB长为x，梯形周长为y，试用x表示y并求出函数的定义域 BC解：连结BD，过B向AD作垂线BE，垂足为E ∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，又AD＝2r，AB＝x xAD cosA O2rxx2 在△ABE中，AEABcosAx2 2r2rx2r2 BCAD2AE2r22r 2rrABCDEO1 y2r2xBCx22x4rx(0,2r) r小结与拓展：对于实际问题，在求出函数解析式后，必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。 变式训练：等腰梯形ABCD的两底分别为AD2a,BCa,BAD450，作直线MNAD交AD于交折线ABCD于N，记AMx，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，M，并写出函数的定义域。 成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践

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12ax x0,2211a3a答案：yaxa2 x, 822212523ax2axa x,2a422 检测： 一、求下列函数的定义域 4（1）y 111x （2）yx3x4x1223 （3）y2x21x10 （4） ylgxlg(5x)的定义域。 3xx2（5）函数y＝1xx1 (6) y＝; x1122 知识点三：函数最值与值域 一、课前检测 1. 函数y2x3,x[1,3]的值域为____________. y1y9 2. 函数yx22x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为___________. 0,1,3 3. 函数y2x12,x(,2]的值域为___________. y2,0 4. 函数f(x)3x25x2，x[0,2]的值域是（ ） A．[2,4] B．[111,) C．[,2] D．[,4] 121212 二、知识梳理 求函数值域（最值）的一般方法： 1、利用基本初等函数的值域； 2、配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； 3、不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如yx4、函数的单调性：特别关注yxk(k0)型函数） xk(k0)的图象及性质 x3

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5、部分分式法、判别式法（分式函数） 6、换元法（无理函数） 7、导数法（高次函数） 8、数形结合法 三、典型例题分析 （一）利用基本初等函数的值域 例1．求下列函数的值域： 23（1）y3x2x2,xR （2）y=5+2x1(x≥-1). 答案：（1）y, （2）12y5, 23变式训练：求函数y3x2x2，x[1,3]的值域． 答案：y,26 12小结与拓展：常见的基本初等函数的值域 （二）分离常数法 3x1例2．求函数y的值域： x2 解：y3x13(x2)7777，∵30，∴33， x2x2x2x2x2∴函数y3x1的值域为{yR|y3}． x2x21变式训练：求函数y=2的值域. 答案：y1,1 x1（三）换元法 例3。求下列函数的值域： （1）yx41x （2）yx1x2 （1）解：设t1x0，则x1t2， ∴原函数可化为y1t24t(t2)25(t0)，∴y5， ∴原函数值域为(,5]． （2）解：∵1x201x1，∴设xcos,[0,]， 则ycossin2sin() 4∵[0,]，∴52[,]，∴sin()[,1]， 44442∴2sin()[1,2]， 4∴原函数的值域为[1,2]． 成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践

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小结与拓展：总结yaxbcxd型值域，变形：yax2bcx2d或yax2bcxd （四）数形结合法 例4．求下列函数的值域： （1）y|x1||x4| （2）y1y,3 32sinx 答案：（1）y5, （2）2sinx（五）其他方法 例5．求下列函数的值域： 2x2x2x24x5（1）y（2）y2（判别式法） 答案：（1）y2, (x2)（均值不等式）x2xx1（2）y1,5 课后作业 函数的定义域 一、求下列函数的定义域 (1) y＝9x31x2; （2）y111x （3）y1 （4）y＝log3－x(x2－1) |x|x 成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践

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（5）y1log1(2x)2 二、求抽象函数的定义域： （1）已知函数f（x）的定义域为(0,1)，求f（x2）的定义域； （2）已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（x）的定义域； （3）已知函数f（x+1）的定义域为［-2,3］，求f（2x2-2）的定义域. 三、综合问题 1.若函数yax2ax1的定义域是一切实数，求实数a 的取值范围。 a 2、设f(2x1)2x1，则f（x）的定义域是 。 3、设函数y＝lg(x2-x-2)的定义域为A,,函数y＝ x2的定义域为B,则A  B＝ 。 x14、若函数y＝f (x)的定义域是[－2, 4], 则函数g(x)＝f (x)＋f (－x)的定义域是（ ） （A）[－4, 4] （B）[－2, 2] （C）[―4, ―2] （D）[2, 4] 5、已知f(x2)的定义域为[1，2]，则函数f(x)的定义域为 。 6、函数fx的定义域是1,0，那么函数yfx2的定义域是______ 7、已知函数f（x）＝mx2mx1的定义域是一切实数，求M的取值范围。 成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践

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函数的值域 一、求下列函数的值域： （1）求函数yx1x1,(x1)的值域（提示：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断函数值域的方法。） （2）求函数yx26x10的值域。 （3）求函数y2x,x[2,2]的值域。（提示：最值法‘对于闭区间上的连续函数，利用求函数的最大值和最小值来求函数的值域的方法） （4）求函数y2x25x6的值域。 若上题中改为x∈[0、2）呢？ 2x1 （5）求函数y2的值域。（提示：判别式法，通过对二次方程的实根的判别求值域的方x2x2法。 成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践

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（6）求函数y2x32（提示：反函数法，利用求已知函数的反函数的定义域，,x的值域。3x23从而得到原函数的值域的方法。） （7）求函数yx12x的值域（提示：换元法，通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式，来求值域的方法。 9（8）求函数ylog12x25x的值域。（提示：复合函数法：对函数yf(u),ug(x)，82先求ug(x)的值域充当yf(u)的定义域，从而求出yf(u)的值域的方法。） （9）求函数yx （10）求函数yx3x1的值域。 1的值域（提示：利用基本不等式求值域） x 成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践

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