浙江省宁波市海曙区储能学校2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷

浙江省宁波市海曙区储能学校2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)（共10题；共28分）

1.下列垃圾分类的图标（不含文字与字母部分）中，是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是( )

A. 3，4，5 B. 1， √3 ，2 C. 6，8，10 D. 1.5，2.5，4 3.下列命题的逆命题是真命题的是( )

A. 对顶角相等 B. 等角对等边 C. 同角的余角相等 D. 全等三角形对应角相等 4.下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是( )

A. x>-1 B. -1-1或x≤2

5.在平面直角坐标系中，与点P关于原点对称的点Q为(1，-3) ，则点P的坐标是( ) A. (1，3) B. (-1，-3) C. (1，-3) D. (-1，3) 6.△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的是( ) A. 如果∠A=2∠B=3∠C，则△ABC是直角三角形 B. 如果∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形 C. 如果a：b：c=1：2：2，则△ABC是直角三角形 D. 如果a：b：c=3：4： √7 ，则△ABC是直角三角形

7.下列说法中：①线段是轴对称图形，②已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，③等腰三角形的角平分线就是底边的垂直平分线，正确的有( )

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 𝑥≤2

8.已知关于x的不等式组 { 有解，则a的取值不可能是( )

𝑥>𝑎A. 0 B. 1 C. 2 D. -2

9.如图，把△ABC经过一定的变换得到△A'B'C' ，如果△ABC上点P的坐标为(x，y)，那么这个点在△A'B'C'中的对应点P'的坐标为( )

A. (-x，y-2) B. (-x，y+2) C. (-x+2，-y) D. (-x+2，y+2)

10.如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=4，PB= 2√3 ，PC=2，以下五个结论：①∠ BPC=120°；②∠APC=120°；③ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=14√3 ；④AB= √28 ；⑤点P到△ABC三边的距离分别为PE,PF,PG,则有 𝑃𝐸+𝑃𝐹+𝑃𝐺=

√3𝐴𝐵 2

其中正确的有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)（共6题；共16分）

11.点(2，-3)在第________象限

12.“x的2倍与3的差是非负数．”用不等式表示为：________．

13.在直角三角形中，两条直角边的长分别是8和15，则斜边上的中线长是________.

14.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为18cm，则AC的长度为________cm

15.如图，在锐角△ABC中，AB= √10 ，∠BAC= 45°，∠BAC的平分线交BC于点D， M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是________

16.如图所示“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3 ， 若S1+S2+S3=10，S2的值是________

三、解答题(本大题共8小题，共52分)（共8题；共52分）

17.解不等式3(2+x)>2x，并把解在数轴上表示出来 18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，利用直尺和圆规作图

( 1 )作出△ABC的角平分线AE；

( 2 )若AC=5，BC=12，求出斜边AB上的高的长度

19.如图，已知 𝐴𝐵∥𝐷𝐸 ， ∠𝐵=∠𝐸 ， 𝐵𝐶=𝐸𝐹 ，求证： 𝐴𝐹=𝐶𝐷 .

20.如图，在直角坐标系中，长方形ABCD的三个顶点的坐标为A(1，1)，B(6，1)， D(1，4)，且AB∥x轴，点P(a，b-2)是长方形内一点(不含边界)

（1）求a，b的取值范围

（2）若将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q ，若点Q恰好与点C关于y轴对称，求a，b的值

21.随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的 A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号： B种型号： 第一周 3台 第二周 4台 5台 10台 18000元 31000元 （1）求A， B两种型号的净水器的销售单价．

（2）若电器公司准备用不多于000元的金额采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台？

22.已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA=DB=DC。

（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由。

（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC=BC，AB=16，DC=10，求CE和AC的长。 23.如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的-一个动点(与点A、B不重合)。直线是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线折叠，点B的对应点是点B'

（1）如图1，当PB=4时，若点B'恰好在AC边上，则AB'的长度为________

（2）如图2，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB'的长度为________

（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线始终垂直于AC，△ACB'的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积

24.定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”。如图1在△ABCAC=BC2 ， 则△ABC是“和谐三角形”。 中，若AB2+AC2-AB·

（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是________命题(填“真”或“假”)。

（2）若Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若△ABC是“和谐三角形”，求a：b：c。 （3）如图2，在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点D、E，且AD FG。

①求证：AD=CE

②连接CG，若∠GCB= CABD，那么线段AG、FE、CD能否组成一个“和谐三角形” ？若能，请给出证明；若不能，请说明理由。

答案解析部分

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.【答案】 B

【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故答案为：B ．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 2.【答案】 D

【解析】【解答】解：A、∵3+4=7＞5， ∴这三条线段能组成三角形，故A不符合题意； B、∵1+√3＞2，

∴这三条线段能组成三角形，故B不符合题意； C、∵6+8=14＞10，

∴这三条线段能组成三角形，故C不符合题意； D、∵1.5+2.5=4，

∴这三条线段不能组成三角形，故D符合题意； 故答案为：D

【分析】利用三角形三边关系定理，用各选项中的较小两边的和与较大的边比较大小，即可求解。 3.【答案】 B

【解析】【解答】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故A不符合题意； B、等角对等边的逆命题是等边对等角，是真命题，故B符合题意；

C、同角的余角相等的逆命题是两个角的余角相等，这两个角是同一个角，是假命题，故C不符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两三角形全等，是假命题，故D不符合题意； 故答案为：B.

【分析】分别求出各选项中的命题的逆命题，再根据对顶角的性质，余角的性质，等腰三角形的性质及全等三角形的判定，分别对各选项逐一判断。 4.【答案】 B

【解析】【解答】解：由数轴可知： 此不等式组的解集为-1【分析】观察数轴可得此不等式组的解集。 5.【答案】 D

【解析】【解答】解：与点P关于原点对称的点Q为(1，-3)， ∴点P的坐标为（-1，3）. 故答案为：D.

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，据此可求出点P的坐标。 6.【答案】 D

【解析】【解答】解：A、∵∠A=2∠B=3∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A+2∠A+3∠A=180° 解之：∠A=(

108011

1

1

)°≠90°，此三角形不是直角三角形，故A不符合题意；

B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5， 设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x， ∴3x+4x+5x=180° 解之：x=15°

∴∠C=5×15°=75°≠90°，此三角形不是直角三角形，故B不符合题意； C、a：b：c=1：2：2 设a=x，b=2x，c=2x

∴a2+b2=x2+4x2≠c2 ， 此三角形不是直角三角形，故C不符合题意； D、设a=3，b=4x，c=√7x ∴a2+c2=9x2+7x2=16x2 ， b2=16x2

∴a2+c2=b2 ， 此三角形是直角三角形，故D符合题意； 故答案为：D.

【分析】利用三角形内角和定理求出三角形的内角的度数，可对A作出判断；设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到三角形的三个内角的度数，可对B作出判断；利用勾股定理的逆定理对C，D进行计算，可对C，D作出判断。 7.【答案】 B

【解析】【解答】解： ①线段是轴对称图形，正确； ②已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，错误； ③等腰三角形的角平分线就是底边的垂直平分线，错误； 正确的有①. 故答案为：B.

【分析】利用轴对称图形的定义，可对①作出判断；利用等腰三角形的性质和判定，可对②③作出判断。

8.【答案】 C

𝑥≤2

有解， 【解析】【解答】解：∵ 关于x的不等式组 {

𝑥>𝑎 ∴a＜2

∴A，B，D不符合题意，C符合题意； 故答案为：C.

【分析】根据“大于小，小于大，中间找”，可得到a的取值范围，再根据a的取值范围可得答案。 9.【答案】 B

【解析】【解答】解：∵将△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称得到△A'B'C'，△ABC上点P的坐标为(x，y)，

∴这个点在△A'B'C'中的对应点P'的坐标为(-x，y+2) . 故答案为：B.

【分析】观察平面直角坐标系中的两三角形，可知将△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称得到△A'B'C'，利用平移规律及关于y轴对称点的坐标特点，可得到对应点P'的坐标。 10.【答案】 B

【解析】【解答】作BH⊥PC于H

根据等边三角形的性质得：BA=BC，∠ABC=60°

把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD得到上图 根据旋转的性质可得CD=AP=4，BD=BP= 2√3 ，∠PBD=60° ∴△PBD为等边三角形 ∴PD=PB= 2√3 ，∠BPD=60°

在三角形PDC中，PC=2，PD= 2√3 ，CD=4 ∴PC2+PD2=CD2

∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90° ∴∠BPC=∠BPD+∠CPB=150°，故①错误； 根据平角性质，可得∠BPH=30° 在直角三角形PBH中，∵∠BPH=30° ∴PB= 2√3 ∴BH= 2𝑃𝐵=√3 ，则PH=3 CH=PC+PH=2+3=5 在直角三角形BCH中

𝐵𝐶2=𝐵𝐻2+𝐶𝐻2=28 ，则 𝐴𝐵2=28 ，故④正确； 又∵ 𝐵𝑃2+𝐴𝑃2=𝐴𝐵2

∴△ABP为直角三角形，∠APB=90°

1

∴∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°，故选项②正确； 𝑆△𝐴𝐵𝐶=

√3𝐵𝐶24

=7√3 ，故选项③错误；

111111√32

𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑃𝐸·𝐴𝐵+𝑃𝐹·𝐵𝐶+𝑃𝐺·𝐴𝐶=𝑃𝐸·𝐴𝐵+𝑃𝐹·𝐴𝐵+𝑃𝐺·𝐴𝐵=𝐴𝐵

2222224

∴ 𝑃𝐸+𝑃𝐹+𝑃𝐺=√𝐴𝐵 ，故选项⑤正确

2故答案选择：B.

【分析】作BH⊥PC于H，根据等边三角形的性质得：BA=BC，∠ABC=60°，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，证明出△PBD为等边三角形和△PCD为直角三角形即可求出①；根据平角性质，可得∠BPH=30°，证明△ABP为直角三角形，即可求出②和④；根据面积公式求出③；根据等面积法即可求出④.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.【答案】 四

【解析】【解答】解：点(2，-3)在第四象限. 故答案为：四.

【分析】第四象限点的坐标符号：横正纵负，可得已知点所在的象限。 12.【答案】 2x-3≥0

【解析】【解答】解：由题意得：2x-3≥0． 故答案为：2x-3≥0．

【分析】先表示出x的2倍与3的差为2x-3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x-3≥0． 13.【答案】 8.5

【解析】【解答】∵两条直角边的长分别是8和15 ∴斜边= √82+152=17

又∵斜边上的中线等于斜边的一半 故答案为：8.5.

【分析】利用勾股定理可以求出斜边的长度，再根据“斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质即可得出答案.

14.【答案】 7

【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE，

∵△ABC的周长为25，AB=AC ∴AB+AC+BC=25即2AC+BC=25， ∵△EBC的周长为18 ∴EB+EC+BC=18

∴AE+EC+BC=18即AC+BC=18 ∴AC=25-18=7. 故答案为：7.

3

【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得AE=BE，再根据两三角形的周长可证得2AC+BC=25，AC+BC=18，由此可求出AC的长。 15.【答案】√5

【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，交AD于点M'，过M点作MN'⊥AB于点N'，

∵AD平分∠BAC ∴M'N'=M'H

∴BM'＋M'N'=M'H+BM'=BH， ∵垂线段最短，

∴此时BM'＋M'N'的最小值就是BH的长． ∵AB＝10，∠BAC＝45°，

∴𝐵𝐻＝𝐴𝐵•sin45°＝√10×√=√5

2 ∴BM'＋M'N'的最小值为√5 ． 故答案为：√5 ．

【分析】过点B作BH⊥AC，垂足为H，交AD于点M'，过M点作MN'⊥AB于点N'，利用角平分线的性质可证得M'N'=M'H，由此可推出BM'＋M'N'=BH，利用垂线段最短可知BM'＋M'N'的最小值就是BH的长，再利用解直角三角形求出BH的长。 16.【答案】3 【解析】【解答】解：∵“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的 ∴设正方形MNKT的面积为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1 ， S2 ， S3 ， S1＋S2＋S3＝10， ∴得出S1＝8y＋x，S2＝4y＋x，S3＝x， ∴S1＋S2＋S3＝3x＋12y＝10，故3x＋12y＝10，

𝑥＋4𝑦＝ 所以S2＝x＋4y＝3 ， 故答案为：3.

【分析】由题意设正方形MNKT的面积为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，分别表示出S1 ， S2 ， S3；再根据S1＋S2＋S3＝10，可得到x+4y的值，由此可得答案。 三、解答题(本大题共8小题，共52分)

10

10

10

2

10

3

17.【答案】 解：6+3x＞2x 解之：x＞-6

【解析】【分析】利用去括号的法则先去括号，再移项合并，就可求出不等式的解集；再将不等式的解集在数轴上表示出来。

18.【答案】 解：（1）如图，

（ 2 ） 过点C作CH⊥AB于点H， 在Rt△ABC中

𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=√52+122=13. ∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵·𝐶𝐻=2𝐴𝐶·𝐵𝐶 ∴AB·CH=AC·BC ∴13CH=5×12 解之：𝐶𝐻=13. 【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出∠CAB的角平分线。

（2）CH=AC·BC；然后代入求出利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形的两个面积公式可得到AB·CH的长。

19.【答案】 解：∵ 𝐴𝐵∥𝐷𝐸 ， ∴ ∠𝐴=∠𝐷 .

在 𝛥𝐴𝐵𝐶 和 𝛥𝐷𝐸𝐹 中，

601

1

∠𝐴=∠𝐷,

∵ {∠𝐵=∠𝐸,

𝐵𝐶=𝐸𝐹,

∴ 𝛥𝐴𝐵𝐶≌𝛥𝐷𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆) . ∴ 𝐴𝐶=𝐷𝐹 .

∴ 𝐴𝐶+𝐶𝐹=𝐷𝐹+𝐶𝐹 . ∴ 𝐴𝐹=𝐶𝐷 .

【解析】【分析】由 𝐴𝐵∥𝐷𝐸 ，可得 ∠𝐴=∠𝐷 ，从而可证 𝛥𝐴𝐵𝐶≌𝛥𝐷𝐸𝐹 ，则 𝐴𝐶=𝐷𝐹 ，则 𝐴𝐶+𝐶𝐹=𝐷𝐹+𝐶𝐹 ，则结论可证.

20.【答案】 （1）解：∵A(1，1)，B(6，1)， D(1，4)，且AB∥x轴，点P(a，b-2)是长方形内一点(不含边界) ，

∴1＜a＜6，1＜b-2＜4

解之：3＜b＜6

∴a，b的取值范围分别为：1＜a＜6，3＜b＜6.

（2）解： ∵将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q， ∴点Q（a-8，b-2+2）即（a-8，b） ∵点C（6，4）和点Q关于y轴对称 ∴6+a-8=0，b=4， 解之：a=2，b=4.

【解析】【分析】（1）根据点A，B，D的横坐标及点P(a，b-2)是长方形内一点(不含边界) 可得到a的取值范围，再根据点A，B，D的纵坐标可求出b的取值范围。

（2）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，可得到点Q的坐标，再根据点Q恰好与点C关于y轴对称，分别建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值。

21.【答案】 （1）解：设A型号的净水器的销售单价为x元， B型号的净水器的销售单价为y元，根据题意得

3𝑥+5𝑦=18000{) 4𝑥+10𝑦=31000

𝑥=2500

解之：{)

𝑦=2100

答：A型号的净水器的销售单价为2500元， B型号的净水器的销售单价为2100元；

（2）解：设A种型号的净水器最多能采购m台，则B种型号的净水器能采购（30-m）台，根据题意得 2000m+1700（30-m）≤000 解之：m≤10， m取最大正整数， ∴m=10.

答： A种型号的净水器最多能采购10台.

【解析】【分析】（1）此题等量关系为：A型号的净水器的销售单价×3+B型号的净水器的销售单价×5=18000；A型号的净水器的销售单价×4+B型号的净水器的销售单价×10=31000，设未知数，列方程组，求出方程组的解。

（2）此题的不等关系为：A型号的净水器的数量+B型号的净水器的数量=30；A型号的净水器的进价×A型号的净水器的数量+B型号的净水器的进价×B型号的净水器的数量≤000；设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大正整数解。

22.【答案】 （1）解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AD=CD， ∴∠A=∠DCA， ∵DB=DC， ∴∠B=∠∠DCB，

∴∠ACB=∠DCA+∠DCB=∠A+∠B， ∵∠ACB+∠A+∠B=180°， ∴2∠ACB=180°， ∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形.

（2）解：∵DA=DB，CA=CB，

∴C、D都在AB的垂直平分线上，即CD是AB的垂直平分线， ∴∠AED=90°， ∴AE=EB=8， ∵DA=DC=10,

∴DE=√𝐴𝐷2−𝐴𝐸2=√102−82=6， ∴CE=CD-DE=10-6=4，

∴AC=√𝐴𝐸2+𝐶𝐸2=√82+42=4√5.

【解析】【分析】（1）由等边对等角分别得∠A和∠DCA相等，∠B和∠DCB相等，于是推出∠ACB等于∠A和∠B之和，再结合三角形内角和定理可证△ABC是直角三角形.

（2）由于到线段两个端点距离相等的点在这个线段的垂直平分线上，可得CD是AB的垂直平分线，于是由勾股定理可求AE的长，则CE的长可求，再利用勾股定理可求AC的长. 23.【答案】 （1）4或0 （2）5 √3 （3）解：不变; 如图，结论：面积不变.

∵点B，B′关于直线l对称， ∴BB′⊥直线l， ∵直线l⊥AC， ∴AC∥BB′，

∴𝑆△𝐴𝐶𝐵′=𝑆△𝐴𝐶𝐵=×8×√×8=16√3.

2

2

1

3

【解析】【解答】解：（1）如图

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°，AB=BC=AC=4 ∵PB=4， ∴PB'=PB=PA=4, ∵∠A=60°，

∴△APB'是等边三角形， ∴AB'=AP=4；

当直线经过点C时，点B'与点A重合时，此时AB'=0， 故答案为：4或0.

（2）如图，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°， ∴△PEB是等边三角形， ∵PB＝5，

∵B，B′关于PE对称， ∴BB′⊥PE，BB′＝2OB ∴𝑂𝐵＝𝑃𝐵•sin60°＝5√3。

2

∴BB′=2OB=5√3;

【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得∠A=60°，AB=BC=AC=4 ，可得到PB'=PB=PA=4，由∠A=60°，可证得△APB'是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AB'的长；当直线经过点C时，点B'与点A重合时，此时AB'=0。

（2）设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O，利用平行线的性质可得∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，就可推出△PEB是等边三角形；再根据B，B′关于PE对称，可推出BB′⊥PE，BB′＝2OB，利用解直角三角形求出OB的长，然后根据BB′=2OB，可求出BB′的长。

（3）根据题意画出图形，利用轴对称的性质可知BB′⊥直线l，可证得AC∥BB′，再利用三角形的面积公式可求出△ACB′的面积。 24.【答案】 （1）真

（2）解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a ∴AB2=AC2+BC2即a2+b2=c2, △ABC是“和谐三角形”,

当a2+b2-ab=c2时，则-ab=0（不符合题意）； 当a2+c2-ac=b2时，则a2+a2+b2-ac=b2, 2a2-ac=0即a（2a-c）=0

∵a≠0 ∴c=2a ∴a2+b2=4a2 解之：b=√3a.

∴a：b：c=a：√3a：2a=1： √3：2； 当b2+c2-bc=a2时，则b2+c2-bc=c2-b2. ∴c=2b则a=√3b ∵b＞a

∴不符合题意，舍去.

∴a：b：c=a：√3a：2a=1： √3：2；

（3）解：①证明

∵△BGF是和谐三角形，BG>FG， ∴BF2+FG2-BF·FG=BG2 ∵BG⊥FG， ∴BG2=BF2-FG2 ， ∴BF2+FG2-BF·FG=BF2-FG2 , ∴2FG2-BF·FG=0， ∴FG= 2 BF ∴∠FBG=30° , ∴∠BFG=60°， ∴∠ABD+∠BAF=60° ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC,∠BAD=∠ACE=60° ∴∠BAF+∠CAE=60° ∴∠ABD=∠CAE

1

∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐸

在△ABD和△CAE中， {∴△ABD≌△CAE , ∴AD=CE

②能, ∵AC=BC，AD=CE, ∴AC-AD=BC-CE， ∴CD=BE

∵∠GCB=∠ABD=∠CAE , ∴60°-∠GCB= 60°-∠CAE , ∴∠ACG=∠BAF

𝐴𝐵=𝐴𝐶

∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐸

∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐶𝐴𝐺

在△ABF和△CAG中， {∴△ABF≌△CAG， ∴AG=BF,

∴线段AG、EF、CD组成的三角形即为△BEF ∵∠BGF=90°，∠BFG =60°， ∴BF= 2FG

∵BF2= BG2+ FG2 ， ∴BF2+ EF2- BF·EF =BG2+FG2 +EF·(EF-2FG) =BG2+ FG2 +(FG+EG)·(EG- FG) = BG2 +FG2+ EG2- FG2 =BG2+EG2 = BE2

∴△BFE是和谐三角形，

∴线段 AG、EF、CD能组成一个和谐三角形 【解析】【解答】解：（1）∵等边△ABC， ∴AB=BC=AC

∵AB2+AC2-AB·AC=BC2+BC2-BC2=BC2, ∴等边△ABC是“和谐三角形”.

∴等边三角形一定是“和谐三角形”，是真命题. 故答案为：真.

AC=BC2,可得到等边三【分析】（1）利用等边三角形的三边相等，可知AB=BC=AC，就可证得AB2+AC2-AB·角形一定是“和谐三角形”。

（2）利用勾股定理可得到a2+b2=c2 ， 再分情况讨论：当a2+b2-ab=c2时，则-ab=0（不符合题意）；当a2+c2-ac=b2时，可以推出c=2a，利用勾股定理可证得b=√3a.，由此可求出a，b，c的比值；当b2+c2-bc=a2时，可以推出a=√3b，由已知b＞a，排除此种情况；

（3）①根据 △BGF是和谐三角形，BG>FG，可证得BF2+FG2-BF·FG=BG2 ，再利用勾股定理可证得 BG2=BF2-FG2 ， 就看推出FG与BF的数量关系，由此可求出∠BFG=60°，利用等边三角形的性质，可以推出∠ABD=∠CAE；然后利用ASAS证明△ABD≌△CAE ，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；②利用已知条件易证CD=BE，∠ACG=∠BAF，利用ASA△ABF≌△CAG，利用全等三角形的对应边相等可EF= BE2 ， 证得AG=BF，线段AG、EF、CD组成的三角形即为△BEF，可推出BF= 2FG，可得到BF2+ EF2- BF·可证得△BFE是和谐三角形。

𝐴𝐵=𝐶𝐴

∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐴𝐶𝐺